제13장 — 준동형사상

준동형사상(homomorphism)은 군 사이의 구조를 보존하는 올바른 사상이다. 동형사상이 “두 군이 언제 같은가?”라는 물음에 답한다면, 준동형사상은 “한 군을 다른 군을 통해 어떻게 연구할 수 있는가?”라는 물음에 답한다. 이 장은 이 강의의 핵심적인 구조적 장 가운데 하나이며, 여기서 다루는 모든 정리는 제14장, 제15장 및 그 이후에서 반복적으로 사용된다.

§13.1 준동형사상의 정의

정의 13.1 (군 준동형사상). $(G,\ast )$와 $(G^{\prime },{\ast }^{\prime })$을 군이라 하자. 사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$가 모든 $a,b\in G$에 대하여 $\varphi (a\ast b)=\varphi (a){\ast }^{\prime }\varphi (b)$ 를 만족하면 이를 준동형사상이라 한다.

핵심. 등식 왼쪽의 연산은 $G$에서의 연산이고, 오른쪽의 연산은 $G^{\prime }$에서의 연산이다. 이 둘은 완전히 다른 연산일 수 있다. 예를 들어 행렬식 사상 $\det :G{L}_n(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{\ast }$에서 왼쪽은 행렬 곱셈을 사용하고 오른쪽은 실수의 일반적인 곱셈을 사용한다.

기호. $\varphi :G\to G^{\prime }$로 쓰고, 일단 두 군이 분명해지면 연산 기호를 생략한다. 따라서 준동형사상 조건은 간단히 $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$이 된다.

§13.2 준동형사상의 기본 성질

정리 13.2. $\varphi :G\to G^{\prime }$를 군 준동형사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. $\varphi (e_G)=e_{G^{\prime }}$.
2. 모든 $a\in G$에 대하여 $\varphi (a^{-1})=\varphi (a{)}^{-1}$.
3. 모든 $a\in G$와 모든 $n\in \mathbb{Z}$에 대하여 $\varphi (a^n)=\varphi (a{)}^n$.
4. $|a|$가 유한이면 $|\varphi (a)|$는 $|a|$를 나눈다.

(1)의 증명: $\varphi (e_G)=e_{G^{\prime }}$

다음이 성립한다. $\varphi (e_G)=\varphi (e_G\cdot e_G)=\varphi (e_G)\varphi (e_G).$ 양변에 왼쪽으로 $\varphi (e_G{)}^{-1}$를 곱하면(이것은 $\varphi (e_G)\in G^{\prime }$이고 $G^{\prime }$가 군이므로 존재한다): $e_{G^{\prime }}=\varphi (e_G).$

(2)의 증명: $\varphi (a^{-1})=\varphi (a{)}^{-1}$

(1)과 준동형사상 성질을 이용하면: $\varphi (a)\varphi (a^{-1})=\varphi (a{a}^{-1})=\varphi (e_G)=e_{G^{\prime }}.$ 마찬가지로 $\varphi (a^{-1})\varphi (a)=e_{G^{\prime }}$이다. $G^{\prime }$에서 역원의 유일성에 의해 $\varphi (a^{-1})=\varphi (a{)}^{-1}$이라고 결론짓는다.

(3)의 증명: 모든 $n\in \mathbb{Z}$에 대하여 $\varphi (a^n)=\varphi (a{)}^n$

경우 $n>0$: $n$에 대한 귀납법으로 증명한다. 기저 사례 $n=1$은 자명하다. 귀납 단계는 다음과 같다. $\varphi (a^{n+1})=\varphi (a^n\cdot a)=\varphi (a^n)\varphi (a)=\varphi (a{)}^n\varphi (a)=\varphi (a{)}^{n+1}.$

경우 $n=0$: (1)에 의해 $\varphi (a^0)=\varphi (e_G)=e_{G^{\prime }}=\varphi (a{)}^0$.

경우 $n<0$: $m>0$인 $n=-m$로 쓴다. 그러면: $\varphi (a^n)=\varphi ((a^{-1}{)}^m)=\varphi (a^{-1}{)}^m=(\varphi (a{)}^{-1}{)}^m=\varphi (a{)}^{-m}=\varphi (a{)}^n,$ 양의 경우와 (2)를 이용하였다.

(4)의 증명: $|\varphi (a)|$는 $|a|$를 나눈다

$|a|=n$라 하면 $a^n=e_G$이다. 그러면: $\varphi (a{)}^n=\varphi (a^n)=\varphi (e_G)=e_{G^{\prime }}.$ 따라서 $\varphi (a{)}^n=e_{G^{\prime }}$이다. 위수의 특징짓는 성질에 의해 $|\varphi (a)|$는 $n=|a|$를 나눈다.

참고: $|a|$가 무한이면 $|\varphi (a)|$은 유한일 수도 무한일 수도 있다. 예를 들어 자명한 준동형사상은 무한 위수의 모든 원소를 위수 1인 $e_{G^{\prime }}$로 보낸다.

