제14장 - 몫군

몫군(quotient group, factor group)은 이 장의 핵심 구성이다. 정규부분군 $N⊴G$가 주어지면, 잉여류들의 집합 $G/N$이 하나의 군이 된다. 바로 여기서 잉여류, 정규성, 준동형사상, 동형사상이 하나의 일관된 그림으로 융합된다. 제10장이 잉여류를 분할(partition)로서 도입했다면, 제14장은 그 분할들을 군으로 바꾼다.

선수 지식. 잉여류와 라그랑주 정리(제10장), 직접곱(제11장), 준동형사상과 핵(제13장).

§14.1 정규부분군

정규성의 정의는 모든 몫군이 반드시 통과해야 하는 관문이다.

정의 14.1 (정규부분군). 군 $G$의 부분군 $N$이 **$G$에서 정규(normal)**라는 것은, $N⊴G$로 표기하며, 다음을 뜻한다.

여기서 $gN{g}^{-1}=\{gn{g}^{-1}:n\in N\}$이다.

정리 14.2 (정규성에 대한 동치 조건). $N\le G$라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 모든 $g\in G$에 대해 $gN{g}^{-1}=N$.
2. 모든 $g\in G$에 대해 $gN{g}^{-1}\subseteq N$.
3. 모든 $g\in G$에 대해 $gN=Ng$.
4. $N$은 $G$로부터의 어떤 준동형사상의 핵이다.

정리 14.2의 증명

(1) $\Rightarrow$ (2). 자명하다: 상등은 포함을 함의한다.

(2) $\Rightarrow$ (1). 모든 $g\in G$에 대해 $gN{g}^{-1}\subseteq N$이라 가정하자. $g$를 $g^{-1}$로 바꾸면

$$g^{-1}Ng\subseteq N.$$

양변을 $g$로 켤레(conjugate)하면:

$$N=g(g^{-1}Ng)g^{-1}\subseteq gN{g}^{-1}.$$

가정 $gN{g}^{-1}\subseteq N$과 결합하면 $gN{g}^{-1}=N$을 얻는다.

(1) $\Rightarrow$ (3). $gN{g}^{-1}=N$이라 하자. 임의의 $n\in N$에 대해, 어떤 $n_1\in N$이 있어 $gn{g}^{-1}=n_1$이므로 $gn=n_{1}g$이다. 따라서 $gN\subseteq Ng$. $g$를 $g^{-1}$로 바꾸고 켤레하면 $Ng\subseteq gN$을 얻는다. 그러므로 $gN=Ng$.

(3) $\Rightarrow$ (1). $gN=Ng$이면, 모든 원소 $gn$은 어떤 $n_1\in N$에 대해 $n_{1}g$로 쓸 수 있다. 그러면 $gn{g}^{-1}=n_1\in N$이므로 $gN{g}^{-1}\subseteq N$. $g^{-1}$에 대해 같은 논증을 하면 $g^{-1}Ng\subseteq N$이므로 $N\subseteq gN{g}^{-1}$. 따라서 $gN{g}^{-1}=N$.

(4) $\Rightarrow$ (2). 어떤 준동형사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$에 대해 $N=\ker (\varphi )$이면, $n\in N$과 $g\in G$에 대해:

$$\varphi (gn{g}^{-1})=\varphi (g)\varphi (n)\varphi (g{)}^{-1}=\varphi (g)e^{\prime }\varphi (g{)}^{-1}=e^{\prime }.$$

따라서 $gn{g}^{-1}\in \ker (\varphi )=N$이므로 $gN{g}^{-1}\subseteq N$을 얻는다.

(1) $\Rightarrow$ (4). 이것은 몫군 구성(아래 정리 14.4)을 필요로 한다. 일단 $G/N$이 만들어지면, 표준 사영 $\gamma :G\to G/N$은 $\ker (\gamma )=N$을 만족한다. 따라서 모든 정규부분군은 어떤 준동형사상의 핵이다. $■$

참고. 조건 (2)는 실제로 가장 자주 확인하는 조건이다: $N⊴G$임을 보이려면 임의의 $g\in G$와 $n\in N$을 잡아 $gn{g}^{-1}\in N$을 검증하면 된다. 조건 (3)은 왼쪽 잉여류가 오른쪽 잉여류와 같다는 뜻인데, 이는 잉여류 분할이 군 연산과 양립함을 말하는 것과 동치이다.

따름정리 14.3. 아벨군의 모든 부분군은 정규이다. 지표(index)가 $2$인 모든 부분군은 정규이다.

따름정리 14.3의 증명

$G$가 아벨군이면, 모든 $g\in G$, $n\in N$에 대해 $gn{g}^{-1}=g{g}^{-1}n=n\in N$이다.

