제13장 — 준동형사상

준동형사상(homomorphism)은 군 사이의 구조를 보존하는 올바른 사상이다. 동형사상이 “두 군이 언제 같은가?”라는 물음에 답한다면, 준동형사상은 “한 군을 다른 군을 통해 어떻게 연구할 수 있는가?”라는 물음에 답한다. 이 장은 이 강의의 핵심적인 구조적 장 가운데 하나이며, 여기서 다루는 모든 정리는 제14장, 제15장 및 그 이후에서 반복적으로 사용된다.

§13.1 준동형사상의 정의

정의 13.1 (군 준동형사상). $(G, {*})$와 $(G', {*}')$을 군이라 하자. 사상 $\phi: G \to G'$가 모든 $a, b \in G$에 대하여 $\phi(a * b) = \phi(a) *' \phi(b)$ 를 만족하면 이를 준동형사상이라 한다.

핵심. 등식 왼쪽의 연산은 $G$에서의 연산이고, 오른쪽의 연산은 $G'$에서의 연산이다. 이 둘은 완전히 다른 연산일 수 있다. 예를 들어 행렬식 사상 $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{*}$에서 왼쪽은 행렬 곱셈을 사용하고 오른쪽은 실수의 일반적인 곱셈을 사용한다.

기호. $\phi: G \to G'$로 쓰고, 일단 두 군이 분명해지면 연산 기호를 생략한다. 따라서 준동형사상 조건은 간단히 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$이 된다.

§13.2 준동형사상의 기본 성질

정리 13.2. $\phi: G \to G'$를 군 준동형사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. $\phi(e_G) = e_{G'}$.
2. 모든 $a \in G$에 대하여 $\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}$.
3. 모든 $a \in G$와 모든 $n \in \mathbb{Z}$에 대하여 $\phi(a^n) = \phi(a)^n$.
4. $|a|$가 유한이면 $|\phi(a)|$는 $|a|$를 나눈다.

(1)의 증명: $\phi(e_G) = e_{G'}$

다음이 성립한다. $\phi(e_G) = \phi(e_G \cdot e_G) = \phi(e_G)\phi(e_G).$ 양변에 왼쪽으로 $\phi(e_G)^{-1}$를 곱하면(이것은 $\phi(e_G) \in G'$이고 $G'$가 군이므로 존재한다): $e_{G'} = \phi(e_G).$

(2)의 증명: $\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}$

(1)과 준동형사상 성질을 이용하면: $\phi(a)\phi(a^{-1}) = \phi(aa^{-1}) = \phi(e_G) = e_{G'}.$ 마찬가지로 $\phi(a^{-1})\phi(a) = e_{G'}$이다. $G'$에서 역원의 유일성에 의해 $\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}$이라고 결론짓는다.

(3)의 증명: 모든 $n \in \mathbb{Z}$에 대하여 $\phi(a^n) = \phi(a)^n$

경우 $n > 0$: $n$에 대한 귀납법으로 증명한다. 기저 사례 $n = 1$은 자명하다. 귀납 단계는 다음과 같다. $\phi(a^{n+1}) = \phi(a^n \cdot a) = \phi(a^n)\phi(a) = \phi(a)^n \phi(a) = \phi(a)^{n+1}.$

경우 $n = 0$: (1)에 의해 $\phi(a^0) = \phi(e_G) = e_{G'} = \phi(a)^0$.

경우 $n < 0$: $m > 0$인 $n = -m$로 쓴다. 그러면: $\phi(a^n) = \phi((a^{-1})^m) = \phi(a^{-1})^m = (\phi(a)^{-1})^m = \phi(a)^{-m} = \phi(a)^n,$ 양의 경우와 (2)를 이용하였다.

(4)의 증명: $|\phi(a)|$는 $|a|$를 나눈다

$|a| = n$라 하면 $a^n = e_G$이다. 그러면: $\phi(a)^n = \phi(a^n) = \phi(e_G) = e_{G'}.$ 따라서 $\phi(a)^n = e_{G'}$이다. 위수의 특징짓는 성질에 의해 $|\phi(a)|$는 $n = |a|$를 나눈다.

참고: $|a|$가 무한이면 $|\phi(a)|$은 유한일 수도 무한일 수도 있다. 예를 들어 자명한 준동형사상은 무한 위수의 모든 원소를 위수 1인 $e_{G'}$로 보낸다.

§13.3 상과 핵

정의 13.3. $\phi: G \to G'$를 준동형사상이라 하자. $\phi$의 상(image, 또는 치역)은 $\operatorname{im}(\phi) = \phi[G] = \{\phi(g) : g \in G\} \subseteq G'.$ 이다. $\phi$의 핵(kernel)은 $\ker(\phi) = \{g \in G : \phi(g) = e_{G'}\} \subseteq G.$ 이다.