§13.3 상과 핵

정의 13.3. $\varphi :G\to G^{\prime }$를 준동형사상이라 하자. $\varphi$의 상(image, 또는 치역)은 $\mathrm{im}(\varphi )=\varphi [G]=\{\varphi (g):g\in G\}\subseteq G^{\prime }.$ 이다. $\varphi$의 핵(kernel)은 $\ker (\varphi )=\{g\in G:\varphi (g)=e_{G^{\prime }}\}\subseteq G.$ 이다.

정리 13.4. $\varphi :G\to G^{\prime }$를 준동형사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. $\mathrm{im}(\varphi )$은 $G^{\prime }$의 부분군이다.
2. $\ker (\varphi )$은 $G$의 부분군이다.

$\mathrm{im}(\varphi )\le G^{\prime }$임의 증명

부분군 판정법을 확인한다.

항등원: 정리 13.2(1)에 의해 $\varphi (e_G)=e_{G^{\prime }}$이므로 $e_{G^{\prime }}\in \mathrm{im}(\varphi )$이다.

닫힘: $\varphi (a),\varphi (b)\in \mathrm{im}(\varphi )$이면 $\varphi (a)\varphi (b)=\varphi (ab)\in \mathrm{im}(\varphi )$ 이며, 이는 $ab\in G$이기 때문이다.

역원: $\varphi (a)\in \mathrm{im}(\varphi )$이면 $\varphi (a{)}^{-1}=\varphi (a^{-1})\in \mathrm{im}(\varphi )$ 이며, 이는 $a^{-1}\in G$이기 때문이다.

$\ker (\varphi )\le G$임의 증명

부분군 판정법을 확인한다.

항등원: $\varphi (e_G)=e_{G^{\prime }}$이므로 $e_G\in \ker (\varphi )$이다.

닫힘: $a,b\in \ker (\varphi )$이면 $\varphi (a)=e_{G^{\prime }}$이고 $\varphi (b)=e_{G^{\prime }}$이다. 따라서 $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)=e_{G^{\prime }}\cdot e_{G^{\prime }}=e_{G^{\prime }}.$ 이므로 $ab\in \ker (\varphi )$이다.

역원: $a\in \ker (\varphi )$이면 $\varphi (a)=e_{G^{\prime }}$이다. 따라서 $\varphi (a^{-1})=\varphi (a{)}^{-1}=(e_{G^{\prime }}{)}^{-1}=e_{G^{\prime }}.$ 이므로 $a^{-1}\in \ker (\varphi )$이다.

§13.3.1 단사성과 핵

이는 이 장에서 가장 중요한 결과 가운데 하나이다.

정리 13.5. 준동형사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$가 단사(one-to-one)일 필요충분조건은 $\ker (\varphi )=\{e_G\}$이다.

정리 13.5의 증명

($\Rightarrow$) $\varphi$가 단사라 하자. $g\in \ker (\varphi )$이면 $\varphi (g)=e_{G^{\prime }}=\varphi (e_G)$이다. $\varphi$가 단사이므로 $g=e_G$이다. 따라서 $\ker (\varphi )=\{e_G\}$이다.

($\Leftarrow$) $\ker (\varphi )=\{e_G\}$이라 하자. $\varphi (a)=\varphi (b)$라 하면 다음과 같다. $\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}=e_{G^{\prime }}⟹\varphi (a)\varphi (b^{-1})=e_{G^{\prime }}⟹\varphi (a{b}^{-1})=e_{G^{\prime }}.$ 따라서 $a{b}^{-1}\in \ker (\varphi )=\{e_G\}$이므로 $a{b}^{-1}=e_G$이고, 결국 $a=b$이다. 그러므로 $\varphi$는 단사이다.

왜 중요한가. 준동형사상의 단사성을 확인하기 위해 $\varphi (a)=\varphi (b)\Rightarrow a=b$를 직접 확인할 필요는 전혀 없다. 오직 $e_G$만이 $e_{G^{\prime }}$로 보내진다는 것만 확인하면 충분하다. 이는 엄청난 단순화이다.

§13.4 준동형사상의 표준 예

예 1: 행렬식

사상 $\det :G{L}_n(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{\ast }$은 준동형사상인데, 그 까닭은 모든 가역 행렬 $A,B$에 대하여 $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ 이 성립하기 때문이다.

• 상: $\mathrm{im}(\det )={\mathbb{R}}^{\ast }$ (전사: 임의의 $r\in {\mathbb{R}}^{\ast }$에 대하여 대각 행렬 $\mathrm{diag}(r,1,\dots ,1)$은 행렬식 $r$을 가진다).
• 핵: $\ker (\det )=\{A\in G{L}_n(\mathbb{R}):\det (A)=1\}=S{L}_n(\mathbb{R})$, 곧 특수선형군(special linear group)이다.