$[G:N]=2$이면 왼쪽 잉여류는 정확히 두 개, 즉 $N$과 $G\setminus N$이다. 오른쪽 잉여류도 마찬가지이다. $eN=N=Ne$이고 각 쪽에 다른 잉여류가 하나뿐이므로, 모든 $g\in G$에 대해 $gN=Ng$여야 한다. $■$

§14.2 모든 핵은 정규이고, 모든 정규부분군은 핵이다

이것은 준동형사상을 정규성과 묶어 주는 완전한 특성화이다.

정리 14.4 (핵—정규 대응). $G$를 군이라 하자.

1. $\varphi :G\to G^{\prime }$가 준동형사상이면 $\ker (\varphi )⊴G$이다.
2. $N⊴G$이면 $N=\ker (\gamma )$이며, 여기서 $\gamma :G\to G/N$은 표준 사영(아래 §14.3에서 정의)이다.

요컨대: 부분군이 정규일 필요충분조건은 그것이 어떤 준동형사상의 핵인 것이다.

정리 14.4의 증명

(1) 은 정리 14.2의 동치 (4) $\Rightarrow$ (2)에서 증명되었다: $n\in \ker (\varphi )$와 $g\in G$에 대해,

$$\varphi (gn{g}^{-1})=\varphi (g)e^{\prime }\varphi (g{)}^{-1}=e^{\prime },$$

이므로 $gn{g}^{-1}\in \ker (\varphi )$이다.

(2) 는 몫군이 존재함을 필요로 한다. 아래 정리 14.5에 의해 $G/N$은 군이고 $\gamma (g)=gN$은 전사 준동형사상이다. 그러면

$$g\in \ker (\gamma )⟺\gamma (g)=N⟺gN=N⟺g\in N.$$

따라서 $\ker (\gamma )=N$. $■$

이 정리는 근본적이다: 이는 “정규부분군”과 “준동형사상의 핵”이라는 개념이 두 방향에서 바라본 동일한 개념임을 말해 준다.

§14.3 몫군 $G/N$

정의 14.5 (몫군 / 인수군). $N⊴G$라 하자. 몫군(또는 인수군, factor group)은 집합

즉 $G$에서 $N$의 모든 왼쪽 잉여류들의 집합에, 연산

을 부여한 것이다.

결정적인 질문: 이 연산이 잘 정의되는가(well-defined)? 이 곱은 대표원 $a$와 $b$를 선택하여 정의되므로, 어떤 대표원을 선택하느냐에 의존하지 않음을 검증해야 한다.

정리 14.6 ($G/N$의 잘 정의됨과 군 구조). $N⊴G$라 하자. 그러면:

1. $G/N$ 위의 연산 $(aN)(bN)=(ab)N$은 잘 정의된다.
2. $G/N$은 이 연산 아래 군이며, 항등원은 $N=eN$, 역원은 $(gN{)}^{-1}=g^{-1}N$이다.

정리 14.6의 증명

(1) 잘 정의됨. $aN=a^{\prime }N$이고 $bN=b^{\prime }N$이라 하자. $(ab)N=(a^{\prime }{b}^{\prime })N$, 즉 $(a^{\prime }{b}^{\prime }{)}^{-1}(ab)\in N$임을 보여야 한다.

$aN=a^{\prime }N$으로부터 어떤 $n_1\in N$에 대해 $a^{\prime }=a{n}_1$을 얻는다. $bN=b^{\prime }N$으로부터 어떤 $n_2\in N$에 대해 $b^{\prime }=b{n}_2$를 얻는다. 그러면:

$$a^{\prime }{b}^{\prime }=a{n}_1\cdot b{n}_2.$$

$N$이 정규이므로 $n_{1}b=b(b^{-1}{n}_{1}b)$이고 $b^{-1}{n}_{1}b\in N$이다(이를 $n_3$이라 하자). 따라서:

$$a^{\prime }{b}^{\prime }=a\cdot b\cdot n_3\cdot n_2=ab(n_3{n}_2).$$

$n_3{n}_2\in N$이므로 $a^{\prime }{b}^{\prime }\in (ab)N$이고, 따라서 $(a^{\prime }{b}^{\prime })N=(ab)N$을 얻는다.

(2) 군 공리.

• 닫힘: $ab\in G$이므로 $(aN)(bN)=(ab)N\in G/N$.

• 결합법칙:

$$((aN)(bN))(cN)=(ab)N\cdot cN=((ab)c)N=(a(bc))N=aN\cdot (bc)N=(aN)((bN)(cN)).$$

• 항등원: $N=eN$은 $(eN)(gN)=(eg)N=gN$ 및 $(gN)(eN)=(ge)N=gN$을 만족한다.