정리 13.4. $\phi: G \to G'$를 준동형사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. $\operatorname{im}(\phi)$은 $G'$의 부분군이다.
2. $\ker(\phi)$은 $G$의 부분군이다.

$\operatorname{im}(\phi) \leq G'$임의 증명

부분군 판정법을 확인한다.

항등원: 정리 13.2(1)에 의해 $\phi(e_G) = e_{G'}$이므로 $e_{G'} \in \operatorname{im}(\phi)$이다.

닫힘: $\phi(a), \phi(b) \in \operatorname{im}(\phi)$이면 $\phi(a)\phi(b) = \phi(ab) \in \operatorname{im}(\phi)$ 이며, 이는 $ab \in G$이기 때문이다.

역원: $\phi(a) \in \operatorname{im}(\phi)$이면 $\phi(a)^{-1} = \phi(a^{-1}) \in \operatorname{im}(\phi)$ 이며, 이는 $a^{-1} \in G$이기 때문이다.

$\ker(\phi) \leq G$임의 증명

부분군 판정법을 확인한다.

항등원: $\phi(e_G) = e_{G'}$이므로 $e_G \in \ker(\phi)$이다.

닫힘: $a, b \in \ker(\phi)$이면 $\phi(a) = e_{G'}$이고 $\phi(b) = e_{G'}$이다. 따라서 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = e_{G'} \cdot e_{G'} = e_{G'}.$ 이므로 $ab \in \ker(\phi)$이다.

역원: $a \in \ker(\phi)$이면 $\phi(a) = e_{G'}$이다. 따라서 $\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1} = (e_{G'})^{-1} = e_{G'}.$ 이므로 $a^{-1} \in \ker(\phi)$이다.

§13.3.1 단사성과 핵

이는 이 장에서 가장 중요한 결과 가운데 하나이다.

정리 13.5. 준동형사상 $\phi: G \to G'$가 단사(one-to-one)일 필요충분조건은 $\ker(\phi) = \{e_G\}$이다.

정리 13.5의 증명

($\Rightarrow$) $\phi$가 단사라 하자. $g \in \ker(\phi)$이면 $\phi(g) = e_{G'} = \phi(e_G)$이다. $\phi$가 단사이므로 $g = e_G$이다. 따라서 $\ker(\phi) = \{e_G\}$이다.

($\Leftarrow$) $\ker(\phi) = \{e_G\}$이라 하자. $\phi(a) = \phi(b)$라 하면 다음과 같다. $\phi(a)\phi(b)^{-1} = e_{G'} \implies \phi(a)\phi(b^{-1}) = e_{G'} \implies \phi(ab^{-1}) = e_{G'}.$ 따라서 $ab^{-1} \in \ker(\phi) = \{e_G\}$이므로 $ab^{-1} = e_G$이고, 결국 $a = b$이다. 그러므로 $\phi$는 단사이다.

왜 중요한가. 준동형사상의 단사성을 확인하기 위해 $\phi(a) = \phi(b) \Rightarrow a = b$를 직접 확인할 필요는 전혀 없다. 오직 $e_G$만이 $e_{G'}$로 보내진다는 것만 확인하면 충분하다. 이는 엄청난 단순화이다.

§13.4 준동형사상의 표준 예

예 1: 행렬식

사상 $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{*}$은 준동형사상인데, 그 까닭은 모든 가역 행렬 $A, B$에 대하여 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 이 성립하기 때문이다.

• 상: $\operatorname{im}(\det) = \mathbb{R}^{*}$ (전사: 임의의 $r \in \mathbb{R}^{*}$에 대하여 대각 행렬 $\operatorname{diag}(r, 1, \ldots, 1)$은 행렬식 $r$을 가진다).
• 핵: $\ker(\det) = \{A \in GL_n(\mathbb{R}) : \det(A) = 1\} = SL_n(\mathbb{R})$, 곧 특수선형군(special linear group)이다.

예 2: 치환의 부호

사상 $\operatorname{sgn}: S_n \to \{+1, -1\}$은 우치환을 $+1$로, 기치환을 $-1$로 보낸다. 여기서 $\{+1, -1\}$은 곱셈에 대한 군이며 $\mathbb{Z}_2$과 동형이다.

확인: $\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$은 우치환과 기치환의 곱이 기치환이라는 사실 등으로부터 따라온다.