예 2: 치환의 부호

사상 $\mathrm{sgn}:S_n\to \{+1,-1\}$은 우치환을 $+1$로, 기치환을 $-1$로 보낸다. 여기서 $\{+1,-1\}$은 곱셈에 대한 군이며 ${\mathbb{Z}}_2$과 동형이다.

확인: $\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=\mathrm{sgn}(\sigma )\mathrm{sgn}(\tau )$은 우치환과 기치환의 곱이 기치환이라는 사실 등으로부터 따라온다.

• 상: $n\ge 2$에 대하여 $\mathrm{im}(\mathrm{sgn})=\{+1,-1\}$ (전사).
• 핵: $\ker (\mathrm{sgn})=A_n$, 곧 우치환들로 이루어진 교대군(alternating group)이다.

예 3: $n$을 법으로 하는 환원

$\varphi (m)=\bar{m}$($m$를 $n$으로 나눈 나머지 잉여류)로 정의되는 사상 $\varphi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$은 준동형사상인데, 그 까닭은 $\varphi (m_1+m_2)=\overline{m_1+m_2}={\bar{m}}_1+{\bar{m}}_2=\varphi (m_1)+\varphi (m_2).$ 이기 때문이다. (여기서 두 군은 모두 덧셈에 대한 군이다.)

• 상: $\mathrm{im}(\varphi )={\mathbb{Z}}_n$ (전사).
• 핵: $\ker (\varphi )=\{m\in \mathbb{Z}:\bar{m}=\bar{0}\}=n\mathbb{Z}$, 곧 $n$의 모든 배수의 집합이다.

예 4: 사영

$G$과 $H$을 군이라 하자. $\pi (g,h)=g$으로 정의되는 사상 $\pi :G\times H\to G$은 준동형사상이다: $\pi ((g_1,h_1)(g_2,h_2))=\pi (g_1{g}_2,h_1{h}_2)=g_1{g}_2=\pi (g_1,h_1)\pi (g_2,h_2).$

• 상: $\mathrm{im}(\pi )=G$ (전사).
• 핵: $\ker (\pi )=\{(e_G,h):h\in H\}\cong H$.

예 5: 포함사상

$H\le G$이라 하자. $\iota (h)=h$로 정의되는 사상 $\iota :H\hookrightarrow G$은 (연산이 같으므로 자명하게) 준동형사상이다.

• 상: $\mathrm{im}(\iota )=H$.
• 핵: $\ker (\iota )=\{e_G\}$이므로 $\iota$은 항상 단사이다.

예 6: 자명한 준동형사상

임의의 군 $G$과 $G^{\prime }$에 대하여, 모든 $g$에 대해 $\varphi (g)=e_{G^{\prime }}$로 정의되는 사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$은 준동형사상이다: $\varphi (ab)=e_{G^{\prime }}=e_{G^{\prime }}\cdot e_{G^{\prime }}=\varphi (a)\varphi (b).$

• 상: $\mathrm{im}(\varphi )=\{e_{G^{\prime }}\}$.
• 핵: $\ker (\varphi )=G$.

예 7: 항등 준동형사상

${\mathrm{id}}_G(g)=g$로 정의되는 사상 ${\mathrm{id}}_G:G\to G$은 (자명하게) 준동형사상이다. 이는 단사이면서 전사이므로 동형사상이다.

• 상: $\mathrm{im}({\mathrm{id}}_G)=G$.
• 핵: $\ker ({\mathrm{id}}_G)=\{e_G\}$.

§13.5 동형사상

정의 13.6 (동형사상). 전단사(단사이면서 전사)인 준동형사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$를 동형사상(isomorphism)이라 한다. 이때 $G\cong G^{\prime }$라 쓰고 $G$와 $G^{\prime }$이 동형이라 말한다.

정리 13.7. $\varphi :G\to G^{\prime }$가 동형사상이면 ${\varphi }^{-1}:G^{\prime }\to G$도 동형사상이다.

정리 13.7의 증명

$\varphi$가 전단사이므로 역함수 ${\varphi }^{-1}:G^{\prime }\to G$가 존재하고 전단사이다. ${\varphi }^{-1}$이 준동형사상임을 보이면 된다.

$a^{\prime },b^{\prime }\in G^{\prime }$라 하자. $\varphi$가 전사이므로 $\varphi (a)=a^{\prime }$, $\varphi (b)=b^{\prime }$인 $a,b\in G$가 존재한다. 그러면 ${\varphi }^{-1}(a^{\prime })=a$이고 ${\varphi }^{-1}(b^{\prime })=b$이다. 이제: ${\varphi }^{-1}(a^{\prime }{b}^{\prime })={\varphi }^{-1}(\varphi (a)\varphi (b))={\varphi }^{-1}(\varphi (ab))=ab={\varphi }^{-1}(a^{\prime }){\varphi }^{-1}(b^{\prime }).$ 따라서 ${\varphi }^{-1}$은 준동형사상이고, 전단사이므로 동형사상이다.

§13.6 핵은 항상 정규부분군이다

이 결과는 준동형사상을 몫군(제14장)과 잇는 다리이다.