• 역원: $(gN)(g^{-1}N)=(g{g}^{-1})N=eN=N$이고, 마찬가지로 $(g^{-1}N)(gN)=N$. $■$

그림: 대표원이 바뀔 때 몫의 곱셈이 잘 정의되는 이유.

두 행은 같은 입력 잉여류에서 출발하지만 서로 다른 대표원을 선택한다. 증명이 보이는 것은 두 곱이 여전히 같은 출력 잉여류에 도달한다는 사실이다. 그것이 바로 “곱셈이 잉여류로 내려간다(descends to cosets)“는 말의 정확한 의미이다.

정리 14.7 (정규성은 필요하다). $H\le G$이고 왼쪽 잉여류들의 집합 $\{gH:g\in G\}$ 위의 연산 $(aH)(bH)=(ab)H$가 잘 정의되면, $H⊴G$이다.

정리 14.7의 증명

잉여류 곱셈이 잘 정의된다고 하자. $g\in G$와 $n\in N$이라 하자. $gn{g}^{-1}\in H$를 보여야 한다.

잉여류 $gH$와 $g^{-1}H$를 생각하자. $n\in H$이므로 $gnH=gH$이다($gn$과 $g$가 $H$의 같은 왼쪽 잉여류에 있기 때문). 잘 정의됨에 의해:

$$(gnH)(g^{-1}H)=(gH)(g^{-1}H).$$

왼쪽은 $(gn{g}^{-1})H$와 같고 오른쪽은 $(g{g}^{-1})H=eH=H$와 같다. 따라서 $(gn{g}^{-1})H=H$이고, 이는 $gn{g}^{-1}\in H$를 뜻한다. $■$

정리 14.6과 14.7을 결합하면: 잉여류 곱셈 $(aN)(bN)=(ab)N$이 잘 정의될 필요충분조건은 $N⊴G$인 것이다.

§14.4 표준 사영

정의 14.8 (표준 사영). $N⊴G$라 하자. 표준 사영(또는 자연 준동형사상, natural homomorphism)은

정리 14.9. 표준 사영 $\gamma$는 $\ker (\gamma )=N$인 전사 준동형사상이다.

정리 14.9의 증명

준동형사상:

$$\gamma (ab)=(ab)N=(aN)(bN)=\gamma (a)\gamma (b).$$

전사: $G/N$의 모든 원소는 어떤 $g\in G$에 대해 $gN=\gamma (g)$ 꼴이다.

핵:

$$g\in \ker (\gamma )⟺\gamma (g)=N⟺gN=eN⟺g\in N.$$

따라서 $\ker (\gamma )=N$. $■$

이로써 원이 완성된다: 모든 정규부분군은 자기 자신의 표준 사영의 핵이고, 모든 핵은 정규부분군이다.

몫은 $N$을 죽이는 사상들 가운데 보편적이다

이것은 몫군을 단순한 구성에서 보편 대상(universal object)으로 바꾸는 랑(Lang)식 정식화이다.

정리 14.9a (몫의 보편 성질). $N⊴G$라 하고,

을 표준 사영이라 하자. $\varphi :G\to H$가 다음을 만족하는 준동형사상이면

다음을 만족하는 유일한 준동형사상

가 존재한다.

동치로: $G$로부터 나가는 준동형사상이 $G/N$을 통해 분해(factor through)될 필요충분조건은, 그것이 $N$의 모든 원소를 항등원으로 보내는 것이다.

그림: 몫의 보편 성질.

이 삼각형은 $N$을 죽이는 모든 준동형사상이 $G/N$을 통해 유일하게 분해되어야 함을 말한다.

정리 14.9a의 증명

존재성. 다음과 같이 정의하자.

$$\overline{\varphi }(gN)=\varphi (g).$$

먼저 이것이 잘 정의됨을 보여야 한다. $gN=hN$이라 하자. 그러면

$$h^{-1}g\in N.$$

$N\subseteq \ker (\varphi )$이므로 $\varphi (h^{-1}g)=e_H$이고, 따라서

$$\varphi (h{)}^{-1}\varphi (g)=e_H$$

이므로 $\varphi (g)=\varphi (h)$이다. 그러므로 $\overline{\varphi }(gN)$은 대표원에 의존하지 않는다.

이제 준동형 법칙을 확인하자:

$$\overline{\varphi }((gN)(hN))=\overline{\varphi }(ghN)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)=\overline{\varphi }(gN)\overline{\varphi }(hN).$$

따라서 $\overline{\varphi }$는 준동형사상이다.

마지막으로,

$$(\overline{\varphi }\circ \gamma )(g)=\overline{\varphi }(gN)=\varphi (g),$$

이므로 삼각형이 가환(commute)한다.