• 상: $n \geq 2$에 대하여 $\operatorname{im}(\operatorname{sgn}) = \{+1, -1\}$ (전사).
• 핵: $\ker(\operatorname{sgn}) = A_n$, 곧 우치환들로 이루어진 교대군(alternating group)이다.

예 3: $n$을 법으로 하는 환원

$\phi(m) = \bar{m}$($m$를 $n$으로 나눈 나머지 잉여류)로 정의되는 사상 $\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$은 준동형사상인데, 그 까닭은 $\phi(m_1 + m_2) = \overline{m_1 + m_2} = \bar{m}_1 + \bar{m}_2 = \phi(m_1) + \phi(m_2).$ 이기 때문이다. (여기서 두 군은 모두 덧셈에 대한 군이다.)

• 상: $\operatorname{im}(\phi) = \mathbb{Z}_n$ (전사).
• 핵: $\ker(\phi) = \{m \in \mathbb{Z} : \bar{m} = \bar{0}\} = n\mathbb{Z}$, 곧 $n$의 모든 배수의 집합이다.

예 4: 사영

$G$과 $H$을 군이라 하자. $\pi(g, h) = g$으로 정의되는 사상 $\pi: G \times H \to G$은 준동형사상이다: $\pi((g_1, h_1)(g_2, h_2)) = \pi(g_1 g_2, h_1 h_2) = g_1 g_2 = \pi(g_1, h_1)\pi(g_2, h_2).$

• 상: $\operatorname{im}(\pi) = G$ (전사).
• 핵: $\ker(\pi) = \{(e_G, h) : h \in H\} \cong H$.

예 5: 포함사상

$H \leq G$이라 하자. $\iota(h) = h$로 정의되는 사상 $\iota: H \hookrightarrow G$은 (연산이 같으므로 자명하게) 준동형사상이다.

• 상: $\operatorname{im}(\iota) = H$.
• 핵: $\ker(\iota) = \{e_G\}$이므로 $\iota$은 항상 단사이다.

예 6: 자명한 준동형사상

임의의 군 $G$과 $G'$에 대하여, 모든 $g$에 대해 $\phi(g) = e_{G'}$로 정의되는 사상 $\phi: G \to G'$은 준동형사상이다: $\phi(ab) = e_{G'} = e_{G'} \cdot e_{G'} = \phi(a)\phi(b).$

• 상: $\operatorname{im}(\phi) = \{e_{G'}\}$.
• 핵: $\ker(\phi) = G$.

예 7: 항등 준동형사상

$\operatorname{id}_G(g) = g$로 정의되는 사상 $\operatorname{id}_G: G \to G$은 (자명하게) 준동형사상이다. 이는 단사이면서 전사이므로 동형사상이다.

• 상: $\operatorname{im}(\operatorname{id}_G) = G$.
• 핵: $\ker(\operatorname{id}_G) = \{e_G\}$.

§13.5 동형사상

정의 13.6 (동형사상). 전단사(단사이면서 전사)인 준동형사상 $\phi: G \to G'$를 동형사상(isomorphism)이라 한다. 이때 $G \cong G'$라 쓰고 $G$와 $G'$이 동형이라 말한다.

정리 13.7. $\phi: G \to G'$가 동형사상이면 $\phi^{-1}: G' \to G$도 동형사상이다.

정리 13.7의 증명

$\phi$가 전단사이므로 역함수 $\phi^{-1}: G' \to G$가 존재하고 전단사이다. $\phi^{-1}$이 준동형사상임을 보이면 된다.

$a', b' \in G'$라 하자. $\phi$가 전사이므로 $\phi(a) = a'$, $\phi(b) = b'$인 $a, b \in G$가 존재한다. 그러면 $\phi^{-1}(a') = a$이고 $\phi^{-1}(b') = b$이다. 이제: $\phi^{-1}(a'b') = \phi^{-1}(\phi(a)\phi(b)) = \phi^{-1}(\phi(ab)) = ab = \phi^{-1}(a')\phi^{-1}(b').$ 따라서 $\phi^{-1}$은 준동형사상이고, 전단사이므로 동형사상이다.

§13.6 핵은 항상 정규부분군이다

이 결과는 준동형사상을 몫군(제14장)과 잇는 다리이다.

정리 13.8. $\phi: G \to G'$를 준동형사상이라 하자. 그러면 $\ker(\phi)$은 $G$의 정규부분군(normal subgroup)이다. 즉 $\ker(\phi) \trianglelefteq G$이다. 이는 다음을 뜻한다. $g \ker(\phi) g^{-1} = \ker(\phi) \quad \text{for all } g \in G.$

정리 13.8의 증명

$K = \ker(\phi)$라 하자. 모든 $g \in G$와 모든 $k \in K$에 대하여 $gkg^{-1} \in K$임을 보여야 한다. 계산하면: $\phi(gkg^{-1}) = \phi(g)\phi(k)\phi(g^{-1}) = \phi(g) \cdot e_{G'} \cdot \phi(g)^{-1} = \phi(g)\phi(g)^{-1} = e_{G'}.$ 따라서 $gkg^{-1} \in K$이다.