정리 13.8. $\varphi :G\to G^{\prime }$를 준동형사상이라 하자. 그러면 $\ker (\varphi )$은 $G$의 정규부분군(normal subgroup)이다. 즉 $\ker (\varphi )⊴G$이다. 이는 다음을 뜻한다. $g\ker (\varphi )g^{-1}=\ker (\varphi )\text{for all }g\in G.$

정리 13.8의 증명

$K=\ker (\varphi )$라 하자. 모든 $g\in G$와 모든 $k\in K$에 대하여 $gk{g}^{-1}\in K$임을 보여야 한다. 계산하면: $\varphi (gk{g}^{-1})=\varphi (g)\varphi (k)\varphi (g^{-1})=\varphi (g)\cdot e_{G^{\prime }}\cdot \varphi (g{)}^{-1}=\varphi (g)\varphi (g{)}^{-1}=e_{G^{\prime }}.$ 따라서 $gk{g}^{-1}\in K$이다.

이는 모든 $g\in G$에 대하여 $gK{g}^{-1}\subseteq K$임을 보인다. $g$을 $g^{-1}$로 바꾸면 $g^{-1}Kg\subseteq K$을 얻으므로 $K\subseteq gK{g}^{-1}$이다. 종합하면 $gK{g}^{-1}=K$이다.

비고. 그 역도 참이다. 즉 $G$의 모든 정규부분군은 어떤 준동형사상의 핵이다(다름 아닌 표준 사영 $G\to G/N$; 제14장 참조). 따라서:

$N⊴G⟺N=\ker (\varphi )\text{ for some homomorphism }\varphi \text{ with domain }G.$

§13.7 핵의 잉여류에 의한 특징짓기

정리 13.9 (올은 잉여류이다). $\varphi :G\to G^{\prime }$을 $K=\ker (\varphi )$인 준동형사상이라 하자. $a,b\in G$에 대하여 다음은 동치이다.

1. $\varphi (a)=\varphi (b)$.
2. $a^{-1}b\in K$.
3. $aK=bK$ (즉 $a$와 $b$가 $K$의 동일한 좌잉여류에 속한다).

정리 13.9의 증명

(1 $\Rightarrow$ 2): $\varphi (a)=\varphi (b)$이면 $\varphi (a^{-1}b)=\varphi (a{)}^{-1}\varphi (b)=\varphi (b{)}^{-1}\varphi (b)=e_{G^{\prime }}.$ 이므로 $a^{-1}b\in K$이다.

(2 $\Rightarrow$ 3): $a^{-1}b\in K$이면 $b\in aK$이므로 $bK=aK$이다(잉여류는 서로 같거나 서로소이고 $b\in aK\cap bK$이기 때문이다).

(3 $\Rightarrow$ 1): $aK=bK$이면 $a^{-1}b\in K$이므로 $\varphi (a^{-1}b)=e_{G^{\prime }}$이고, $\varphi (a{)}^{-1}\varphi (b)=e_{G^{\prime }}$을 얻으며, 따라서 $\varphi (a)=\varphi (b)$이다.

해석. 임의의 원소 $y\in \mathrm{im}(\varphi )$의 역상 ${\varphi }^{-1}(\{y\})$은 $\ker (\varphi )$의 잉여류이다. 구체적으로 $\varphi (a)=y$이면 ${\varphi }^{-1}(\{y\})=aK=\{ak:k\in K\}.$ 이다. 이 역상들을 $\varphi$의 올(fiber)이라 한다. 모든 올은 $K=\ker (\varphi )$과 같은 농도를 가진다.

§13.8 기본 준동형사상 정리 (제1동형정리)

이는 대수학 전체에서 가장 중요한 정리 가운데 하나이다.

정리 13.10 (기본 준동형사상 정리 / 제1동형정리). $\varphi :G\to G^{\prime }$를 핵이 $K=\ker (\varphi )$인 군 준동형사상이라 하자. 그러면 사상 $\bar{\varphi }:G/K\to \mathrm{im}(\varphi ),\bar{\varphi }(aK)=\varphi (a)$ 는 잘 정의된 동형사상이다. 특히 $G/\ker (\varphi )\cong \mathrm{im}(\varphi ).$ 이다.

이 정리는 모든 준동형사상이 다음과 같이 분해됨을 말한다.

$G\stackrel{\gamma }{\to }G/K\stackrel{\bar{\varphi }}{\to }\mathrm{im}(\varphi )\hookrightarrow G^{\prime }$

여기서 $\gamma :G\to G/K$는 표준 사영 $\gamma (a)=aK$이고 $\bar{\varphi }$은 동형사상이다. 따라서 $\varphi =\iota \circ \bar{\varphi }\circ \gamma$이며, 여기서 $\iota$은 포함사상 $\mathrm{im}(\varphi )\hookrightarrow G^{\prime }$이다.

그림: 제1동형정리에서의 분해.

