몫군(quotient group, factor group)은 이 장의 핵심 구성이다. 정규부분군 N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G G / N G/N G / N
선수 지식. 잉여류와 라그랑주 정리(제10장), 직접곱(제11장), 준동형사상과 핵(제13장).
§14.1 정규부분군
정규성의 정의는 모든 몫군이 반드시 통과해야 하는 관문이다.
정의 14.1 (정규부분군). 군 G G G N N N G G G N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G
g N g − 1 = N for all g ∈ G , gNg^{-1} = N \quad \text{for all } g \in G, g N g − 1 = N for all g ∈ G , 여기서 g N g − 1 = { g n g − 1 : n ∈ N } gNg^{-1} = \{gng^{-1} : n \in N\} g N g − 1 = { g n g − 1 : n ∈ N }
정리 14.2 (정규성에 대한 동치 조건). N ≤ G N \le G N ≤ G
모든 g ∈ G g \in G g ∈ G g N g − 1 = N gNg^{-1} = N g N g − 1 = N
모든 g ∈ G g \in G g ∈ G g N g − 1 ⊆ N gNg^{-1} \subseteq N g N g − 1 ⊆ N
모든 g ∈ G g \in G g ∈ G g N = N g gN = Ng g N = N g
N N N G G G
(1) ⇒ \Rightarrow ⇒ 자명하다: 상등은 포함을 함의한다.
(2) ⇒ \Rightarrow ⇒ 모든 g ∈ G g \in G g ∈ G g N g − 1 ⊆ N gNg^{-1} \subseteq N g N g − 1 ⊆ N g g g g − 1 g^{-1} g − 1
g − 1 N g ⊆ N . g^{-1}Ng \subseteq N. g − 1 N g ⊆ N . 양변을 g g g
N = g ( g − 1 N g ) g − 1 ⊆ g N g − 1 . N = g(g^{-1}Ng)g^{-1} \subseteq gNg^{-1}. N = g ( g − 1 N g ) g − 1 ⊆ g N g − 1 . 가정 g N g − 1 ⊆ N gNg^{-1} \subseteq N g N g − 1 ⊆ N g N g − 1 = N gNg^{-1} = N g N g − 1 = N
(1) ⇒ \Rightarrow ⇒ g N g − 1 = N gNg^{-1} = N g N g − 1 = N n ∈ N n \in N n ∈ N n 1 ∈ N n_1 \in N n 1 ∈ N g n g − 1 = n 1 gng^{-1} = n_1 g n g − 1 = n 1 g n = n 1 g gn = n_1 g g n = n 1 g g N ⊆ N g gN \subseteq Ng g N ⊆ N g g g g g − 1 g^{-1} g − 1 N g ⊆ g N Ng \subseteq gN N g ⊆ g N g N = N g gN = Ng g N = N g
(3) ⇒ \Rightarrow ⇒ g N = N g gN = Ng g N = N g g n gn g n n 1 ∈ N n_1 \in N n 1 ∈ N n 1 g n_1 g n 1 g g n g − 1 = n 1 ∈ N gng^{-1} = n_1 \in N g n g − 1 = n 1 ∈ N g N g − 1 ⊆ N gNg^{-1} \subseteq N g N g − 1 ⊆ N g − 1 g^{-1} g − 1 g − 1 N g ⊆ N g^{-1}Ng \subseteq N g − 1 N g ⊆ N N ⊆ g N g − 1 N \subseteq gNg^{-1} N ⊆ g N g − 1 g N g − 1 = N gNg^{-1} = N g N g − 1 = N
(4) ⇒ \Rightarrow ⇒ 어떤 준동형사상 ϕ : G → G ′ \phi: G \to G' ϕ : G → G ′ N = ker ( ϕ ) N = \ker(\phi) N = ker ( ϕ ) n ∈ N n \in N n ∈ N g ∈ G g \in G g ∈ G
ϕ ( g n g − 1 ) = ϕ ( g ) ϕ ( n ) ϕ ( g ) − 1 = ϕ ( g ) e ′ ϕ ( g ) − 1 = e ′ . \phi(gng^{-1}) = \phi(g)\phi(n)\phi(g)^{-1} = \phi(g) e' \phi(g)^{-1} = e'. ϕ ( g n g − 1 ) = ϕ ( g ) ϕ ( n ) ϕ ( g ) − 1 = ϕ ( g ) e ′ ϕ ( g ) − 1 = e ′ . 따라서 g n g − 1 ∈ ker ( ϕ ) = N gng^{-1} \in \ker(\phi) = N g n g − 1 ∈ ker ( ϕ ) = N g N g − 1 ⊆ N gNg^{-1} \subseteq N g N g − 1 ⊆ N
(1) ⇒ \Rightarrow ⇒ 이것은 몫군 구성(아래 정리 14.4)을 필요로 한다. 일단 G / N G/N G / N γ : G → G / N \gamma: G \to G/N γ : G → G / N ker ( γ ) = N \ker(\gamma) = N ker ( γ ) = N ■ \blacksquare ■
참고. 조건 (2)는 실제로 가장 자주 확인하는 조건이다: N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G g ∈ G g \in G g ∈ G n ∈ N n \in N n ∈ N g n g − 1 ∈ N gng^{-1} \in N g n g − 1 ∈ N
따름정리 14.3. 아벨군의 모든 부분군은 정규이다. 지표(index)가 2 2 2
G G G g ∈ G g \in G g ∈ G n ∈ N n \in N n ∈ N g n g − 1 = g g − 1 n = n ∈ N gng^{-1} = gg^{-1}n = n \in N g n g − 1 = g g − 1 n = n ∈ N
[ G : N ] = 2 [G : N] = 2 [ G : N ] = 2 N N N G ∖ N G \setminus N G ∖ N e N = N = N e eN = N = Ne e N = N = N e g ∈ G g \in G g ∈ G g N = N g gN = Ng g N = N g ■ \blacksquare ■
§14.2 모든 핵은 정규이고, 모든 정규부분군은 핵이다
이것은 준동형사상을 정규성과 묶어 주는 완전한 특성화이다.
정리 14.4 (핵—정규 대응). G G G
ϕ : G → G ′ \phi: G \to G' ϕ : G → G ′ ker ( ϕ ) ⊴ G \ker(\phi) \trianglelefteq G ker ( ϕ ) ⊴ G N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G N = ker ( γ ) N = \ker(\gamma) N = ker ( γ ) γ : G → G / N \gamma: G \to G/N γ : G → G / N
요컨대: 부분군이 정규일 필요충분조건은 그것이 어떤 준동형사상의 핵인 것이다 .
(1) 은 정리 14.2의 동치 (4) ⇒ \Rightarrow ⇒ n ∈ ker ( ϕ ) n \in \ker(\phi) n ∈ ker ( ϕ ) g ∈ G g \in G g ∈ G
ϕ ( g n g − 1 ) = ϕ ( g ) e ′ ϕ ( g ) − 1 = e ′ , \phi(gng^{-1}) = \phi(g) e' \phi(g)^{-1} = e', ϕ ( g n g − 1 ) = ϕ ( g ) e ′ ϕ ( g ) − 1 = e ′ , 이므로 g n g − 1 ∈ ker ( ϕ ) gng^{-1} \in \ker(\phi) g n g − 1 ∈ ker ( ϕ )
(2) 는 몫군이 존재함을 필요로 한다. 아래 정리 14.5에 의해 G / N G/N G / N γ ( g ) = g N \gamma(g) = gN γ ( g ) = g N
g ∈ ker ( γ ) ⟺ γ ( g ) = N ⟺ g N = N ⟺ g ∈ N . g \in \ker(\gamma) \iff \gamma(g) = N \iff gN = N \iff g \in N. g ∈ ker ( γ ) ⟺ γ ( g ) = N ⟺ g N = N ⟺ g ∈ N . 따라서 ker ( γ ) = N \ker(\gamma) = N ker ( γ ) = N ■ \blacksquare ■
이 정리는 근본적이다: 이는 “정규부분군”과 “준동형사상의 핵”이라는 개념이 두 방향에서 바라본 동일한 개념임을 말해 준다.
