보골리우보프 변환에 의한 호킹 복사

호킹 복사는 고정된 곡선 배경 위의 양자장론에서 가장 깔끔하게 유도된다. 핵심 발상은 입자가 고전적인 표면에서 인위적으로 방출된다는 것이 아니라, 양의 진동수(positive frequency)라는 개념이 중력 붕괴로 만들어진 시공간의 점근적 과거와 점근적 미래 사이에서 달라진다는 데 있다. 일단 “in” 모드 분해와 “out” 모드 분해가 서로 어긋나면, 과거 널 무한대에서 정의된 진공은 미래 널 무한대에서 다입자 상태로 관측된다.

이 노트는 그 유도를 보골리우보프 언어로 제시한다. 기하는 고전적이고 장은 양자적이며, 열적 스펙트럼은 사건 지평선 근처에서 널 좌표 사이의 지수 관계로부터 나온다.

1. 물리적 설정

질량 $M$인 슈바르츠실트 블랙홀로 중력 붕괴하는 시공간을 생각한다. 붕괴하는 물체의 바깥에서, 과도기가 지난 뒤 계량은 슈바르츠실트 형태에 가까워진다

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }^2.$$

양자장은 단순함을 위해, 곡선 시공간 클라인-고든 방정식을 만족하는 자유 스칼라장 $\varphi$로 둔다

$$\square \varphi =0,$$

여기서

$$\square \varphi =\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }\varphi \right).$$

두 점근 영역이 중요하다:

• 들어오는 모드가 정의되는 과거 널 무한대 ${\mathcal{I}}^{-}$
• 나가는 복사가 측정되는 미래 널 무한대 ${\mathcal{I}}^{+}$

이 유도는 매우 정밀한 질문을 던진다:

장이 ${\mathcal{I}}^{-}$ 위의 양의 진동수 모드에 대응하는 자연스러운 진공에 놓여 있을 때, 붕괴가 지평선을 형성한 뒤 ${\mathcal{I}}^{+}$ 위의 관측자에게는 어떤 입자 내용이 보이는가?

2. 입자 생성이 애초에 가능한 이유

민코프스키 시공간에서는 시간 병진 대칭성이 양의 진동수라는 뚜렷한 개념을 주므로, 선호되는 진공이 존재한다. 동역학적인 곡선 시공간에서는 일반적으로, 시공간 전체를 하나의 양의 진동수 분할로 가르는 전역 시간 좌표가 존재하지 않는다.

이는 다음을 뜻한다:

• 장을 소멸 연산자와 생성 연산자로 분해하는 방식은 관측자에 의존한다
• 한 점근 영역이 정의하는 진공이 다른 영역이 정의하는 진공과 같을 필요는 없다
• 입자 생성은 이러한 분해들 사이의 어긋남에 담겨 있다

보골리우보프 변환은 그 어긋남을 정량화하는 정확한 방법이다.

3. 클라인-고든 내적과 모드 기저

클라인-고든 방정식의 두 해 $f$와 $g$에 대하여, 보존되는 내적은

$$(f,g)=-i{\int }_{\Sigma }d{\Sigma }^{\mu }\left(f{\nabla }_{\mu }{g}^{\ast }-g^{\ast }{\nabla }_{\mu }f\right),$$

이며 여기서 $\Sigma$는 임의의 코시 곡면이다. 흐름이 보존되므로, 이 내적의 값은 $\Sigma$의 선택에 의존하지 않는다.

우리는 ${\mathcal{I}}^{-}$ 위의 양의 진동수 “in” 모드의 완전 정규직교 집합 $\{u_i^{\text{in}}\}$와 ${\mathcal{I}}^{+}$ 위의 양의 진동수 “out” 모드의 완전 정규직교 집합 $\{u_j^{\text{out}}\}$를 택하고, 다음과 같이 규격화한다

$$(u_i,u_j)={\delta }_{ij},(u_i^{\ast },u_j^{\ast })=-{\delta }_{ij},(u_i,u_j^{\ast })=0.$$

그러면 장 연산자는 어느 한 기저로든 전개할 수 있다:

$$\varphi =\sum _i\left(a_i^{\text{in}}{u}_i^{\text{in}}+a_i^{\text{in}†}{u}_i^{\text{in}\ast }\right),$$

또는

$$\varphi =\sum _j\left(a_j^{\text{out}}{u}_j^{\text{out}}+a_j^{\text{out}†}{u}_j^{\text{out}\ast }\right).$$

in-진공은 다음으로 정의된다

$$a_i^{\text{in}}|0_{\text{in}}⟩=0\text{for all }i.$$

만약 out-소멸 연산자가 $a_i^{\text{in}}$만의 선형 결합이라면, in-진공은 곧 out-진공이기도 할 것이다. 호킹 복사는 바로 그런 일이 일어나지 않기 때문에 나타난다.