위쪽 사상 $\varphi$는 자신의 핵에 의한 몫을 거쳐 분해되고, 가운데 사상은 상으로의 동형사상이다.

정리 13.10의 전체 증명

네 가지를 확인해야 한다: 잘 정의됨, 준동형사상, 단사성, 전사성.

잘 정의됨. $aK=bK$이면 $\varphi (a)=\varphi (b)$임을 보여야 한다. $aK=bK$이면 정리 13.9에 의해 $\varphi (a)=\varphi (b)$이다. 따라서 $\bar{\varphi }(aK)=\varphi (a)=\varphi (b)=\bar{\varphi }(bK)$이며, 이는 $\bar{\varphi }$이 잉여류 대표원의 선택에 의존하지 않음을 확인해 준다.

준동형사상. 잉여류 $aK,bK\in G/K$에 대하여: $\bar{\varphi }(aK\cdot bK)=\bar{\varphi }((ab)K)=\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)=\bar{\varphi }(aK)\cdot \bar{\varphi }(bK).$

단사성. $\bar{\varphi }(aK)=\bar{\varphi }(bK)$이라 하자. 그러면 $\varphi (a)=\varphi (b)$이므로 정리 13.9에 의해 $aK=bK$이다. 따라서 $\bar{\varphi }$은 단사이다.

또는 정리 13.5를 이용하면: $\ker (\bar{\varphi })=\{aK:\bar{\varphi }(aK)=e_{G^{\prime }}\}=\{aK:\varphi (a)=e_{G^{\prime }}\}=\{aK:a\in K\}=\{K\}$($G/K$의 항등원). 핵이 자명하므로 $\bar{\varphi }$은 단사이다.

전사성. 임의의 $\varphi (a)\in \mathrm{im}(\varphi )$에 대하여 $\bar{\varphi }(aK)=\varphi (a)$이다. 따라서 $\mathrm{im}(\varphi )$의 모든 원소가 도달된다.

그러므로 $\bar{\varphi }$은 전단사인 준동형사상, 즉 동형사상이다. $■$

정리 13.10 이후의 어려운 풀이 예: 핵, 올, 몫을 한꺼번에

다음을 정의하자.

이는 준동형사상인데, 그 까닭은

이기 때문이다.

또한 전사인데, 그 까닭은

이고 $\bar{1}$가 ${\mathbb{Z}}_6$을 생성하기 때문이다.

이제 핵을 계산하자.

조건을 어떤 정수 $k$에 대하여

로 다시 쓴다. $b=t$로 두면 모든 핵 원소는

의 꼴을 가진다. 따라서

이다.

이제 올이 명시적으로 드러난다. 예를 들어 $\bar{4}$ 위의 올은

이다. $\psi (4,0)=\bar{4}$이므로 이 올은 잉여류

이다. 완전히 매개변수화한 꼴로 나타내면:

제1동형정리에 의해

이다.

이 예는 여러 차례 다시 살펴볼 가치가 있는데, 다음을 보여 주기 때문이다.

• 자유 아벨군의 부분군으로 기술된 비자명한 핵;
• 그 핵의 잉여류로서의 올;
• 몫의 원소를 일일이 나열하지 않고 구체적으로 식별한 몫.

§13.9 제1동형정리의 풀이 예

예 A: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n$

준동형사상 $\varphi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$을 $\varphi (m)=\bar{m}$($n$을 법으로 하는 환원)으로 정의하자.

• $\varphi$는 전사이다: 모든 원소 $\bar{k}\in {\mathbb{Z}}_n$은 $\varphi (k)$이다. 따라서 $\mathrm{im}(\varphi )={\mathbb{Z}}_n$이다.
• $\ker (\varphi )=\{m\in \mathbb{Z}:\bar{m}=\bar{0}\}=n\mathbb{Z}$.

제1동형정리에 의해: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n.$

이는 잉여류를 ${\mathbb{Z}}_n$의 원소와 동일시하는 것에 대한 형식적 정당화이다.

예 B: $G{L}_n(\mathbb{R})/S{L}_n(\mathbb{R})\cong {\mathbb{R}}^{\ast }$

$\det :G{L}_n(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{\ast }$을 생각하자.

• $\det$은 전사이다: 임의의 $r\in {\mathbb{R}}^{\ast }$에 대하여 행렬 $\mathrm{diag}(r,1,\dots ,1)\in G{L}_n(\mathbb{R})$은 행렬식 $r$을 가진다. 따라서 $\mathrm{im}(\det )={\mathbb{R}}^{\ast }$이다.
• $\ker (\det )=S{L}_n(\mathbb{R})$.

제1동형정리에 의해: $G{L}_n(\mathbb{R})/S{L}_n(\mathbb{R})\cong {\mathbb{R}}^{\ast }.$

$G{L}_n(\mathbb{R})$에서 $S{L}_n(\mathbb{R})$의 잉여류는 정확히 행렬식의 레벨 집합이다. 두 행렬 $A$과 $B$이 같은 잉여류에 속할 필요충분조건은 $\det (A)=\det (B)$이다.