유일성. $\psi :G/N\to H$가 $\varphi =\psi \circ \gamma$를 만족하는 또 다른 준동형사상이면, 모든 잉여류 $gN$에 대해,

$$\psi (gN)=\psi (\gamma (g))=\varphi (g)=\overline{\varphi }(gN).$$

$G/N$의 모든 원소가 어떤 $gN$이므로 $\psi =\overline{\varphi }$를 얻는다. $■$

이 정리는 몫이 하는 일을 가장 깔끔하게 표현하는 방법이다: 그것은 $N$의 모든 원소를 자명하게 만듦으로써 $G$로부터 얻어지는 가장 일반적인 군이다.

특별히 중요한 두 가지 특수한 경우가 있다:

• $N=\ker (\varphi )$이면, $\overline{\varphi }:G/N\to \mathrm{im}(\varphi )$는 동형사상이다. 이것이 바로 제1동형정리이다.
• $\varphi$가 전사이고 $N=\ker (\varphi )$이면, $$G/N\cong H.$$ 이것은 제14장과 제15장 전반에 걸쳐 인수군을 식별하는 데 쓰이는 실용적 형태이다.

§14.5 구체적인 몫군 계산

예제 14.10: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n$

${\gamma }_n(m)=\bar{m}$($m$의 법 $n$에 대한 잉여류)로 정의되는 나머지 사상 ${\gamma }_n:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$은 $\ker ({\gamma }_n)=n\mathbb{Z}$인 전사 준동형사상이다.

$n=4$일 때, $\mathbb{Z}$에서 $4\mathbb{Z}$의 잉여류는 다음과 같다:

이들은 정확히 법 $4$에 대한 네 개의 잉여류이다. 기본준동형정리에 의해,

더 일반적으로, 모든 양의 정수 $n$에 대해 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n$이다. 이것이 몫군의 원형(prototype)이다.

예제 14.11: 케일리 표와 함께 보는 ${\mathbb{Z}}_8/⟨\bar{4}⟩$

$H=⟨\bar{4}⟩=\{\bar{0},\bar{4}\}\le {\mathbb{Z}}_8$이라 하자. ${\mathbb{Z}}_8$이 아벨군이므로 $H⊴{\mathbb{Z}}_8$이다. 몫 ${\mathbb{Z}}_8/H$는 $|{\mathbb{Z}}_8|/|H|=8/2=4$개의 원소를 가진다:

${\mathbb{Z}}_8/⟨\bar{4}⟩$의 케일리 표:

서로 다른 대표원을 이용한 한 성분의 검증: $(\bar{3}+H)+(\bar{3}+H)$에 대해, 대표원 $\bar{3}$과 $\bar{7}$(둘 다 $\bar{3}+H$에 속함)을 선택하면:

이 표는 생성원 $\bar{1}+H$를 갖는 위수 $4$의 순환군이므로:

예제 14.12: $S_3/A_3\cong {\mathbb{Z}}_2$

$A_3=\{e,(123),(132)\}$는 $3$개 원소 위의 교대군으로, $|A_3|=3$이다. $[S_3:A_3]=6/3=2$이므로 부분군 $A_3$은 $S_3$에서 정규이다(지표가 $2$인 모든 부분군은 정규이다, 따름정리 14.3에 의해).

두 잉여류는 다음과 같다:

$S_3/A_3$의 케일리 표:

확인: $((12)A_3)((12)A_3)=(12)(12)A_3=e{A}_3=A_3$. 다른 대표원을 사용하면: $((13)A_3)((23)A_3)=(13)(23)A_3=(123)A_3=A_3$. $✓$

이것은 위수 $2$의 유일한 군이다:

다른 방법으로: 부호 준동형사상 $\mathrm{sgn}:S_3\to \{1,-1\}$은 $\ker (\mathrm{sgn})=A_3$이고 상이 $\{1,-1\}\cong {\mathbb{Z}}_2$이므로, FHT에 의해 곧바로 $S_3/A_3\cong {\mathbb{Z}}_2$를 얻는다.

예제 14.13: $({\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_2)/(\{0\}\times {\mathbb{Z}}_2)\cong {\mathbb{Z}}_4$

$N=\{0\}\times {\mathbb{Z}}_2=\{(0,0),(0,1)\}$이라 하자. 첫 번째 인자로의 사영,

은 $\ker ({\pi }_1)=\{(a,b):a=0\}=\{0\}\times {\mathbb{Z}}_2=N$인 전사 준동형사상이다.

기본준동형정리에 의해:

명시적으로, 네 개의 잉여류는 다음과 같다:

각 잉여류는 두 번째 좌표를 무너뜨리고, 첫 번째 좌표를 ${\mathbb{Z}}_4$의 군 원소로 남긴다.