이는 모든 $g \in G$에 대하여 $gKg^{-1} \subseteq K$임을 보인다. $g$을 $g^{-1}$로 바꾸면 $g^{-1}Kg \subseteq K$을 얻으므로 $K \subseteq gKg^{-1}$이다. 종합하면 $gKg^{-1} = K$이다.

비고. 그 역도 참이다. 즉 $G$의 모든 정규부분군은 어떤 준동형사상의 핵이다(다름 아닌 표준 사영 $G \to G/N$; 제14장 참조). 따라서:

$N \trianglelefteq G \iff N = \ker(\phi) \text{ for some homomorphism } \phi \text{ with domain } G.$

§13.7 핵의 잉여류에 의한 특징짓기

정리 13.9 (올은 잉여류이다). $\phi: G \to G'$을 $K = \ker(\phi)$인 준동형사상이라 하자. $a, b \in G$에 대하여 다음은 동치이다.

1. $\phi(a) = \phi(b)$.
2. $a^{-1}b \in K$.
3. $aK = bK$ (즉 $a$와 $b$가 $K$의 동일한 좌잉여류에 속한다).

정리 13.9의 증명

(1 $\Rightarrow$ 2): $\phi(a) = \phi(b)$이면 $\phi(a^{-1}b) = \phi(a)^{-1}\phi(b) = \phi(b)^{-1}\phi(b) = e_{G'}.$ 이므로 $a^{-1}b \in K$이다.

(2 $\Rightarrow$ 3): $a^{-1}b \in K$이면 $b \in aK$이므로 $bK = aK$이다(잉여류는 서로 같거나 서로소이고 $b \in aK \cap bK$이기 때문이다).

(3 $\Rightarrow$ 1): $aK = bK$이면 $a^{-1}b \in K$이므로 $\phi(a^{-1}b) = e_{G'}$이고, $\phi(a)^{-1}\phi(b) = e_{G'}$을 얻으며, 따라서 $\phi(a) = \phi(b)$이다.

해석. 임의의 원소 $y \in \operatorname{im}(\phi)$의 역상 $\phi^{-1}(\{y\})$은 $\ker(\phi)$의 잉여류이다. 구체적으로 $\phi(a) = y$이면 $\phi^{-1}(\{y\}) = aK = \{ak : k \in K\}.$ 이다. 이 역상들을 $\phi$의 올(fiber)이라 한다. 모든 올은 $K = \ker(\phi)$과 같은 농도를 가진다.

§13.8 기본 준동형사상 정리 (제1동형정리)

이는 대수학 전체에서 가장 중요한 정리 가운데 하나이다.

정리 13.10 (기본 준동형사상 정리 / 제1동형정리). $\phi: G \to G'$를 핵이 $K = \ker(\phi)$인 군 준동형사상이라 하자. 그러면 사상 $\bar{\phi}: G/K \to \operatorname{im}(\phi), \qquad \bar{\phi}(aK) = \phi(a)$ 는 잘 정의된 동형사상이다. 특히 $G / \ker(\phi) \cong \operatorname{im}(\phi).$ 이다.

이 정리는 모든 준동형사상이 다음과 같이 분해됨을 말한다.

$G \xrightarrow{\gamma} G/K \xrightarrow{\bar{\phi}} \operatorname{im}(\phi) \hookrightarrow G'$

여기서 $\gamma: G \to G/K$는 표준 사영 $\gamma(a) = aK$이고 $\bar{\phi}$은 동형사상이다. 따라서 $\phi = \iota \circ \bar{\phi} \circ \gamma$이며, 여기서 $\iota$은 포함사상 $\operatorname{im}(\phi) \hookrightarrow G'$이다.

그림: 제1동형정리에서의 분해.

위쪽 사상 $\phi$는 자신의 핵에 의한 몫을 거쳐 분해되고, 가운데 사상은 상으로의 동형사상이다.

정리 13.10의 전체 증명

네 가지를 확인해야 한다: 잘 정의됨, 준동형사상, 단사성, 전사성.