예 C: $S_n/A_n\cong {\mathbb{Z}}_2$

$\mathrm{sgn}:S_n\to \{+1,-1\}\cong {\mathbb{Z}}_2$을 생각하자($n\ge 2$에 대하여).

• $\mathrm{sgn}$은 전사이다: 항등원은 우치환이고($+1$로 보내짐) 임의의 호환은 기치환이다($-1$로 보내짐). 따라서 $\mathrm{im}(\mathrm{sgn})=\{+1,-1\}$이다.
• $\ker (\mathrm{sgn})=A_n$.

제1동형정리에 의해: $S_n/A_n\cong {\mathbb{Z}}_2.$

특히 $[S_n:A_n]=2$이므로 $|A_n|=n!/2$이다.

예 D: 사영 (전체 풀이)

$\pi :{\mathbb{Z}}_6\times {\mathbb{Z}}_4\to {\mathbb{Z}}_6$를 사영 $\pi (a,b)=a$이라 하자.

• $\mathrm{im}(\pi )={\mathbb{Z}}_6$ (전사).
• $\ker (\pi )=\{(0,b):b\in {\mathbb{Z}}_4\}=\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)\}\cong {\mathbb{Z}}_4$.

제1동형정리에 의해: $({\mathbb{Z}}_6\times {\mathbb{Z}}_4)/(\{0\}\times {\mathbb{Z}}_4)\cong {\mathbb{Z}}_6.$

잉여류 $(a,b)+\ker (\pi )$은 첫 좌표가 $a$인 모든 순서쌍으로 이루어진다: $\{(a,0),(a,1),(a,2),(a,3)\}$.

§13.9½ Lang의 관점: 직접곱의 보편 성질

사영 예는 단지 편리한 준동형사상에 그치지 않는다. 그것은 직접곱을 정의하는 성질을 표현한다.

정리 ($G\times H$의 보편 성질). $X$, $G$, $H$을 군이라 하고

을 준동형사상이라 하자. 그러면

이고

를 만족하는 유일한 준동형사상이 존재한다. 여기서 ${\pi }_G$와 ${\pi }_H$은 사영 사상이다.

그림: 직접곱의 보편 성질.

두 개의 사영 삼각형은 $G\times H$로 가는 사상이 그 두 좌표 사상에 의해 완전히 결정됨을 말한다.

증명

다음을 정의한다.

$$⟨f,g⟩(x)=(f(x),g(x)).$$

이것이 준동형사상임을 확인한다.

$$⟨f,g⟩(xy)=(f(xy),g(xy))=(f(x)f(y),g(x)g(y))=(f(x),g(x))(f(y),g(y)).$$

따라서 $⟨f,g⟩(xy)=⟨f,g⟩(x)⟨f,g⟩(y)$이다.

사영 항등식은 즉시 성립한다.

$${\pi }_G(⟨f,g⟩(x))={\pi }_G(f(x),g(x))=f(x),$$

이고 마찬가지로 ${\pi }_H(⟨f,g⟩(x))=g(x)$이다.

유일성을 위해, ${\pi }_G\circ \psi =f$이고 ${\pi }_H\circ \psi =g$인 임의의 준동형사상 $\psi :X\to G\times H$을 생각하자. 다음과 같이 쓴다.

$$\psi (x)=(u_x,v_x).$$

그러면

$$u_x={\pi }_G(\psi (x))=f(x),v_x={\pi }_H(\psi (x))=g(x),$$

이므로 모든 $x$에 대하여 $\psi (x)=(f(x),g(x))=⟨f,g⟩(x)$이다. 따라서 $\psi =⟨f,g⟩$이다. $■$

이 정리는 직접곱이 집합론적 데카르트 곱만으로 정의되는 것이 아님을 말한다. 그것은 사상 성질에 의해 특징지어진다: $G\times H$로 사상하는 것은 정확히 $G$로 가는 사상과 $H$로 가는 사상을 동시에 주는 것이다.

구체적인 예

다음을

및

로 두자. 그러면 보편 성질은 유일한 준동형사상

을 준다. $(\bar{1},\bar{1})$이 위수 $\mathrm{lcm}(2,3)=6$을 가지므로 그 상은 위수 $6$인 순환군이며, 따라서

이다. 이는 곱의 보편 성질이 CRT(중국인의 나머지 정리)와 매우 구체적인 방식으로 만나는 경우이다.

비고. 범주론적 언어로 말하면, 직접곱은 $\mathbf{Grp}$에서의 곱 대상(product object)이다. 이것이 사영 사상이 표준적인 이유이며, 모든 양립하는 쌍 $(f,g)$가 $G\times H$를 거쳐 유일하게 분해되는 이유이다.

곱을 거치는 더 어려운 분해

두 환원 사상

및

을 생각하자. 보편 성질은 유일한 준동형사상

을 준다.