§14.3 몫군 G / N G/N G / N
정의 14.5 (몫군 / 인수군). N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G 몫군 (또는 인수군 , factor group)은 집합
G / N = { g N : g ∈ G } G/N = \{gN : g \in G\} G / N = { g N : g ∈ G } 즉 G G G N N N
( a N ) ( b N ) = ( a b ) N . (aN)(bN) = (ab)N. ( a N ) ( b N ) = ( ab ) N . 을 부여한 것이다.
결정적인 질문: 이 연산이 잘 정의되는가(well-defined)? 이 곱은 대표원 a a a b b b
정리 14.6 (G / N G/N G / N N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G
G / N G/N G / N ( a N ) ( b N ) = ( a b ) N (aN)(bN) = (ab)N ( a N ) ( b N ) = ( ab ) N G / N G/N G / N N = e N N = eN N = e N ( g N ) − 1 = g − 1 N (gN)^{-1} = g^{-1}N ( g N ) − 1 = g − 1 N
(1) 잘 정의됨. a N = a ′ N aN = a'N a N = a ′ N b N = b ′ N bN = b'N b N = b ′ N ( a b ) N = ( a ′ b ′ ) N (ab)N = (a'b')N ( ab ) N = ( a ′ b ′ ) N ( a ′ b ′ ) − 1 ( a b ) ∈ N (a'b')^{-1}(ab) \in N ( a ′ b ′ ) − 1 ( ab ) ∈ N
a N = a ′ N aN = a'N a N = a ′ N n 1 ∈ N n_1 \in N n 1 ∈ N a ′ = a n 1 a' = an_1 a ′ = a n 1 b N = b ′ N bN = b'N b N = b ′ N n 2 ∈ N n_2 \in N n 2 ∈ N b ′ = b n 2 b' = bn_2 b ′ = b n 2
a ′ b ′ = a n 1 ⋅ b n 2 . a'b' = an_1 \cdot bn_2. a ′ b ′ = a n 1 ⋅ b n 2 . N N N n 1 b = b ( b − 1 n 1 b ) n_1 b = b(b^{-1}n_1 b) n 1 b = b ( b − 1 n 1 b ) b − 1 n 1 b ∈ N b^{-1}n_1 b \in N b − 1 n 1 b ∈ N n 3 n_3 n 3
a ′ b ′ = a ⋅ b ⋅ n 3 ⋅ n 2 = a b ( n 3 n 2 ) . a'b' = a \cdot b \cdot n_3 \cdot n_2 = ab(n_3 n_2). a ′ b ′ = a ⋅ b ⋅ n 3 ⋅ n 2 = ab ( n 3 n 2 ) . n 3 n 2 ∈ N n_3 n_2 \in N n 3 n 2 ∈ N a ′ b ′ ∈ ( a b ) N a'b' \in (ab)N a ′ b ′ ∈ ( ab ) N ( a ′ b ′ ) N = ( a b ) N (a'b')N = (ab)N ( a ′ b ′ ) N = ( ab ) N
(2) 군 공리.
( ( a N ) ( b N ) ) ( c N ) = ( a b ) N ⋅ c N = ( ( a b ) c ) N = ( a ( b c ) ) N = a N ⋅ ( b c ) N = ( a N ) ( ( b N ) ( c N ) ) . ((aN)(bN))(cN) = (ab)N \cdot cN = ((ab)c)N = (a(bc))N = aN \cdot (bc)N = (aN)((bN)(cN)). (( a N ) ( b N )) ( c N ) = ( ab ) N ⋅ c N = (( ab ) c ) N = ( a ( b c )) N = a N ⋅ ( b c ) N = ( a N ) (( b N ) ( c N )) .
항등원: N = e N N = eN N = e N ( e N ) ( g N ) = ( e g ) N = g N (eN)(gN) = (eg)N = gN ( e N ) ( g N ) = ( e g ) N = g N ( g N ) ( e N ) = ( g e ) N = g N (gN)(eN) = (ge)N = gN ( g N ) ( e N ) = ( g e ) N = g N
역원: ( g N ) ( g − 1 N ) = ( g g − 1 ) N = e N = N (gN)(g^{-1}N) = (gg^{-1})N = eN = N ( g N ) ( g − 1 N ) = ( g g − 1 ) N = e N = N ( g − 1 N ) ( g N ) = N (g^{-1}N)(gN) = N ( g − 1 N ) ( g N ) = N ■ \blacksquare ■
그림: 대표원이 바뀔 때 몫의 곱셈이 잘 정의되는 이유.
두 행은 같은 입력 잉여류에서 출발하지만 서로 다른 대표원을 선택한다. 증명이 보이는 것은 두 곱이 여전히 같은 출력 잉여류에 도달한다는 사실이다. 그것이 바로 “곱셈이 잉여류로 내려간다(descends to cosets)“는 말의 정확한 의미이다.
정리 14.7 (정규성은 필요하다). H ≤ G H \le G H ≤ G { g H : g ∈ G } \{gH : g \in G\} { g H : g ∈ G } ( a H ) ( b H ) = ( a b ) H (aH)(bH) = (ab)H ( a H ) ( b H ) = ( ab ) H H ⊴ G H \trianglelefteq G H ⊴ G
잉여류 곱셈이 잘 정의된다고 하자. g ∈ G g \in G g ∈ G n ∈ N n \in N n ∈ N g n g − 1 ∈ H gng^{-1} \in H g n g − 1 ∈ H
잉여류 g H gH g H g − 1 H g^{-1}H g − 1 H n ∈ H n \in H n ∈ H g n H = g H gnH = gH g n H = g H g n gn g n g g g H H H
( g n H ) ( g − 1 H ) = ( g H ) ( g − 1 H ) . (gnH)(g^{-1}H) = (gH)(g^{-1}H). ( g n H ) ( g − 1 H ) = ( g H ) ( g − 1 H ) . 왼쪽은 ( g n g − 1 ) H (gng^{-1})H ( g n g − 1 ) H ( g g − 1 ) H = e H = H (gg^{-1})H = eH = H ( g g − 1 ) H = eH = H ( g n g − 1 ) H = H (gng^{-1})H = H ( g n g − 1 ) H = H g n g − 1 ∈ H gng^{-1} \in H g n g − 1 ∈ H ■ \blacksquare ■
정리 14.6과 14.7을 결합하면: 잉여류 곱셈 ( a N ) ( b N ) = ( a b ) N (aN)(bN) = (ab)N ( a N ) ( b N ) = ( ab ) N N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G
§14.4 표준 사영
정의 14.8 (표준 사영). N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G 표준 사영 (또는 자연 준동형사상 , natural homomorphism)은
γ : G → G / N , γ ( g ) = g N . \gamma: G \to G/N, \qquad \gamma(g) = gN. γ : G → G / N , γ ( g ) = g N . 정리 14.9. 표준 사영 γ \gamma γ ker ( γ ) = N \ker(\gamma) = N ker ( γ ) = N
준동형사상:
γ ( a b ) = ( a b ) N = ( a N ) ( b N ) = γ ( a ) γ ( b ) . \gamma(ab) = (ab)N = (aN)(bN) = \gamma(a)\gamma(b). γ ( ab ) = ( ab ) N = ( a N ) ( b N ) = γ ( a ) γ ( b ) . 전사: G / N G/N G / N g ∈ G g \in G g ∈ G g N = γ ( g ) gN = \gamma(g) g N = γ ( g )
핵:
g ∈ ker ( γ ) ⟺ γ ( g ) = N ⟺ g N = e N ⟺ g ∈ N . g \in \ker(\gamma) \iff \gamma(g) = N \iff gN = eN \iff g \in N. g ∈ ker ( γ ) ⟺ γ ( g ) = N ⟺ g N = e N ⟺ g ∈ N . 따라서 ker ( γ ) = N \ker(\gamma) = N ker ( γ ) = N ■ \blacksquare ■
이로써 원이 완성된다: 모든 정규부분군은 자기 자신의 표준 사영의 핵이고, 모든 핵은 정규부분군이다.