잘 정의됨. $aK = bK$이면 $\phi(a) = \phi(b)$임을 보여야 한다. $aK = bK$이면 정리 13.9에 의해 $\phi(a) = \phi(b)$이다. 따라서 $\bar{\phi}(aK) = \phi(a) = \phi(b) = \bar{\phi}(bK)$이며, 이는 $\bar{\phi}$이 잉여류 대표원의 선택에 의존하지 않음을 확인해 준다.

준동형사상. 잉여류 $aK, bK \in G/K$에 대하여: $\bar{\phi}(aK \cdot bK) = \bar{\phi}((ab)K) = \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = \bar{\phi}(aK) \cdot \bar{\phi}(bK).$

단사성. $\bar{\phi}(aK) = \bar{\phi}(bK)$이라 하자. 그러면 $\phi(a) = \phi(b)$이므로 정리 13.9에 의해 $aK = bK$이다. 따라서 $\bar{\phi}$은 단사이다.

또는 정리 13.5를 이용하면: $\ker(\bar{\phi}) = \{aK : \bar{\phi}(aK) = e_{G'}\} = \{aK : \phi(a) = e_{G'}\} = \{aK : a \in K\} = \{K\}$($G/K$의 항등원). 핵이 자명하므로 $\bar{\phi}$은 단사이다.

전사성. 임의의 $\phi(a) \in \operatorname{im}(\phi)$에 대하여 $\bar{\phi}(aK) = \phi(a)$이다. 따라서 $\operatorname{im}(\phi)$의 모든 원소가 도달된다.

그러므로 $\bar{\phi}$은 전단사인 준동형사상, 즉 동형사상이다. $\blacksquare$

정리 13.10 이후의 어려운 풀이 예: 핵, 올, 몫을 한꺼번에

다음을 정의하자.

이는 준동형사상인데, 그 까닭은

이기 때문이다.

또한 전사인데, 그 까닭은

이고 $\bar{1}$가 $\mathbb{Z}_6$을 생성하기 때문이다.

이제 핵을 계산하자.

조건을 어떤 정수 $k$에 대하여

로 다시 쓴다. $b=t$로 두면 모든 핵 원소는

의 꼴을 가진다. 따라서

이다.

이제 올이 명시적으로 드러난다. 예를 들어 $\bar{4}$ 위의 올은

이다. $\psi(4,0)=\bar{4}$이므로 이 올은 잉여류

이다. 완전히 매개변수화한 꼴로 나타내면:

제1동형정리에 의해

이다.

이 예는 여러 차례 다시 살펴볼 가치가 있는데, 다음을 보여 주기 때문이다.

• 자유 아벨군의 부분군으로 기술된 비자명한 핵;
• 그 핵의 잉여류로서의 올;
• 몫의 원소를 일일이 나열하지 않고 구체적으로 식별한 몫.

§13.9 제1동형정리의 풀이 예

예 A: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n$

준동형사상 $\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n$을 $\phi(m) = \bar{m}$($n$을 법으로 하는 환원)으로 정의하자.

• $\phi$는 전사이다: 모든 원소 $\bar{k} \in \mathbb{Z}_n$은 $\phi(k)$이다. 따라서 $\operatorname{im}(\phi) = \mathbb{Z}_n$이다.
• $\ker(\phi) = \{m \in \mathbb{Z} : \bar{m} = \bar{0}\} = n\mathbb{Z}$.

제1동형정리에 의해: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n.$

이는 잉여류를 $\mathbb{Z}_n$의 원소와 동일시하는 것에 대한 형식적 정당화이다.

예 B: $GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{*}$

$\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{*}$을 생각하자.

• $\det$은 전사이다: 임의의 $r \in \mathbb{R}^{*}$에 대하여 행렬 $\operatorname{diag}(r, 1, \ldots, 1) \in GL_n(\mathbb{R})$은 행렬식 $r$을 가진다. 따라서 $\operatorname{im}(\det) = \mathbb{R}^{*}$이다.
• $\ker(\det) = SL_n(\mathbb{R})$.

제1동형정리에 의해: $GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{*}.$

$GL_n(\mathbb{R})$에서 $SL_n(\mathbb{R})$의 잉여류는 정확히 행렬식의 레벨 집합이다. 두 행렬 $A$과 $B$이 같은 잉여류에 속할 필요충분조건은 $\det(A) = \det(B)$이다.

예 C: $S_n/A_n \cong \mathbb{Z}_2$

$\operatorname{sgn}: S_n \to \{+1, -1\} \cong \mathbb{Z}_2$을 생각하자($n \geq 2$에 대하여).

• $\operatorname{sgn}$은 전사이다: 항등원은 우치환이고($+1$로 보내짐) 임의의 호환은 기치환이다($-1$로 보내짐). 따라서 $\operatorname{im}(\operatorname{sgn}) = \{+1, -1\}$이다.
• $\ker(\operatorname{sgn}) = A_n$.