여기서 많은 학생들이 과도하게 추측하는 지점이 있다. 공역은 $24$개의 원소를 가지므로 $\eta$가 전사일 것이라고 무심코 기대할 수 있다. 그러나 그렇지 않다.

상은

에 의해 생성되며, 그 위수는

이다. 따라서

은 위수 $24$인 전체 곱이 아니라 위수 $12$인 순환 부분군이다.

핵은

이다. 그러므로 제1동형정리는

를 준다.

이는 매우 교훈적인 예인데, 혼동하기 쉬운 세 가지 개념을 분리해 주기 때문이다.

• 곱을 거치는 분해;
• 상으로의 전사성;
• 전체 공역으로의 전사성.

보편 성질은 첫 번째를 보장한다. 준동형사상 정리는 두 번째를 해석한다. 세 번째는 따로 확인해야 하는 별개의 문제이다.

§13.10 두 군이 동형임을 보이기

$G\cong H$을 증명하는 주요 전략은 두 가지이다.

전략 1: 명시적인 전단사 준동형사상을 구성한다.

1. 사상 $\varphi :G\to H$을 정의한다.
2. $\varphi$가 준동형사상임을 확인한다: $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$.
3. $\varphi$가 단사임을 확인한다: $\ker (\varphi )=\{e\}$.
4. $\varphi$가 전사임을 확인한다: $H$의 모든 원소가 어떤 $g$에 대해 $\varphi (g)$이다.

전략 2: 제1동형정리를 이용한다.

1. 전사인 준동형사상 $\varphi :G\to H$을 찾는다.
2. $\ker (\varphi )$을 계산한다.
3. $G/\ker (\varphi )\cong H$라고 결론짓는다.
4. $\ker (\varphi )=\{e\}$이면 $G\cong H$이 직접 따라온다.

풀이 예. $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$(원군, circle group)임을 보이자.

$\varphi :\mathbb{R}\to S^1$을 $\varphi (x)=e^{2\pi ix}$로 정의하자. 그러면:

• 준동형사상: $\varphi (x+y)=e^{2\pi i(x+y)}=e^{2\pi ix}{e}^{2\pi iy}=\varphi (x)\varphi (y)$ (여기서 $\mathbb{R}$은 덧셈을, $S^1$은 곱셈을 가진다).
• 전사: 모든 $e^{i\theta }\in S^1$은 $\varphi (\theta /2\pi )$과 같다.
• 핵: $\varphi (x)=1⟺e^{2\pi ix}=1⟺x\in \mathbb{Z}$. 따라서 $\ker (\varphi )=\mathbb{Z}$이다.

제1동형정리에 의해: $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$.

내부 직접곱 정리와의 연관. 제1동형정리를 통해 동형사상을 구성하는 기법은 대수학 전반에 걸쳐 나타난다. 내부 직접곱 정리($G=HK$, $H\cap K=\{e\}$이고 $H,K⊴G$이 모두 성립하면 $G\cong H\times K$)는 전사인 준동형사상 $H\times K\to G$을 구성하고 그 핵이 자명함을 보이는 데 의존한다.

§13.11 Lang의 관점: 사상으로서의 준동형사상

Serge Lang의 Algebra와 범주론의 관점에서:

준동형사상은 범주 $\mathbf{Grp}$에서의 사상(morphism)이다. 범주는 대상과 그들 사이의 사상으로 이루어진다. $\mathbf{Grp}$에서:

• 대상: 군.
• 사상: 군 준동형사상.
• 합성: 함수의 합성(이는 준동형사상 성질을 보존한다).
• 항등 사상: 항등 준동형사상 ${\mathrm{id}}_G$.

곱은 보편 성질로 특징지어진다. 앞 절은 이미 구체적인 옷을 입은 범주론이다: $G\times H$는 $\mathbf{Grp}$에서의 범주론적 곱이며 그 사영들에 의해 특징지어진다. 이것이 직접곱이 단지 편리한 구성이 아니라 표준적인 이유이다.

제1동형정리는 분해 정리이다. $\mathbf{Grp}$에서의 모든 사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$은 다음과 같이 분해된다.

$G\stackrel{\text{surjection}}{\to }G/\ker (\varphi )\stackrel{\text{isomorphism}}{\to }\mathrm{im}(\varphi )\stackrel{\text{injection}}{\to }{G}^{\prime }$

이는 표준적인 전사-단사 분해이다: 동형을 무시하면 모든 사상은 전사(epimorphism) 뒤에 단사(monomorphism)가 따르는 형태이다.

핵은 단사성의 실패 정도를 잰다. 핵이 자명할 필요충분조건은 $\varphi$이 단사인 것이다. 범주론적 언어로 $\ker (\varphi )$은 범주론적 핵($\varphi$과 영 사상의 등화자, equalizer)이다. 핵의 “크기”는 $\varphi$이 단사사상에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 잰다.