예제 14.14: $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ --- 원군

덧셈군 $(\mathbb{R},+)$은 아벨군이므로 $\mathbb{Z}⊴\mathbb{R}$이다. 두 실수 $x,y$가 $\mathbb{Z}$의 같은 잉여류에 있을 필요충분조건은 $x-y\in \mathbb{Z}$, 즉 그들이 같은 소수부(fractional part)를 갖는 것이다. 각 잉여류 $x+\mathbb{Z}$는 $[0,1)$ 안에 유일한 대표원을 포함한다.

사상

여기서 $S^1=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$은 단위원이며, 이는 $(\mathbb{R},+)$로부터 $(S^1,\cdot )$ 위로의 전사 준동형사상으로

이다. 기본준동형정리에 의해:

이것이 원군(circle group)이다: 법 $1$에 대한 실수의 덧셈이 단위원 위의 복소수의 곱셈에 대응한다. 이는 몫군이 유한하기만 한 것이 아니라 연속적일 수도 있음을 보여 준다.

§14.6 잘 정의됨이 중요한 이유: 정규가 아닌 부분군

$H=\{e,(12)\}\le S_3$을 생각하자. 이 부분군은 $S_3$에서 정규가 아니다($[S_3:H]=3\ne 2$이므로). 잉여류 곱셈이 실패하는 것을 살펴보자.

$H$의 왼쪽 잉여류는 다음과 같다:

$((13)H)((23)H)$를 계산해 보자:

• 대표원 $(13)$과 $(23)$을 사용하면: $(13)(23)=(132)\in (23)H$.
• 대표원 $(123)$과 $(132)$를 사용하면: $(123)(132)=e\in H$.

그림: 부분군이 정규가 아닐 때 몫의 곱셈이 실패하는 모습.

따라서 $(132)\in (23)H$이지만 $e\in H$이다. 같은 잉여류에서 나온 서로 다른 대표원이 서로 다른 잉여류에 있는 곱을 준다. 이 “곱셈”은 어떤 대표원을 택하느냐에 의존하므로, 잉여류 위의 함수가 아니다. 이 연산은 잘 정의되지 않는다.

이것이 바로 정규성이 막아 주는 것이다: $N⊴G$일 때, 관계 $gN=Ng$가 잉여류의 곱이 대표원의 선택과 무관함을 보장한다.

생산적 분투 — 몫에 대한 직관이 보통 어긋나는 지점

흔한 오답 1

잉여류들의 집합을 일단 적어 놓으면, 몫 연산은 자동으로 $(aN)(bN)=abN$이다.

무너지는 지점. 이 연산은 같은 잉여류에서 나온 서로 다른 대표원이 항상 같은 답을 주어야만 비로소 의미를 가진다. $S_3$의 정규가 아닌 부분군 예제는 이것이 완전히 실패할 수 있음을 보여 준다.

수정된 방법. 잘 정의됨을 표기 관례가 아니라 하나의 정리로 다루어라. 다음 중 하나를 하라:

• 정규성을 증명한 다음 잉여류 곱셈을 사용하거나,
• 전사 준동형사상을 통해 몫을 구성하고 핵 정리를 사용하라.

흔한 오답 2

$|G/N|$을 일단 알면, 몫의 구조는 기본적으로 결정된다.

무너지는 지점. 위수는 후보 목록만 줄 뿐이다. 위수 $4$의 몫은 ${\mathbb{Z}}_4$일 수도 $V_4$일 수도 있다. 위수 $8$의 몫은 순환군일 수도 아닐 수도 있다. 세는 것은 크기를 알려 줄 뿐, 곱셈 구조를 알려 주지 않는다.

수정된 방법. 위수를 계산한 후 다음 중 하나를 하라:

• 핵이 $N$인 전사 준동형사상을 만들어 상을 식별하거나;
• 몫 원소 한두 개의 위수를 계산하거나;
• 몫이 충분히 작으면 몫의 케일리 표를 만들어라.

이것을 내재화하고 나면 제14장은 훨씬 쉬워진다: 어려운 부분은 잉여류의 개수를 세는 것이 아니라, 그 연산이 잘 정의됨을 증명하고 그 결과로 나오는 군을 식별하는 것이다.

§14.7 기본준동형정리 (몫 형태)

이것은 이 장 전체를 조직하는 정리이다.

정리 14.15 (기본준동형정리 / 제1동형정리). $\varphi :G\to G^{\prime }$를 핵 $N=\ker (\varphi )$를 갖는 군 준동형사상이라 하자. 그러면:

1. $N⊴G$.
2. $\varphi [G]$는 $G^{\prime }$의 부분군이다.
3. $\mu (gN)=\varphi (g)$로 정의되는 사상 $\mu :G/N\to \varphi [G]$는 동형사상이다.
4. $\gamma :G\to G/N$이 표준 사영이면, $\varphi =\mu \circ \gamma$이다.