몫은 N N N
이것은 몫군을 단순한 구성에서 보편 대상(universal object)으로 바꾸는 랑(Lang)식 정식화이다.
정리 14.9a (몫의 보편 성질). N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G
γ : G → G / N , γ ( g ) = g N \gamma:G\to G/N,\qquad \gamma(g)=gN γ : G → G / N , γ ( g ) = g N 을 표준 사영이라 하자. ϕ : G → H \phi:G\to H ϕ : G → H
N ⊆ ker ( ϕ ) , N\subseteq \ker(\phi), N ⊆ ker ( ϕ ) , 다음을 만족하는 유일한 준동형사상
ϕ ‾ : G / N → H \overline{\phi}:G/N\to H ϕ : G / N → H 가 존재한다.
ϕ = ϕ ‾ ∘ γ . \phi=\overline{\phi}\circ \gamma. ϕ = ϕ ∘ γ . 동치로: G G G G / N G/N G / N N N N
그림: 몫의 보편 성질.
이 삼각형은 N N N G / N G/N G / N
존재성. 다음과 같이 정의하자.
ϕ ‾ ( g N ) = ϕ ( g ) . \overline{\phi}(gN)=\phi(g). ϕ ( g N ) = ϕ ( g ) . 먼저 이것이 잘 정의됨을 보여야 한다. g N = h N gN=hN g N = h N
h − 1 g ∈ N . h^{-1}g\in N. h − 1 g ∈ N . N ⊆ ker ( ϕ ) N\subseteq \ker(\phi) N ⊆ ker ( ϕ ) ϕ ( h − 1 g ) = e H \phi(h^{-1}g)=e_H ϕ ( h − 1 g ) = e H
ϕ ( h ) − 1 ϕ ( g ) = e H \phi(h)^{-1}\phi(g)=e_H ϕ ( h ) − 1 ϕ ( g ) = e H 이므로 ϕ ( g ) = ϕ ( h ) \phi(g)=\phi(h) ϕ ( g ) = ϕ ( h ) ϕ ‾ ( g N ) \overline{\phi}(gN) ϕ ( g N )
이제 준동형 법칙을 확인하자:
ϕ ‾ ( ( g N ) ( h N ) ) = ϕ ‾ ( g h N ) = ϕ ( g h ) = ϕ ( g ) ϕ ( h ) = ϕ ‾ ( g N ) ϕ ‾ ( h N ) . \overline{\phi}((gN)(hN))=\overline{\phi}(ghN)=\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)=\overline{\phi}(gN)\,\overline{\phi}(hN). ϕ (( g N ) ( h N )) = ϕ ( g h N ) = ϕ ( g h ) = ϕ ( g ) ϕ ( h ) = ϕ ( g N ) ϕ ( h N ) . 따라서 ϕ ‾ \overline{\phi} ϕ
마지막으로,
( ϕ ‾ ∘ γ ) ( g ) = ϕ ‾ ( g N ) = ϕ ( g ) , (\overline{\phi}\circ \gamma)(g)=\overline{\phi}(gN)=\phi(g), ( ϕ ∘ γ ) ( g ) = ϕ ( g N ) = ϕ ( g ) , 이므로 삼각형이 가환(commute)한다.
유일성. ψ : G / N → H \psi:G/N\to H ψ : G / N → H ϕ = ψ ∘ γ \phi=\psi\circ\gamma ϕ = ψ ∘ γ g N gN g N
ψ ( g N ) = ψ ( γ ( g ) ) = ϕ ( g ) = ϕ ‾ ( g N ) . \psi(gN)=\psi(\gamma(g))=\phi(g)=\overline{\phi}(gN). ψ ( g N ) = ψ ( γ ( g )) = ϕ ( g ) = ϕ ( g N ) . G / N G/N G / N g N gN g N ψ = ϕ ‾ \psi=\overline{\phi} ψ = ϕ ■ \blacksquare ■
이 정리는 몫이 하는 일을 가장 깔끔하게 표현하는 방법이다: 그것은 N N N G G G
특별히 중요한 두 가지 특수한 경우가 있다:
N = ker ( ϕ ) N=\ker(\phi) N = ker ( ϕ ) ϕ ‾ : G / N → im ( ϕ ) \overline{\phi}:G/N\to \operatorname{im}(\phi) ϕ : G / N → im ( ϕ ) ϕ \phi ϕ N = ker ( ϕ ) N=\ker(\phi) N = ker ( ϕ ) G / N ≅ H . G/N\cong H. G / N ≅ H .
§14.5 구체적인 몫군 계산
예제 14.10: Z / n Z ≅ Z n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n Z / n Z ≅ Z n
γ n ( m ) = m ˉ \gamma_n(m) = \bar{m} γ n ( m ) = m ˉ m m m n n n γ n : Z → Z n \gamma_n: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n γ n : Z → Z n ker ( γ n ) = n Z \ker(\gamma_n) = n\mathbb{Z} ker ( γ n ) = n Z
n = 4 n = 4 n = 4 Z \mathbb{Z} Z 4 Z 4\mathbb{Z} 4 Z
0 + 4 Z = { … , − 8 , − 4 , 0 , 4 , 8 , … } , 1 + 4 Z = { … , − 7 , − 3 , 1 , 5 , 9 , … } , 2 + 4 Z = { … , − 6 , − 2 , 2 , 6 , 10 , … } , 3 + 4 Z = { … , − 5 , − 1 , 3 , 7 , 11 , … } . \begin{aligned}
0 + 4\mathbb{Z} &= \{\ldots, -8, -4, 0, 4, 8, \ldots\}, \\
1 + 4\mathbb{Z} &= \{\ldots, -7, -3, 1, 5, 9, \ldots\}, \\
2 + 4\mathbb{Z} &= \{\ldots, -6, -2, 2, 6, 10, \ldots\}, \\
3 + 4\mathbb{Z} &= \{\ldots, -5, -1, 3, 7, 11, \ldots\}.