제1동형정리에 의해: $S_n / A_n \cong \mathbb{Z}_2.$

특히 $[S_n : A_n] = 2$이므로 $|A_n| = n!/2$이다.

예 D: 사영 (전체 풀이)

$\pi: \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_6$를 사영 $\pi(a, b) = a$이라 하자.

• $\operatorname{im}(\pi) = \mathbb{Z}_6$ (전사).
• $\ker(\pi) = \{(0, b) : b \in \mathbb{Z}_4\} = \{(0,0), (0,1), (0,2), (0,3)\} \cong \mathbb{Z}_4$.

제1동형정리에 의해: $(\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_4) / (\{0\} \times \mathbb{Z}_4) \cong \mathbb{Z}_6.$

잉여류 $(a, b) + \ker(\pi)$은 첫 좌표가 $a$인 모든 순서쌍으로 이루어진다: $\{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (a, 3)\}$.

§13.9½ Lang의 관점: 직접곱의 보편 성질

사영 예는 단지 편리한 준동형사상에 그치지 않는다. 그것은 직접곱을 정의하는 성질을 표현한다.

정리 ($G \times H$의 보편 성질). $X$, $G$, $H$을 군이라 하고

을 준동형사상이라 하자. 그러면

이고

를 만족하는 유일한 준동형사상이 존재한다. 여기서 $\pi_G$와 $\pi_H$은 사영 사상이다.

그림: 직접곱의 보편 성질.

두 개의 사영 삼각형은 $G \times H$로 가는 사상이 그 두 좌표 사상에 의해 완전히 결정됨을 말한다.

증명

다음을 정의한다.

$$\langle f,g\rangle(x)=(f(x),g(x)).$$

이것이 준동형사상임을 확인한다.

$$\langle f,g\rangle(xy)=(f(xy),g(xy))=(f(x)f(y),g(x)g(y))=(f(x),g(x))(f(y),g(y)).$$

따라서 $\langle f,g\rangle(xy)=\langle f,g\rangle(x)\langle f,g\rangle(y)$이다.

사영 항등식은 즉시 성립한다.

$$\pi_G(\langle f,g\rangle(x))=\pi_G(f(x),g(x))=f(x),$$

이고 마찬가지로 $\pi_H(\langle f,g\rangle(x))=g(x)$이다.

유일성을 위해, $\pi_G\circ \psi=f$이고 $\pi_H\circ \psi=g$인 임의의 준동형사상 $\psi:X\to G\times H$을 생각하자. 다음과 같이 쓴다.

$$\psi(x)=(u_x,v_x).$$

그러면

$$u_x=\pi_G(\psi(x))=f(x),\qquad v_x=\pi_H(\psi(x))=g(x),$$

이므로 모든 $x$에 대하여 $\psi(x)=(f(x),g(x))=\langle f,g\rangle(x)$이다. 따라서 $\psi=\langle f,g\rangle$이다. $\blacksquare$

이 정리는 직접곱이 집합론적 데카르트 곱만으로 정의되는 것이 아님을 말한다. 그것은 사상 성질에 의해 특징지어진다: $G\times H$로 사상하는 것은 정확히 $G$로 가는 사상과 $H$로 가는 사상을 동시에 주는 것이다.

구체적인 예

다음을

및

로 두자. 그러면 보편 성질은 유일한 준동형사상

을 준다. $(\bar{1},\bar{1})$이 위수 $\operatorname{lcm}(2,3)=6$을 가지므로 그 상은 위수 $6$인 순환군이며, 따라서

이다. 이는 곱의 보편 성질이 CRT(중국인의 나머지 정리)와 매우 구체적인 방식으로 만나는 경우이다.

비고. 범주론적 언어로 말하면, 직접곱은 $\mathbf{Grp}$에서의 곱 대상(product object)이다. 이것이 사영 사상이 표준적인 이유이며, 모든 양립하는 쌍 $(f,g)$가 $G\times H$를 거쳐 유일하게 분해되는 이유이다.

곱을 거치는 더 어려운 분해

두 환원 사상

및

을 생각하자. 보편 성질은 유일한 준동형사상

을 준다.

여기서 많은 학생들이 과도하게 추측하는 지점이 있다. 공역은 $24$개의 원소를 가지므로 $\eta$가 전사일 것이라고 무심코 기대할 수 있다. 그러나 그렇지 않다.

상은

에 의해 생성되며, 그 위수는

이다. 따라서

은 위수 $24$인 전체 곱이 아니라 위수 $12$인 순환 부분군이다.