도표로 나타내면:

정리 14.15의 증명

(1) 은 정리 14.4에서 증명되었다.

(2) $\varphi (a),\varphi (b)\in \varphi [G]$이면, $\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}=\varphi (a{b}^{-1})\in \varphi [G]$이다.

(3) $\mu$의 네 가지 성질을 검증한다:

• 잘 정의됨: $aN=bN$이면 $b^{-1}a\in N=\ker (\varphi )$이므로 $\varphi (b^{-1}a)=e^{\prime }$이고, 따라서 $\varphi (a)=\varphi (b)$, 즉 $\mu (aN)=\mu (bN)$.

• 준동형사상:

$$\mu ((aN)(bN))=\mu ((ab)N)=\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)=\mu (aN)\mu (bN).$$

• 단사: $\mu (aN)=e^{\prime }$이면 $\varphi (a)=e^{\prime }$이므로 $a\in \ker (\varphi )=N$이고, 따라서 $aN=N$. $\mu$의 핵이 자명하므로 $\mu$는 단사이다.

• $\varphi [G]$ 위로의 전사: 임의의 $\varphi (g)\in \varphi [G]$에 대해 $\mu (gN)=\varphi (g)$이다.

(4) 임의의 $g\in G$에 대해: $(\mu \circ \gamma )(g)=\mu (\gamma (g))=\mu (gN)=\varphi (g)$. $■$

따름정리 14.16. $\varphi :G\to G^{\prime }$가 핵 $N$을 갖는 전사 준동형사상이면,

이 따름정리는 대단히 강력하다: 몫 $G/N$을 식별하려면, $G$로부터 핵이 $N$인 전사 준동형사상을 찾으면 된다. 그 상이 답이다.

예제 14.16a: 실제 전사 준동형사상으로부터 몫 구성하기

다음을 정의하자.

이것은 준동형사상인데, 왜냐하면

이기 때문이다. 또한 전사인데, 왜냐하면

이고 $\bar{1}$이 ${\mathbb{Z}}_6$을 생성하기 때문이다.

이제 핵을 계산하자:

이를 다시 쓰면

어떤 정수 $k$에 대해 성립한다. $b=t$로 놓으면,

을 얻는다. 따라서

그러므로 몫은

이것이 바로 제15장이 계속 사용할 사고방식이다: 먼저 적절한 전사 사상을 찾아 몫을 식별하고, 그런 다음에야 핵을 무너뜨려지는 부분군으로 해석한다.

§14.8 단순군

정의 14.17 (단순군). 군 $G\ne \{e\}$이 단순(simple)하다는 것은 그것의 정규부분군이 $\{e\}$와 $G$ 자신뿐인 것을 말한다.

동치로, $G$가 단순할 필요충분조건은 $G$로부터의 모든 준동형사상이 단사이거나 자명한 것이다(핵이 $\{e\}$ 또는 $G$여야 하므로).

정리 14.18. ${\mathbb{Z}}_p$는 모든 소수 $p$에 대해 단순하다.

정리 14.18의 증명

라그랑주 정리에 의해, ${\mathbb{Z}}_p$의 부분군은 $\{0\}$과 ${\mathbb{Z}}_p$뿐이다($p$가 소수이므로 $|{\mathbb{Z}}_p|=p$의 약수는 $1$과 $p$뿐이다). ${\mathbb{Z}}_p$가 아벨군이므로 모든 부분군은 정규이다. 따라서 정규부분군은 $\{0\}$과 ${\mathbb{Z}}_p$뿐이고, ${\mathbb{Z}}_p$는 단순하다. $■$

예제 14.19. ${\mathbb{Z}}_6$은 단순하지 않은데, $⟨\bar{2}⟩=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4}\}\cong {\mathbb{Z}}_3$이 자명하지 않은 진정규부분군이기 때문이다.

예제 14.20. $A_3\cong {\mathbb{Z}}_3$은 단순하다(소수 위수). $A_4$는 단순하지 않다($V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}⊴A_4$). 그러나:

정리 14.21 (예고). $n\ge 5$에 대해 $A_n$은 단순하다.

이것은 본문의 뒷부분(제15절)에서 증명되는 심오한 결과이다. $A_5$의 단순성은 5차 방정식이 근호 해(radical solution)를 갖지 않는 이유이다(갈루아 이론). 단순군은 군론의 “원자”이다: 모든 유한군은 확장(extension)을 통해 단순군들로부터 구성될 수 있다.