\end{aligned} 0 + 4 Z 1 + 4 Z 2 + 4 Z 3 + 4 Z = { … , − 8 , − 4 , 0 , 4 , 8 , … } , = { … , − 7 , − 3 , 1 , 5 , 9 , … } , = { … , − 6 , − 2 , 2 , 6 , 10 , … } , = { … , − 5 , − 1 , 3 , 7 , 11 , … } . 이들은 정확히 법 4 4 4
Z / 4 Z ≅ Z 4 . \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_4. Z /4 Z ≅ Z 4 . 더 일반적으로, 모든 양의 정수 n n n Z / n Z ≅ Z n \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n Z / n Z ≅ Z n
예제 14.11: 케일리 표와 함께 보는 Z 8 / ⟨ 4 ˉ ⟩ \mathbb{Z}_8 / \langle \bar{4} \rangle Z 8 / ⟨ 4 ˉ ⟩
H = ⟨ 4 ˉ ⟩ = { 0 ˉ , 4 ˉ } ≤ Z 8 H = \langle \bar{4} \rangle = \{\bar{0}, \bar{4}\} \le \mathbb{Z}_8 H = ⟨ 4 ˉ ⟩ = { 0 ˉ , 4 ˉ } ≤ Z 8 Z 8 \mathbb{Z}_8 Z 8 H ⊴ Z 8 H \trianglelefteq \mathbb{Z}_8 H ⊴ Z 8 Z 8 / H \mathbb{Z}_8 / H Z 8 / H ∣ Z 8 ∣ / ∣ H ∣ = 8 / 2 = 4 |\mathbb{Z}_8|/|H| = 8/2 = 4 ∣ Z 8 ∣/∣ H ∣ = 8/2 = 4
H = { 0 ˉ , 4 ˉ } , 1 ˉ + H = { 1 ˉ , 5 ˉ } , 2 ˉ + H = { 2 ˉ , 6 ˉ } , 3 ˉ + H = { 3 ˉ , 7 ˉ } . H = \{\bar{0}, \bar{4}\}, \quad \bar{1}+H = \{\bar{1}, \bar{5}\}, \quad \bar{2}+H = \{\bar{2}, \bar{6}\}, \quad \bar{3}+H = \{\bar{3}, \bar{7}\}. H = { 0 ˉ , 4 ˉ } , 1 ˉ + H = { 1 ˉ , 5 ˉ } , 2 ˉ + H = { 2 ˉ , 6 ˉ } , 3 ˉ + H = { 3 ˉ , 7 ˉ } . Z 8 / ⟨ 4 ˉ ⟩ \mathbb{Z}_8 / \langle \bar{4} \rangle Z 8 / ⟨ 4 ˉ ⟩
+ + + H H H 1 ˉ + H \bar{1}+H 1 ˉ + H 2 ˉ + H \bar{2}+H 2 ˉ + H 3 ˉ + H \bar{3}+H 3 ˉ + H H H H H H H 1 ˉ + H \bar{1}+H 1 ˉ + H 2 ˉ + H \bar{2}+H 2 ˉ + H 3 ˉ + H \bar{3}+H 3 ˉ + H 1 ˉ + H \bar{1}+H 1 ˉ + H 1 ˉ + H \bar{1}+H 1 ˉ + H 2 ˉ + H \bar{2}+H 2 ˉ + H 3 ˉ + H \bar{3}+H 3 ˉ + H H H H 2 ˉ + H \bar{2}+H 2 ˉ + H 2 ˉ + H \bar{2}+H 2 ˉ + H 3 ˉ + H \bar{3}+H 3 ˉ + H H H H 1 ˉ + H \bar{1}+H 1 ˉ + H 3 ˉ + H \bar{3}+H 3 ˉ + H 3 ˉ + H \bar{3}+H 3 ˉ + H H H H 1 ˉ + H \bar{1}+H 1 ˉ + H 2 ˉ + H \bar{2}+H 2 ˉ + H
서로 다른 대표원을 이용한 한 성분의 검증: ( 3 ˉ + H ) + ( 3 ˉ + H ) (\bar{3}+H)+(\bar{3}+H) ( 3 ˉ + H ) + ( 3 ˉ + H ) 3 ˉ \bar{3} 3 ˉ 7 ˉ \bar{7} 7 ˉ 3 ˉ + H \bar{3}+H 3 ˉ + H
3 ˉ + 7 ˉ = 10 ‾ = 2 ˉ ∈ 2 ˉ + H . ✓ \bar{3} + \bar{7} = \overline{10} = \bar{2} \in \bar{2}+H. \qquad \checkmark 3 ˉ + 7 ˉ = 10 = 2 ˉ ∈ 2 ˉ + H . ✓ 이 표는 생성원 1 ˉ + H \bar{1}+H 1 ˉ + H 4 4 4
Z 8 / ⟨ 4 ˉ ⟩ ≅ Z 4 . \mathbb{Z}_8 / \langle \bar{4} \rangle \cong \mathbb{Z}_4. Z 8 / ⟨ 4 ˉ ⟩ ≅ Z 4 . 예제 14.12: S 3 / A 3 ≅ Z 2 S_3 / A_3 \cong \mathbb{Z}_2 S 3 / A 3 ≅ Z 2
A 3 = { e , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 ) } A_3 = \{e, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\} A 3 = { e , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 )} 3 3 3 ∣ A 3 ∣ = 3 |A_3| = 3 ∣ A 3 ∣ = 3 [ S 3 : A 3 ] = 6 / 3 = 2 [S_3 : A_3] = 6/3 = 2 [ S 3 : A 3 ] = 6/3 = 2 A 3 A_3 A 3 S 3 S_3 S 3 2 2 2
두 잉여류는 다음과 같다:
A 3 = { e , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 ) } (the even permutations) , ( 1 2 ) A 3 = { ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) } (the odd permutations) . \begin{aligned}
A_3 &= \{e,\; (1\ 2\ 3),\; (1\ 3\ 2)\} \quad \text{(the even permutations)}, \\
(1\ 2)A_3 &= \{(1\ 2),\; (1\ 3),\; (2\ 3)\} \quad \text{(the odd permutations)}.
\end{aligned} A 3 ( 1 2 ) A 3 = { e , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 )} (the even permutations) , = {( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 )} (the odd permutations) . S 3 / A 3 S_3 / A_3 S 3 / A 3
⋅ \cdot ⋅ A 3 A_3 A 3 ( 1 2 ) A 3 (1\ 2)A_3 ( 1 2 ) A 3 A 3 A_3 A 3 A 3 A_3 A 3 ( 1 2 ) A 3 (1\ 2)A_3 ( 1 2 ) A 3 ( 1 2 ) A 3 (1\ 2)A_3 ( 1 2 ) A 3 ( 1 2 ) A 3 (1\ 2)A_3 ( 1 2 ) A 3 A 3 A_3 A 3
확인: ( ( 1 2 ) A 3 ) ( ( 1 2 ) A 3 ) = ( 1 2 ) ( 1 2 ) A 3 = e A 3 = A 3 ((1\ 2)A_3)((1\ 2)A_3) = (1\ 2)(1\ 2) A_3 = eA_3 = A_3 (( 1 2 ) A 3 ) (( 1 2 ) A 3 ) = ( 1 2 ) ( 1 2 ) A 3 = e A 3 = A 3 ( ( 1 3 ) A 3 ) ( ( 2 3 ) A 3 ) = ( 1 3 ) ( 2 3 ) A 3 = ( 1 2 3 ) A 3 = A 3 ((1\ 3)A_3)((2\ 3)A_3) = (1\ 3)(2\ 3)A_3 = (1\ 2\ 3)A_3 = A_3 (( 1 3 ) A 3 ) (( 2 3 ) A 3 ) = ( 1 3 ) ( 2 3 ) A 3 = ( 1 2 3 ) A 3 = A 3 ✓ \checkmark ✓
이것은 위수 2 2 2
S 3 / A 3 ≅ Z 2 . S_3 / A_3 \cong \mathbb{Z}_2. S 3 / A 3 ≅ Z 2 . 다른 방법으로: 부호 준동형사상 sgn : S 3 → { 1 , − 1 } \operatorname{sgn}: S_3 \to \{1, -1\} sgn : S 3 → { 1 , − 1 } ker ( sgn ) = A 3 \ker(\operatorname{sgn}) = A_3 ker ( sgn ) = A 3 { 1 , − 1 } ≅ Z 2 \{1,-1\} \cong \mathbb{Z}_2 { 1 , − 1 } ≅ Z 2 S 3 / A 3 ≅ Z 2 S_3/A_3 \cong \mathbb{Z}_2 S 3 / A 3 ≅ Z 2
예제 14.13: ( Z 4 × Z 2 ) / ( { 0 } × Z 2 ) ≅ Z 4 (\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2) / (\{0\} \times \mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_4 ( Z 4 × Z 2 ) / ({ 0 } × Z 2 ) ≅ Z 4
N = { 0 } × Z 2 = { ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } N = \{0\} \times \mathbb{Z}_2 = \{(0,0),\; (0,1)\} N = { 0 } × Z 2 = {( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 )}
π 1 : Z 4 × Z 2 → Z 4 , π 1 ( a , b ) = a , \pi_1: \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_4, \qquad \pi_1(a, b) = a, π 1 : Z 4 × Z 2 → Z 4 , π 1 ( a , b ) = a , 은 ker ( π 1 ) = { ( a , b ) : a = 0 } = { 0 } × Z 2 = N \ker(\pi_1) = \{(a,b) : a = 0\} = \{0\} \times \mathbb{Z}_2 = N ker ( π 1 ) = {( a , b ) : a = 0 } = { 0 } × Z 2 = N
기본준동형정리에 의해:
( Z 4 × Z 2 ) / ( { 0 } × Z 2 ) ≅ Z 4 . (\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2) / (\{0\} \times \mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_4. ( Z 4 × Z 2 ) / ({ 0 } × Z 2 ) ≅ Z 4 . 명시적으로, 네 개의 잉여류는 다음과 같다:
N = { ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } , ( 1 , 0 ) + N = { ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } , ( 2 , 0 ) + N = { ( 2 , 0 ) , ( 2 , 1 ) } , ( 3 , 0 ) + N = { ( 3 , 0 ) , ( 3 , 1 ) } . \begin{aligned}
N &= \{(0,0),\; (0,1)\}, \\
(1,0) + N &= \{(1,0),\; (1,1)\}, \\
(2,0) + N &= \{(2,0),\; (2,1)\}, \\
(3,0) + N &= \{(3,0),\; (3,1)\}.