핵은

이다. 그러므로 제1동형정리는

를 준다.

이는 매우 교훈적인 예인데, 혼동하기 쉬운 세 가지 개념을 분리해 주기 때문이다.

• 곱을 거치는 분해;
• 상으로의 전사성;
• 전체 공역으로의 전사성.

보편 성질은 첫 번째를 보장한다. 준동형사상 정리는 두 번째를 해석한다. 세 번째는 따로 확인해야 하는 별개의 문제이다.

§13.10 두 군이 동형임을 보이기

$G \cong H$을 증명하는 주요 전략은 두 가지이다.

전략 1: 명시적인 전단사 준동형사상을 구성한다.

1. 사상 $\phi: G \to H$을 정의한다.
2. $\phi$가 준동형사상임을 확인한다: $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$.
3. $\phi$가 단사임을 확인한다: $\ker(\phi) = \{e\}$.
4. $\phi$가 전사임을 확인한다: $H$의 모든 원소가 어떤 $g$에 대해 $\phi(g)$이다.

전략 2: 제1동형정리를 이용한다.

1. 전사인 준동형사상 $\phi: G \to H$을 찾는다.
2. $\ker(\phi)$을 계산한다.
3. $G/\ker(\phi) \cong H$라고 결론짓는다.
4. $\ker(\phi) = \{e\}$이면 $G \cong H$이 직접 따라온다.

풀이 예. $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$(원군, circle group)임을 보이자.

$\phi: \mathbb{R} \to S^1$을 $\phi(x) = e^{2\pi i x}$로 정의하자. 그러면:

• 준동형사상: $\phi(x + y) = e^{2\pi i(x+y)} = e^{2\pi ix} e^{2\pi iy} = \phi(x)\phi(y)$ (여기서 $\mathbb{R}$은 덧셈을, $S^1$은 곱셈을 가진다).
• 전사: 모든 $e^{i\theta} \in S^1$은 $\phi(\theta/2\pi)$과 같다.
• 핵: $\phi(x) = 1 \iff e^{2\pi ix} = 1 \iff x \in \mathbb{Z}$. 따라서 $\ker(\phi) = \mathbb{Z}$이다.

제1동형정리에 의해: $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$.

내부 직접곱 정리와의 연관. 제1동형정리를 통해 동형사상을 구성하는 기법은 대수학 전반에 걸쳐 나타난다. 내부 직접곱 정리($G = HK$, $H \cap K = \{e\}$이고 $H, K \trianglelefteq G$이 모두 성립하면 $G \cong H \times K$)는 전사인 준동형사상 $H \times K \to G$을 구성하고 그 핵이 자명함을 보이는 데 의존한다.

§13.11 Lang의 관점: 사상으로서의 준동형사상

Serge Lang의 Algebra와 범주론의 관점에서:

준동형사상은 범주 $\mathbf{Grp}$에서의 사상(morphism)이다. 범주는 대상과 그들 사이의 사상으로 이루어진다. $\mathbf{Grp}$에서:

• 대상: 군.
• 사상: 군 준동형사상.
• 합성: 함수의 합성(이는 준동형사상 성질을 보존한다).
• 항등 사상: 항등 준동형사상 $\operatorname{id}_G$.

곱은 보편 성질로 특징지어진다. 앞 절은 이미 구체적인 옷을 입은 범주론이다: $G\times H$는 $\mathbf{Grp}$에서의 범주론적 곱이며 그 사영들에 의해 특징지어진다. 이것이 직접곱이 단지 편리한 구성이 아니라 표준적인 이유이다.

제1동형정리는 분해 정리이다. $\mathbf{Grp}$에서의 모든 사상 $\phi: G \to G'$은 다음과 같이 분해된다.

$G \xrightarrow{\text{surjection}} G/\ker(\phi) \xrightarrow{\text{isomorphism}} \operatorname{im}(\phi) \xrightarrow{\text{injection}} G'$

이는 표준적인 전사-단사 분해이다: 동형을 무시하면 모든 사상은 전사(epimorphism) 뒤에 단사(monomorphism)가 따르는 형태이다.

핵은 단사성의 실패 정도를 잰다. 핵이 자명할 필요충분조건은 $\phi$이 단사인 것이다. 범주론적 언어로 $\ker(\phi)$은 범주론적 핵($\phi$과 영 사상의 등화자, equalizer)이다. 핵의 “크기”는 $\phi$이 단사사상에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 잰다.

동형사상은 가역인 사상이다. 동형사상 $\phi: G \to G'$은 $\mathbf{Grp}$에서 양쪽 역원 $\phi^{-1}: G' \to G$을 가진다. $\mathbf{Grp}$에서 대상들의 동형류는 “진정으로 다른” 군들이다.