§14.9 자기동형사상과 내부 자기동형사상

정의 14.22 (자기동형사상). 군 $G$의 자기동형사상(automorphism)은 동형사상 $\alpha :G\to G$이다. $G$의 모든 자기동형사상의 집합을 $\mathrm{Aut}(G)$로 표기한다.

정리 14.23. $\mathrm{Aut}(G)$는 합성에 대해 군이다.

정리 14.23의 증명

• 닫힘: $\alpha ,\beta \in \mathrm{Aut}(G)$이면 $\alpha \circ \beta$는 $G$에서 $G$로의 전단사이고, $(\alpha \circ \beta )(xy)=\alpha (\beta (xy))=\alpha (\beta (x)\beta (y))=\alpha (\beta (x))\alpha (\beta (y))=(\alpha \circ \beta )(x)(\alpha \circ \beta )(y)$이다.
• 결합법칙: 함수의 합성은 항상 결합적이다.
• 항등원: 항등사상 ${\mathrm{id}}_G$는 자기동형사상이다.
• 역원: $\alpha \in \mathrm{Aut}(G)$이면 ${\alpha }^{-1}$이 존재하며($\alpha$가 전단사이므로) 준동형사상이다: ${\alpha }^{-1}(xy)={\alpha }^{-1}(\alpha ({\alpha }^{-1}(x))\cdot \alpha ({\alpha }^{-1}(y)))={\alpha }^{-1}(\alpha ({\alpha }^{-1}(x){\alpha }^{-1}(y)))={\alpha }^{-1}(x){\alpha }^{-1}(y)$. $■$

정의 14.24 (내부 자기동형사상). 각 $g\in G$에 대해, $g$가 결정하는 내부 자기동형사상(inner automorphism)은

모든 내부 자기동형사상의 집합은 $\mathrm{Inn}(G)=\{i_g:g\in G\}$이다.

정리 14.25. 각 $i_g$는 실제로 자기동형사상이다.

정리 14.25의 증명

준동형사상: $i_g(xy)=g(xy)g^{-1}=(gx{g}^{-1})(gy{g}^{-1})=i_g(x)i_g(y)$.

전단사: $i_g$는 역원 $i_{g^{-1}}$을 가지는데, $i_{g^{-1}}(i_g(x))=g^{-1}(gx{g}^{-1})g=x$이기 때문이다. $■$

정리 14.26. $\mathrm{Inn}(G)⊴\mathrm{Aut}(G)$.

정리 14.26의 증명

먼저, $\mathrm{Inn}(G)\le \mathrm{Aut}(G)$:

• $(i_g\circ i_h)(x)=g(hx{h}^{-1})g^{-1}=(gh)x(gh{)}^{-1}=i_{gh}(x)$이므로 $i_g\circ i_h=i_{gh}$.
• $i_e={\mathrm{id}}_G$.
• $(i_g{)}^{-1}=i_{g^{-1}}$.

이제 정규성에 대해: $\alpha \in \mathrm{Aut}(G)$와 $i_g\in \mathrm{Inn}(G)$라 하자. $\alpha \circ i_g\circ {\alpha }^{-1}\in \mathrm{Inn}(G)$임이 필요하다. 임의의 $x\in G$에 대해:

$$(\alpha \circ i_g\circ {\alpha }^{-1})(x)=\alpha (g\cdot {\alpha }^{-1}(x)\cdot g^{-1})=\alpha (g)\cdot x\cdot \alpha (g{)}^{-1}=i_{\alpha (g)}(x).$$

따라서 $\alpha \circ i_g\circ {\alpha }^{-1}=i_{\alpha (g)}\in \mathrm{Inn}(G)$. $■$

정리 14.27. $\mathrm{Inn}(G)\cong G/Z(G)$이며, 여기서 $Z(G)=\{z\in G:zg=gz\text{ for all }g\in G\}$은 $G$의 중심이다.

정리 14.27의 증명

$\Phi (g)=i_g$로 $\Phi :G\to \mathrm{Inn}(G)$를 정의하자. 그러면:

• 준동형사상: $\Phi (gh)=i_{gh}=i_g\circ i_h=\Phi (g)\circ \Phi (h)$ (정리 14.26의 증명에서 보임).

• 전사: 정의에 의해 $\mathrm{Inn}(G)$의 모든 원소는 어떤 $g$에 대해 $i_g$이다.

• 핵:

$$g\in \ker (\Phi )⟺i_g={\mathrm{id}}_G⟺gx{g}^{-1}=x\text{ for all }x\in G⟺gx=xg\text{ for all }x\in G⟺g\in Z(G).$$

기본준동형정리에 의해, $G/Z(G)\cong \mathrm{Inn}(G)$. $■$

참고. 부분군 $N\le G$이 정규일 필요충분조건은 모든 $g\in G$에 대해 $i_g(N)=N$, 즉 $N$이 모든 내부 자기동형사상에 대해 불변인 것이다. 이것이 정규성에 대한 “켤레” 관점이다. $i_g(N)=N$은 집합 차원의 불변성임에 유의하라; 내부 자기동형사상은 $N$의 원소들을 자명하지 않게 치환할 수도 있다.