\end{aligned} N ( 1 , 0 ) + N ( 2 , 0 ) + N ( 3 , 0 ) + N = {( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 )} , = {( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 )} , = {( 2 , 0 ) , ( 2 , 1 )} , = {( 3 , 0 ) , ( 3 , 1 )} . 각 잉여류는 두 번째 좌표를 무너뜨리고, 첫 번째 좌표를 Z 4 \mathbb{Z}_4 Z 4
예제 14.14: R / Z \mathbb{R}/\mathbb{Z} R / Z
덧셈군 ( R , + ) (\mathbb{R}, +) ( R , + ) Z ⊴ R \mathbb{Z} \trianglelefteq \mathbb{R} Z ⊴ R x , y x, y x , y Z \mathbb{Z} Z x − y ∈ Z x - y \in \mathbb{Z} x − y ∈ Z x + Z x + \mathbb{Z} x + Z [ 0 , 1 ) [0, 1) [ 0 , 1 )
사상
ϕ : R → S 1 , ϕ ( x ) = e 2 π i x , \phi: \mathbb{R} \to S^1, \qquad \phi(x) = e^{2\pi i x}, ϕ : R → S 1 , ϕ ( x ) = e 2 πi x , 여기서 S 1 = { z ∈ C : ∣ z ∣ = 1 } S^1 = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\} S 1 = { z ∈ C : ∣ z ∣ = 1 } ( R , + ) (\mathbb{R}, +) ( R , + ) ( S 1 , ⋅ ) (S^1, \cdot) ( S 1 , ⋅ )
ker ( ϕ ) = { x ∈ R : e 2 π i x = 1 } = Z . \ker(\phi) = \{x \in \mathbb{R} : e^{2\pi i x} = 1\} = \mathbb{Z}. ker ( ϕ ) = { x ∈ R : e 2 πi x = 1 } = Z . 이다. 기본준동형정리에 의해:
R / Z ≅ S 1 . \mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1. R / Z ≅ S 1 . 이것이 원군 (circle group)이다: 법 1 1 1
§14.6 잘 정의됨이 중요한 이유: 정규가 아닌 부분군
H = { e , ( 1 2 ) } ≤ S 3 H = \{e, (1\ 2)\} \le S_3 H = { e , ( 1 2 )} ≤ S 3 S 3 S_3 S 3 정규가 아니다 ([ S 3 : H ] = 3 ≠ 2 [S_3:H] = 3 \neq 2 [ S 3 : H ] = 3 = 2
H H H
H = { e , ( 1 2 ) } , ( 1 3 ) H = { ( 1 3 ) , ( 1 2 3 ) } , ( 2 3 ) H = { ( 2 3 ) , ( 1 3 2 ) } . \begin{aligned}
H &= \{e,\; (1\ 2)\}, \\
(1\ 3)H &= \{(1\ 3),\; (1\ 2\ 3)\}, \\
(2\ 3)H &= \{(2\ 3),\; (1\ 3\ 2)\}.
\end{aligned} H ( 1 3 ) H ( 2 3 ) H = { e , ( 1 2 )} , = {( 1 3 ) , ( 1 2 3 )} , = {( 2 3 ) , ( 1 3 2 )} . ( ( 1 3 ) H ) ( ( 2 3 ) H ) ((1\ 3)H)((2\ 3)H) (( 1 3 ) H ) (( 2 3 ) H )
대표원 ( 1 3 ) (1\ 3) ( 1 3 ) ( 2 3 ) (2\ 3) ( 2 3 ) ( 1 3 ) ( 2 3 ) = ( 1 3 2 ) ∈ ( 2 3 ) H (1\ 3)(2\ 3) = (1\ 3\ 2) \in (2\ 3)H ( 1 3 ) ( 2 3 ) = ( 1 3 2 ) ∈ ( 2 3 ) H
대표원 ( 1 2 3 ) (1\ 2\ 3) ( 1 2 3 ) ( 1 3 2 ) (1\ 3\ 2) ( 1 3 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 3 2 ) = e ∈ H (1\ 2\ 3)(1\ 3\ 2) = e \in H ( 1 2 3 ) ( 1 3 2 ) = e ∈ H
그림: 부분군이 정규가 아닐 때 몫의 곱셈이 실패하는 모습.
따라서 ( 1 3 2 ) ∈ ( 2 3 ) H (1\ 3\ 2) \in (2\ 3)H ( 1 3 2 ) ∈ ( 2 3 ) H e ∈ H e \in H e ∈ H 서로 다른 잉여류 에 있는 곱을 준다. 이 “곱셈”은 어떤 대표원을 택하느냐에 의존하므로, 잉여류 위의 함수가 아니다. 이 연산은 잘 정의되지 않는다 .
이것이 바로 정규성이 막아 주는 것이다: N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G g N = N g gN = Ng g N = N g
생산적 분투 — 몫에 대한 직관이 보통 어긋나는 지점
잉여류들의 집합을 일단 적어 놓으면, 몫 연산은 자동으로 ( a N ) ( b N ) = a b N (aN)(bN)=abN ( a N ) ( b N ) = ab N
무너지는 지점. 이 연산은 같은 잉여류에서 나온 서로 다른 대표원이 항상 같은 답을 주어야만 비로소 의미를 가진다. S 3 S_3 S 3
수정된 방법. 잘 정의됨을 표기 관례가 아니라 하나의 정리로 다루어라. 다음 중 하나를 하라:
정규성을 증명한 다음 잉여류 곱셈을 사용하거나,
전사 준동형사상을 통해 몫을 구성하고 핵 정리를 사용하라.
∣ G / N ∣ |G/N| ∣ G / N ∣
무너지는 지점. 위수는 후보 목록만 줄 뿐이다. 위수 4 4 4 Z 4 \mathbb{Z}_4 Z 4 V 4 V_4 V 4 8 8 8
수정된 방법. 위수를 계산한 후 다음 중 하나를 하라:
핵이 N N N
몫 원소 한두 개의 위수를 계산하거나;
몫이 충분히 작으면 몫의 케일리 표를 만들어라.