동형사상은 가역인 사상이다. 동형사상 $\varphi :G\to G^{\prime }$은 $\mathbf{Grp}$에서 양쪽 역원 ${\varphi }^{-1}:G^{\prime }\to G$을 가진다. $\mathbf{Grp}$에서 대상들의 동형류는 “진정으로 다른” 군들이다.

이 관점이 Fraleigh에서 중요한 이유. Fraleigh는 범주론적 언어를 사용하지 않지만, 제13~15장의 모든 구성은 범주론적 개념의 특수한 경우이다. 이를 인식하면 정리들이 하나로 통합된다.

• $\mathbf{Grp}$에서의 핵, 상, 몫은 $\mathbf{Ring}$, ${\mathbf{Mod}}_R$을 비롯한 다른 대수적 범주에서와 같은 방식으로 작동한다.
• 제2동형정리와 제3동형정리는 또 다른 분해 결과이다.
• 정규부분군은 정확히 $G$으로부터 나가는 사상의 핵이다.

제14장과 제15장으로 가는 다리 — 곱 사상에서 몫 사상으로, 그리고 완전열로

여기서부터 이어지는 장의 순서는 하나의 연속된 구조적 논증으로 읽어야 한다.

1. 제11장 - 직접곱과 유한생성 아벨군은 곱을 구체적으로 제시했다.
2. 이 장은 곱이 그들로 가는 사상에 대한 보편 성질로 특징지어짐을 보인다.
3. 제14장 - 몫군은 몫이 그들로부터 나가는 사상에 대한 보편 성질로 특징지어짐을 보일 것이다.
4. 제1동형정리는 그 두 보편 성질 사이에 자리한다: 모든 준동형사상은 핵에 의한 몫을 거쳐 분해된다.
5. 제15장 - 몫군 계산과 단순군은 같은 상황을 짧은 완전열(short exact sequence)로 압축한다.

따라서 다리는 다음과 같다.

이 연쇄가 자연스럽게 느껴진다면, 이후의 장들은 서로 무관한 요령의 나열이 아니라 제13장을 심화한 것으로 느껴질 것이다.

요약

플래시카드용 요약

준동형사상: $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$을 만족하는 $\varphi :G\to G^{\prime }$.

성질: $\varphi (e)=e^{\prime }$; $\varphi (a^{-1})=\varphi (a{)}^{-1}$; $|\varphi (a)|$는 $|a|$를 나눈다.

핵: $\ker (\varphi )={\varphi }^{-1}(e^{\prime })$; 항상 $G$의 정규부분군.

상: $\mathrm{im}(\varphi )$은 $G^{\prime }$의 부분군.

단사일 필요충분조건은 핵이 자명한 것: $\varphi$이 단사 $⟺$ $\ker (\varphi )=\{e\}$.

올 = 잉여류: $\varphi (a)=\varphi (b)⟺aK=bK$, 여기서 $K=\ker (\varphi )$.

제1동형정리: $G/\ker (\varphi )\cong \mathrm{im}(\varphi )$.

표준 예: $\det$ (핵 $S{L}_n$), $\mathrm{sgn}$ (핵 $A_n$), $n$을 법으로 하는 환원 (핵 $n\mathbb{Z}$), 사영, 포함사상, 자명한 사상, 항등사상.

동형사상: 전단사인 준동형사상; 역사상도 준동형사상이다.

숙달 점검표

• 군 준동형사상의 정의를, 양변의 연산이 서로 다를 수 있음을 강조하여 진술할 수 있다.
• 준동형사상 성질만으로 $\varphi (e)=e^{\prime }$와 $\varphi (a^{-1})=\varphi (a{)}^{-1}$을 증명할 수 있다.
• $|\varphi (a)|$가 $|a|$를 나눔을 증명할 수 있다.
• $\mathrm{im}(\varphi )$이 부분군이고 $\ker (\varphi )$이 부분군임을 증명할 수 있다.
• $\varphi$이 단사 $⟺$ $\ker (\varphi )=\{e\}$임을 증명할 수 있다.
• $\ker (\varphi )⊴G$임을 증명할 수 있다.
• 각 표준 예(det, sgn, $n$을 법으로 하는 환원, 사영, 포함사상, 자명한 사상, 항등사상)에 대하여 핵, 상, 올을 식별할 수 있다.
• 제1동형정리를 진술하고 증명할 수 있다.
• 제1동형정리를 적용하여 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n$, $G{L}_n/S{L}_n\cong {\mathbb{R}}^{\ast }$, $S_n/A_n\cong {\mathbb{Z}}_2$를 얻을 수 있다.
• 군이 동형임을 보이는 두 전략(명시적 전단사 준동형사상 대 제1동형정리)을 이해한다.
• 직접곱의 보편 성질을 진술하고 유일한 사상 $⟨f,g⟩:X\to G\times H$을 구성할 수 있다.
• 제1동형정리가 모든 준동형사상을 전사 뒤에 단사가 따르는 형태로 분해하는 것임을, 그리고 이것이 범주론적 관점과 어떻게 연결되는지 설명할 수 있다.