§14.10 랑의 관점: 핵과 상의 요가

세부 사항에서 한 걸음 물러서서 보면, 이 장의 정리들은 긴밀한 대응을 확립한다:

$G$의 정규부분군 $⟷$ $G$의 몫군.

구체적으로:

1. 모든 정규부분군 $N⊴G$는 몫군 $G/N$과 $\ker (\gamma )=N$인 전사 준동형사상 $\gamma :G\to G/N$을 결정한다.
2. 모든 전사 준동형사상 $\varphi :G\to Q$는 정규부분군 $\ker (\varphi )⊴G$를 결정하며, $Q\cong G/\ker (\varphi )$이다.

기본준동형정리는 전단사를 준다:

이것이 랑이 핵과 상의 요가(yoga of kernels and images)라고 부르는 것이다: 준동형사상 개념을 갖는 임의의 대수적 구조(군, 환, 가군, …)에서, “무너뜨릴 수 있는 것들”(핵/아이디얼/부분가군)은 “위로 사상할 수 있는 것들”(몫 대상)과 전단사 대응한다. 제1동형정리는 이 전단사의 정확한 진술이다.

이 관점은 대수학 전반에 스며들어 있다:

이 패턴을 군 차원에서 이해하는 것은 어디서나 그것을 보는 준비가 된다.

보편 구성의 언어로, 정리 14.9a는 $G/N$이 $N$을 죽이는, $G$로부터 나가는 준동형사상의 보편 수신자(universal receiver)임을 말한다. 이것은 제13장의 곱 보편 성질의 몫 버전이다. 곱은 자신으로 들어오는 사상에 대한 보편 사상 문제를 풀고, 몫은 자신으로부터 나가는 사상에 대한 보편 사상 문제를 푼다.

제15장으로 가는 다리 — 몫 사상이 완전열이 되다

제14장은 이제 완전열(exact sequence)의 언어로 넘어가기 직전, 완전히 구체적인 마지막 단계로 읽혀야 한다.

모든 정규부분군 $N⊴G$는 표준 사영

을 준다. 제15장은 그 하나의 사상을 짧은 완전열

로 다시 쓴다.

마찬가지로, 핵이 $N$인 모든 전사 준동형사상

은

로 다시 쓰여진다.

그래서 이 다리는 단순하지만 중요하다:

• 이 장은 몫군을 계산하고 준동형정리를 증명하는 법을 가르치고;
• 제15장은 같은 자료를 완전열 언어로 압축하며, 그러한 몫들이 어떻게 더 큰 군을 조립하는지 묻기 시작한다.

만약 제15장이 너무 압축되어 느껴지기 시작하면, 마음속으로 제14장으로 돌아가 모든 짧은 완전열을 다음으로 다시 풀어 보라:

1. 정규부분군,
2. 표준 또는 전사 준동형사상,
3. 몫군,
4. 핵 계산,
5. 상의 식별.

그 전개가 바로 새로운 표기법이 줄여서 나타내고 있는 것이다.

숙달 체크리스트

• 정규부분군의 정의와 세 가지 동치 조건을 진술하기
• 정규성 조건 (1)—(4)가 동치임을 증명하기
• 잉여류 곱셈의 잘 정의됨이 정규성을 필요로 함을 증명하기
• $G/N$이 군임을 증명하기(닫힘, 결합법칙, 항등원, 역원)
• 표준 사영 $\gamma :G\to G/N$의 성질을 진술하고 증명하기
• $G/N$의 보편 성질을 진술하고 증명하기: $N$을 죽이는, $G$로부터 나가는 사상은 몫을 통해 유일하게 분해된다
• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_8/⟨\bar{4}⟩$, $S_3/A_3$을 케일리 표와 함께 계산하기
• $S_3/⟨(12)⟩$(정규가 아닌 부분군)에서 무엇이 실패하는지 명시적으로 보이기
• FHT를 진술하고, 전사 준동형사상을 찾아 몫을 분류하는 데 사용하기
• 단순군을 정의하고; ${\mathbb{Z}}_p$가 단순함을 증명하고; $n\ge 5$에 대해 $A_n$이 단순함을 알기
• $\mathrm{Aut}(G)$가 군임과 $\mathrm{Inn}(G)⊴\mathrm{Aut}(G)$임을 증명하기
• $\mathrm{Inn}(G)\cong G/Z(G)$를 증명하기
• 핵—상 대응을 설명하기(랑의 관점)