이것을 내재화하고 나면 제14장은 훨씬 쉬워진다: 어려운 부분은 잉여류의 개수를 세는 것이 아니라, 그 연산이 잘 정의됨을 증명하고 그 결과로 나오는 군을 식별하는 것이다.
§14.7 기본준동형정리 (몫 형태)
이것은 이 장 전체를 조직하는 정리이다.
정리 14.15 (기본준동형정리 / 제1동형정리). ϕ : G → G ′ \phi: G \to G' ϕ : G → G ′ N = ker ( ϕ ) N = \ker(\phi) N = ker ( ϕ )
N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G ϕ [ G ] \phi[G] ϕ [ G ] G ′ G' G ′ μ ( g N ) = ϕ ( g ) \mu(gN) = \phi(g) μ ( g N ) = ϕ ( g ) μ : G / N → ϕ [ G ] \mu: G/N \to \phi[G] μ : G / N → ϕ [ G ] γ : G → G / N \gamma: G \to G/N γ : G → G / N ϕ = μ ∘ γ \phi = \mu \circ \gamma ϕ = μ ∘ γ
도표로 나타내면:
G → γ G / N → μ ≅ ϕ [ G ] ⊆ G ′ . G \xrightarrow{\;\gamma\;} G/N \xrightarrow{\;\mu\;\cong\;} \phi[G] \subseteq G'. G γ G / N μ ≅ ϕ [ G ] ⊆ G ′ .
(1) 은 정리 14.4에서 증명되었다.
(2) ϕ ( a ) , ϕ ( b ) ∈ ϕ [ G ] \phi(a), \phi(b) \in \phi[G] ϕ ( a ) , ϕ ( b ) ∈ ϕ [ G ] ϕ ( a ) ϕ ( b ) − 1 = ϕ ( a b − 1 ) ∈ ϕ [ G ] \phi(a)\phi(b)^{-1} = \phi(ab^{-1}) \in \phi[G] ϕ ( a ) ϕ ( b ) − 1 = ϕ ( a b − 1 ) ∈ ϕ [ G ]
(3) μ \mu μ
잘 정의됨: a N = b N aN = bN a N = b N b − 1 a ∈ N = ker ( ϕ ) b^{-1}a \in N = \ker(\phi) b − 1 a ∈ N = ker ( ϕ ) ϕ ( b − 1 a ) = e ′ \phi(b^{-1}a) = e' ϕ ( b − 1 a ) = e ′ ϕ ( a ) = ϕ ( b ) \phi(a) = \phi(b) ϕ ( a ) = ϕ ( b ) μ ( a N ) = μ ( b N ) \mu(aN) = \mu(bN) μ ( a N ) = μ ( b N )
준동형사상:
μ ( ( a N ) ( b N ) ) = μ ( ( a b ) N ) = ϕ ( a b ) = ϕ ( a ) ϕ ( b ) = μ ( a N ) μ ( b N ) . \mu((aN)(bN)) = \mu((ab)N) = \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = \mu(aN)\mu(bN). μ (( a N ) ( b N )) = μ (( ab ) N ) = ϕ ( ab ) = ϕ ( a ) ϕ ( b ) = μ ( a N ) μ ( b N ) .
단사: μ ( a N ) = e ′ \mu(aN) = e' μ ( a N ) = e ′ ϕ ( a ) = e ′ \phi(a) = e' ϕ ( a ) = e ′ a ∈ ker ( ϕ ) = N a \in \ker(\phi) = N a ∈ ker ( ϕ ) = N a N = N aN = N a N = N μ \mu μ μ \mu μ
ϕ [ G ] \phi[G] ϕ [ G ] ϕ ( g ) ∈ ϕ [ G ] \phi(g) \in \phi[G] ϕ ( g ) ∈ ϕ [ G ] μ ( g N ) = ϕ ( g ) \mu(gN) = \phi(g) μ ( g N ) = ϕ ( g )
(4) 임의의 g ∈ G g \in G g ∈ G ( μ ∘ γ ) ( g ) = μ ( γ ( g ) ) = μ ( g N ) = ϕ ( g ) (\mu \circ \gamma)(g) = \mu(\gamma(g)) = \mu(gN) = \phi(g) ( μ ∘ γ ) ( g ) = μ ( γ ( g )) = μ ( g N ) = ϕ ( g ) ■ \blacksquare ■
따름정리 14.16. ϕ : G → G ′ \phi: G \to G' ϕ : G → G ′ N N N 전사 준동형사상이면,
G / N ≅ G ′ . G/N \cong G'. G / N ≅ G ′ . 이 따름정리는 대단히 강력하다: 몫 G / N G/N G / N G G G N N N
예제 14.16a: 실제 전사 준동형사상으로부터 몫 구성하기
다음을 정의하자.
ϕ : Z × Z → Z 6 , ϕ ( a , b ) = a + 2 b ‾ . \phi:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_6,\qquad \phi(a,b)=\overline{a+2b}. ϕ : Z × Z → Z 6 , ϕ ( a , b ) = a + 2 b . 이것은 준동형사상인데, 왜냐하면
ϕ ( ( a , b ) + ( c , d ) ) = ( a + c ) + 2 ( b + d ) ‾ = a + 2 b ‾ + c + 2 d ‾ . \phi((a,b)+(c,d))=\overline{(a+c)+2(b+d)}=\overline{a+2b}+\overline{c+2d}. ϕ (( a , b ) + ( c , d )) = ( a + c ) + 2 ( b + d ) = a + 2 b + c + 2 d . 이기 때문이다. 또한 전사인데, 왜냐하면
ϕ ( 1 , 0 ) = 1 ˉ , \phi(1,0)=\bar{1}, ϕ ( 1 , 0 ) = 1 ˉ , 이고 1 ˉ \bar{1} 1 ˉ Z 6 \mathbb{Z}_6 Z 6
이제 핵을 계산하자:
ker ( ϕ ) = { ( a , b ) ∈ Z 2 : a + 2 b ≡ 0 ( m o d 6 ) } . \ker(\phi)=\{(a,b)\in \mathbb{Z}^2 : a+2b\equiv 0\pmod 6\}. ker ( ϕ ) = {( a , b ) ∈ Z 2 : a + 2 b ≡ 0 ( mod 6 )} . 이를 다시 쓰면
a = 6 k − 2 b a=6k-2b a = 6 k − 2 b 어떤 정수 k k k b = t b=t b = t
( a , b ) = ( 6 k − 2 t , t ) = k ( 6 , 0 ) + t ( − 2 , 1 ) . (a,b)=(6k-2t,t)=k(6,0)+t(-2,1). ( a , b ) = ( 6 k − 2 t , t ) = k ( 6 , 0 ) + t ( − 2 , 1 ) . 을 얻는다. 따라서
ker ( ϕ ) = ⟨ ( 6 , 0 ) , ( − 2 , 1 ) ⟩ . \ker(\phi)=\langle (6,0),\,(-2,1)\rangle. ker ( ϕ ) = ⟨( 6 , 0 ) , ( − 2 , 1 )⟩ . 그러므로 몫은
( Z × Z ) / ⟨ ( 6 , 0 ) , ( − 2 , 1 ) ⟩ ≅ Z 6 . (\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})/\langle (6,0),(-2,1)\rangle \cong \mathbb{Z}_6. ( Z × Z ) / ⟨( 6 , 0 ) , ( − 2 , 1 )⟩ ≅ Z 6 . 이것이 바로 제15장이 계속 사용할 사고방식이다: 먼저 적절한 전사 사상을 찾아 몫을 식별하고, 그런 다음에야 핵을 무너뜨려지는 부분군으로 해석한다.