이 관점이 Fraleigh에서 중요한 이유. Fraleigh는 범주론적 언어를 사용하지 않지만, 제13~15장의 모든 구성은 범주론적 개념의 특수한 경우이다. 이를 인식하면 정리들이 하나로 통합된다.

• $\mathbf{Grp}$에서의 핵, 상, 몫은 $\mathbf{Ring}$, $\mathbf{Mod}_R$을 비롯한 다른 대수적 범주에서와 같은 방식으로 작동한다.
• 제2동형정리와 제3동형정리는 또 다른 분해 결과이다.
• 정규부분군은 정확히 $G$으로부터 나가는 사상의 핵이다.

제14장과 제15장으로 가는 다리 — 곱 사상에서 몫 사상으로, 그리고 완전열로

여기서부터 이어지는 장의 순서는 하나의 연속된 구조적 논증으로 읽어야 한다.

1. 제11장 - 직접곱과 유한생성 아벨군은 곱을 구체적으로 제시했다.
2. 이 장은 곱이 그들로 가는 사상에 대한 보편 성질로 특징지어짐을 보인다.
3. 제14장 - 몫군은 몫이 그들로부터 나가는 사상에 대한 보편 성질로 특징지어짐을 보일 것이다.
4. 제1동형정리는 그 두 보편 성질 사이에 자리한다: 모든 준동형사상은 핵에 의한 몫을 거쳐 분해된다.
5. 제15장 - 몫군 계산과 단순군은 같은 상황을 짧은 완전열(short exact sequence)로 압축한다.

따라서 다리는 다음과 같다.

이 연쇄가 자연스럽게 느껴진다면, 이후의 장들은 서로 무관한 요령의 나열이 아니라 제13장을 심화한 것으로 느껴질 것이다.

요약

플래시카드용 요약

준동형사상: $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$을 만족하는 $\phi: G \to G'$.

성질: $\phi(e) = e'$; $\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}$; $|\phi(a)|$는 $|a|$를 나눈다.

핵: $\ker(\phi) = \phi^{-1}(e')$; 항상 $G$의 정규부분군.

상: $\operatorname{im}(\phi)$은 $G'$의 부분군.

단사일 필요충분조건은 핵이 자명한 것: $\phi$이 단사 $\iff$ $\ker(\phi) = \{e\}$.

올 = 잉여류: $\phi(a) = \phi(b) \iff aK = bK$, 여기서 $K = \ker(\phi)$.

제1동형정리: $G/\ker(\phi) \cong \operatorname{im}(\phi)$.

표준 예: $\det$ (핵 $SL_n$), $\operatorname{sgn}$ (핵 $A_n$), $n$을 법으로 하는 환원 (핵 $n\mathbb{Z}$), 사영, 포함사상, 자명한 사상, 항등사상.

동형사상: 전단사인 준동형사상; 역사상도 준동형사상이다.

숙달 점검표

• 군 준동형사상의 정의를, 양변의 연산이 서로 다를 수 있음을 강조하여 진술할 수 있다.
• 준동형사상 성질만으로 $\phi(e) = e'$와 $\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}$을 증명할 수 있다.
• $|\phi(a)|$가 $|a|$를 나눔을 증명할 수 있다.
• $\operatorname{im}(\phi)$이 부분군이고 $\ker(\phi)$이 부분군임을 증명할 수 있다.
• $\phi$이 단사 $\iff$ $\ker(\phi) = \{e\}$임을 증명할 수 있다.
• $\ker(\phi) \trianglelefteq G$임을 증명할 수 있다.
• 각 표준 예(det, sgn, $n$을 법으로 하는 환원, 사영, 포함사상, 자명한 사상, 항등사상)에 대하여 핵, 상, 올을 식별할 수 있다.
• 제1동형정리를 진술하고 증명할 수 있다.
• 제1동형정리를 적용하여 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_n$, $GL_n/SL_n \cong \mathbb{R}^{*}$, $S_n/A_n \cong \mathbb{Z}_2$를 얻을 수 있다.
• 군이 동형임을 보이는 두 전략(명시적 전단사 준동형사상 대 제1동형정리)을 이해한다.
• 직접곱의 보편 성질을 진술하고 유일한 사상 $\langle f,g\rangle:X\to G\times H$을 구성할 수 있다.
• 제1동형정리가 모든 준동형사상을 전사 뒤에 단사가 따르는 형태로 분해하는 것임을, 그리고 이것이 범주론적 관점과 어떻게 연결되는지 설명할 수 있다.