§14.8 단순군
정의 14.17 (단순군). 군 G ≠ { e } G \neq \{e\} G = { e } 단순 (simple)하다는 것은 그것의 정규부분군이 { e } \{e\} { e } G G G
동치로, G G G G G G { e } \{e\} { e } G G G
정리 14.18. Z p \mathbb{Z}_p Z p p p p
라그랑주 정리에 의해, Z p \mathbb{Z}_p Z p { 0 } \{0\} { 0 } Z p \mathbb{Z}_p Z p p p p ∣ Z p ∣ = p |\mathbb{Z}_p| = p ∣ Z p ∣ = p 1 1 1 p p p Z p \mathbb{Z}_p Z p { 0 } \{0\} { 0 } Z p \mathbb{Z}_p Z p Z p \mathbb{Z}_p Z p ■ \blacksquare ■
예제 14.19. Z 6 \mathbb{Z}_6 Z 6 않은데 , ⟨ 2 ˉ ⟩ = { 0 ˉ , 2 ˉ , 4 ˉ } ≅ Z 3 \langle \bar{2} \rangle = \{\bar{0}, \bar{2}, \bar{4}\} \cong \mathbb{Z}_3 ⟨ 2 ˉ ⟩ = { 0 ˉ , 2 ˉ , 4 ˉ } ≅ Z 3
예제 14.20. A 3 ≅ Z 3 A_3 \cong \mathbb{Z}_3 A 3 ≅ Z 3 A 4 A_4 A 4 V 4 = { e , ( 1 2 ) ( 3 4 ) , ( 1 3 ) ( 2 4 ) , ( 1 4 ) ( 2 3 ) } ⊴ A 4 V_4 = \{e, (1\ 2)(3\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 4)(2\ 3)\} \trianglelefteq A_4 V 4 = { e , ( 1 2 ) ( 3 4 ) , ( 1 3 ) ( 2 4 ) , ( 1 4 ) ( 2 3 )} ⊴ A 4
정리 14.21 (예고). n ≥ 5 n \ge 5 n ≥ 5 A n A_n A n
이것은 본문의 뒷부분(제15절)에서 증명되는 심오한 결과이다. A 5 A_5 A 5
§14.9 자기동형사상과 내부 자기동형사상
정의 14.22 (자기동형사상). 군 G G G 자기동형사상 (automorphism)은 동형사상 α : G → G \alpha: G \to G α : G → G G G G Aut ( G ) \operatorname{Aut}(G) Aut ( G )
정리 14.23. Aut ( G ) \operatorname{Aut}(G) Aut ( G )
닫힘: α , β ∈ Aut ( G ) \alpha, \beta \in \operatorname{Aut}(G) α , β ∈ Aut ( G ) α ∘ β \alpha \circ \beta α ∘ β G G G G G G ( α ∘ β ) ( x y ) = α ( β ( x y ) ) = α ( β ( x ) β ( y ) ) = α ( β ( x ) ) α ( β ( y ) ) = ( α ∘ β ) ( x ) ( α ∘ β ) ( y ) (\alpha \circ \beta)(xy) = \alpha(\beta(xy)) = \alpha(\beta(x)\beta(y)) = \alpha(\beta(x))\alpha(\beta(y)) = (\alpha \circ \beta)(x)(\alpha \circ \beta)(y) ( α ∘ β ) ( x y ) = α ( β ( x y )) = α ( β ( x ) β ( y )) = α ( β ( x )) α ( β ( y )) = ( α ∘ β ) ( x ) ( α ∘ β ) ( y ) 결합법칙: 함수의 합성은 항상 결합적이다.항등원: 항등사상 id G \operatorname{id}_G id G 역원: α ∈ Aut ( G ) \alpha \in \operatorname{Aut}(G) α ∈ Aut ( G ) α − 1 \alpha^{-1} α − 1 α \alpha α α − 1 ( x y ) = α − 1 ( α ( α − 1 ( x ) ) ⋅ α ( α − 1 ( y ) ) ) = α − 1 ( α ( α − 1 ( x ) α − 1 ( y ) ) ) = α − 1 ( x ) α − 1 ( y ) \alpha^{-1}(xy) = \alpha^{-1}(\alpha(\alpha^{-1}(x)) \cdot \alpha(\alpha^{-1}(y))) = \alpha^{-1}(\alpha(\alpha^{-1}(x)\alpha^{-1}(y))) = \alpha^{-1}(x)\alpha^{-1}(y) α − 1 ( x y ) = α − 1 ( α ( α − 1 ( x )) ⋅ α ( α − 1 ( y ))) = α − 1 ( α ( α − 1 ( x ) α − 1 ( y ))) = α − 1 ( x ) α − 1 ( y ) ■ \blacksquare ■
정의 14.24 (내부 자기동형사상). 각 g ∈ G g \in G g ∈ G g g g 내부 자기동형사상 (inner automorphism)은
i g : G → G , i g ( x ) = g x g − 1 . i_g: G \to G, \qquad i_g(x) = gxg^{-1}. i g : G → G , i g ( x ) = gx g − 1 . 모든 내부 자기동형사상의 집합은 Inn ( G ) = { i g : g ∈ G } \operatorname{Inn}(G) = \{i_g : g \in G\} Inn ( G ) = { i g : g ∈ G }
정리 14.25. 각 i g i_g i g
준동형사상: i g ( x y ) = g ( x y ) g − 1 = ( g x g − 1 ) ( g y g − 1 ) = i g ( x ) i g ( y ) i_g(xy) = g(xy)g^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1}) = i_g(x)i_g(y) i g ( x y ) = g ( x y ) g − 1 = ( gx g − 1 ) ( g y g − 1 ) = i g ( x ) i g ( y )
전단사: i g i_g i g i g − 1 i_{g^{-1}} i g − 1 i g − 1 ( i g ( x ) ) = g − 1 ( g x g − 1 ) g = x i_{g^{-1}}(i_g(x)) = g^{-1}(gxg^{-1})g = x i g − 1 ( i g ( x )) = g − 1 ( gx g − 1 ) g = x ■ \blacksquare ■
정리 14.26. Inn ( G ) ⊴ Aut ( G ) \operatorname{Inn}(G) \trianglelefteq \operatorname{Aut}(G) Inn ( G ) ⊴ Aut ( G )
먼저, Inn ( G ) ≤ Aut ( G ) \operatorname{Inn}(G) \le \operatorname{Aut}(G) Inn ( G ) ≤ Aut ( G )
( i g ∘ i h ) ( x ) = g ( h x h − 1 ) g − 1 = ( g h ) x ( g h ) − 1 = i g h ( x ) (i_g \circ i_h)(x) = g(hxh^{-1})g^{-1} = (gh)x(gh)^{-1} = i_{gh}(x) ( i g ∘ i h ) ( x ) = g ( h x h − 1 ) g − 1 = ( g h ) x ( g h ) − 1 = i g h ( x ) i g ∘ i h = i g h i_g \circ i_h = i_{gh} i g ∘ i h = i g h i e = id G i_e = \operatorname{id}_G i e = id G ( i g ) − 1 = i g − 1 (i_g)^{-1} = i_{g^{-1}} ( i g ) − 1 = i g − 1
이제 정규성에 대해: α ∈ Aut ( G ) \alpha \in \operatorname{Aut}(G) α ∈ Aut ( G ) i g ∈ Inn ( G ) i_g \in \operatorname{Inn}(G) i g ∈ Inn ( G ) α ∘ i g ∘ α − 1 ∈ Inn ( G ) \alpha \circ i_g \circ \alpha^{-1} \in \operatorname{Inn}(G) α ∘ i g ∘ α − 1 ∈ Inn ( G ) x ∈ G x \in G x ∈ G
( α ∘ i g ∘ α − 1 ) ( x ) = α ( g ⋅ α − 1 ( x ) ⋅ g − 1 ) = α ( g ) ⋅ x ⋅ α ( g ) − 1 = i α ( g ) ( x ) . (\alpha \circ i_g \circ \alpha^{-1})(x) = \alpha(g \cdot \alpha^{-1}(x) \cdot g^{-1}) = \alpha(g) \cdot x \cdot \alpha(g)^{-1} = i_{\alpha(g)}(x). ( α ∘ i g ∘ α − 1 ) ( x ) = α ( g ⋅ α − 1 ( x ) ⋅ g − 1 ) = α ( g ) ⋅ x ⋅ α ( g ) − 1 = i α ( g ) ( x ) . 따라서 α ∘ i g ∘ α − 1 = i α ( g ) ∈ Inn ( G ) \alpha \circ i_g \circ \alpha^{-1} = i_{\alpha(g)} \in \operatorname{Inn}(G) α ∘ i g ∘ α − 1 = i α ( g ) ∈ Inn ( G ) ■ \blacksquare ■
정리 14.27. Inn ( G ) ≅ G / Z ( G ) \operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G) Inn ( G ) ≅ G / Z ( G ) Z ( G ) = { z ∈ G : z g = g z for all g ∈ G } Z(G) = \{z \in G : zg = gz \text{ for all } g \in G\} Z ( G ) = { z ∈ G : z g = g z for all g ∈ G } G G G
Φ ( g ) = i g \Phi(g) = i_g Φ ( g ) = i g Φ : G → Inn ( G ) \Phi: G \to \operatorname{Inn}(G) Φ : G → Inn ( G )
준동형사상: Φ ( g h ) = i g h = i g ∘ i h = Φ ( g ) ∘ Φ ( h ) \Phi(gh) = i_{gh} = i_g \circ i_h = \Phi(g) \circ \Phi(h) Φ ( g h ) = i g h = i g ∘ i h = Φ ( g ) ∘ Φ ( h )
전사: 정의에 의해 Inn ( G ) \operatorname{Inn}(G) Inn ( G ) g g g i g i_g i g
핵:
g ∈ ker ( Φ ) ⟺ i g = id G ⟺ g x g − 1 = x for all x ∈ G ⟺ g x = x g for all x ∈ G ⟺ g ∈ Z ( G ) . g \in \ker(\Phi) \iff i_g = \operatorname{id}_G \iff gxg^{-1} = x \text{ for all } x \in G \iff gx = xg \text{ for all } x \in G \iff g \in Z(G). g ∈ ker ( Φ ) ⟺ i g = id G ⟺ gx g − 1 = x for all x ∈ G ⟺ gx = xg for all x ∈ G ⟺ g ∈ Z ( G ) . 기본준동형정리에 의해, G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G) G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) ■ \blacksquare ■
참고. 부분군 N ≤ G N \le G N ≤ G g ∈ G g \in G g ∈ G i g ( N ) = N i_g(N) = N i g ( N ) = N N N N i g ( N ) = N i_g(N) = N i g ( N ) = N N N N
§14.10 랑의 관점: 핵과 상의 요가
세부 사항에서 한 걸음 물러서서 보면, 이 장의 정리들은 긴밀한 대응을 확립한다:
G G G ⟷ \longleftrightarrow ⟷ G G G
구체적으로:
모든 정규부분군 N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G G / N G/N G / N ker ( γ ) = N \ker(\gamma) = N ker ( γ ) = N γ : G → G / N \gamma: G \to G/N γ : G → G / N
모든 전사 준동형사상 ϕ : G → Q \phi: G \to Q ϕ : G → Q ker ( ϕ ) ⊴ G \ker(\phi) \trianglelefteq G ker ( ϕ ) ⊴ G Q ≅ G / ker ( ϕ ) Q \cong G/\ker(\phi) Q ≅ G / ker ( ϕ )
기본준동형정리는 전단사를 준다:
{ normal subgroups of G } ⟷ { isomorphism classes of quotient groups of G } . \left\{\text{normal subgroups of } G\right\} \;\longleftrightarrow\; \left\{\text{isomorphism classes of quotient groups of } G\right\}. { normal subgroups of G } ⟷ { isomorphism classes of quotient groups of G } . 이것이 랑이 핵과 상의 요가 (yoga of kernels and images)라고 부르는 것이다: 준동형사상 개념을 갖는 임의의 대수적 구조(군, 환, 가군, …)에서, “무너뜨릴 수 있는 것들”(핵/아이디얼/부분가군)은 “위로 사상할 수 있는 것들”(몫 대상)과 전단사 대응한다. 제1동형정리는 이 전단사의 정확한 진술이다.
이 관점은 대수학 전반에 스며들어 있다:
구조 ”핵” 대상 몫 동형정리 군 정규부분군 G / N G/N G / N G / ker ϕ ≅ im ϕ G/\ker\phi \cong \operatorname{im}\phi G / ker ϕ ≅ im ϕ 환 아이디얼 R / I R/I R / I R / ker ϕ ≅ im ϕ R/\ker\phi \cong \operatorname{im}\phi R / ker ϕ ≅ im ϕ 벡터공간 부분공간 V / W V/W V / W V / ker T ≅ im T V/\ker T \cong \operatorname{im} T V / ker T ≅ im T 가군 부분가군 M / N M/N M / N M / ker f ≅ im f M/\ker f \cong \operatorname{im} f M / ker f ≅ im f
이 패턴을 군 차원에서 이해하는 것은 어디서나 그것을 보는 준비가 된다.
보편 구성의 언어로, 정리 14.9a는 G / N G/N G / N N N N G G G 보편 수신자 (universal receiver)임을 말한다. 이것은 제13장의 곱 보편 성질의 몫 버전이다. 곱은 자신으로 들어오는 사상에 대한 보편 사상 문제를 풀고, 몫은 자신으로부터 나가는 사상에 대한 보편 사상 문제를 푼다.
제15장으로 가는 다리 — 몫 사상이 완전열이 되다
제14장은 이제 완전열(exact sequence)의 언어로 넘어가기 직전, 완전히 구체적인 마지막 단계로 읽혀야 한다.
모든 정규부분군 N ⊴ G N \trianglelefteq G N ⊴ G
G ↠ G / N . G\twoheadrightarrow G/N. G ↠ G / N . 을 준다. 제15장은 그 하나의 사상을 짧은 완전열
1 → N → G → G / N → 1. 1\to N\to G\to G/N\to 1. 1 → N → G → G / N → 1. 로 다시 쓴다.
마찬가지로, 핵이 N N N
ϕ : G ↠ H \phi:G\twoheadrightarrow H ϕ : G ↠ H 은
1 → N → G → H → 1. 1\to N\to G\to H\to 1. 1 → N → G → H → 1. 로 다시 쓰여진다.
그래서 이 다리는 단순하지만 중요하다:
이 장은 몫군을 계산하고 준동형정리를 증명하는 법을 가르치고;
제15장은 같은 자료를 완전열 언어로 압축하며, 그러한 몫들이 어떻게 더 큰 군을 조립하는지 묻기 시작한다.
만약 제15장이 너무 압축되어 느껴지기 시작하면, 마음속으로 제14장으로 돌아가 모든 짧은 완전열을 다음으로 다시 풀어 보라:
정규부분군,
표준 또는 전사 준동형사상,
몫군,
핵 계산,
상의 식별.
그 전개가 바로 새로운 표기법이 줄여서 나타내고 있는 것이다.
숙달 체크리스트