4. 보골리우보프 변환

두 모드 집합 모두 완전하므로, out-모드는 in-기저로 전개할 수 있다:

$$u_j^{\text{out}}=\sum _i\left({\alpha }_{ji}{u}_i^{\text{in}}+{\beta }_{ji}{u}_i^{\text{in}\ast }\right).$$

그 계수가 보골리우보프 계수이며,

$${\alpha }_{ji}=\left(u_j^{\text{out}},u_i^{\text{in}}\right),{\beta }_{ji}=-\left(u_j^{\text{out}},u_i^{\text{in}\ast }\right).$$

연산자 수준에서는,

$$a_j^{\text{out}}=\sum _i\left({\alpha }_{ji}^{\ast }{a}_i^{\text{in}}-{\beta }_{ji}^{\ast }{a}_i^{\text{in}†}\right).$$

이것이 결정적인 식이다. 만약 ${\beta }_{ji}\ne 0$이라면, $a_j^{\text{out}}$는 in-진공에 대한 생성 연산자를 포함한다. 따라서 out-관측자는 입자를 검출한다.

실제로,

$$⟨0_{\text{in}}|N_j^{\text{out}}|0_{\text{in}}⟩=⟨0_{\text{in}}|a_j^{\text{out}†}{a}_j^{\text{out}}|0_{\text{in}}⟩=\sum _i|{\beta }_{ji}{|}^2.$$

따라서 문제 전체는 $\beta$ 계수를 계산하는 일로 환원된다.

5. 지름 방향 널 전파로의 환원

호킹 효과에서, 지배적인 지평선 근방 기여는 고진동수 나가는 모드에 주목하여 그것을 붕괴 기하를 통해 거꾸로 추적함으로써 이해할 수 있다. 각 분해 뒤에는, 문제가 사실상 $(t,r)$ 영역에서의 $1+1$ 차원 산란 문제로 환원되며, 이때의 유효 퍼텐셜이 그레이바디 인자를 만들어 낸다.

유도의 열적 부분에 대해서는, 본질적인 운동학은 지름 방향 널 전파에서 나온다. 거북이 좌표를 도입하면

$$r_{\ast }=r+\frac{2GM}{c^2}\ln \left|\frac{r}{2GM/c^2}-1\right|,$$

이고, 지연 널 좌표는

$$u=t-\frac{r_{\ast }}{c}.$$

미래 널 무한대에서, 나가는 양의 진동수 모드는 다음과 같이 행동한다

$$p_{\omega }^{\text{out}}\sim e^{-i\omega u},$$

단 $\omega >0$이다.

핵심 과제는 그러한 나가는 모드가 ${\mathcal{I}}^{-}$로 거꾸로 전파될 때 어떻게 보이는지를 결정하는 것이다.

6. 지수적 적색이동의 기하

지평선이 거의 형성된 직후 붕괴하는 물체로부터 가까스로 탈출하는 나가는 널 광선을 생각하자. 그러한 광선은 지평선 근처에서 대단히 긴 슈바르츠실트 시간을 보낸다. 이것이 그 거대한 적색이동의 기원이다.

만약 $U$가 ${\mathcal{I}}^{-}$ 위의 정칙 아핀 널 좌표라면, 마지막으로 탈출하는 광선 근처에서 다음 형태의 지수 관계를 얻는다

$$U_0-U=A{e}^{-\kappa u},$$

혹은 동등하게

$$u=-\frac{1}{\kappa }\ln \left(\frac{U_0-U}{A}\right).$$

여기서:

• $U_0$는 가까스로 탈출에 실패하여 대신 지평선을 생성하는 널 광선을 표시한다
• $A$는 붕괴의 세부 사항으로 결정되는 양의 상수이다
• $\kappa$는 그 결과로 생긴 블랙홀의 표면 중력이다

슈바르츠실트의 경우,

$$\kappa =\frac{c^4}{4GM}.$$

이 지수 사상이 호킹 효과의 수학적 심장부이다. 모든 열적 성질이 여기서 나온다.

7. 나가는 모드를 ${\mathcal{I}}^{-}$로 거꾸로 추적하기

${\mathcal{I}}^{+}$ 위의 나가는 모드를 잡자,

$$p_{\omega }^{\text{out}}\sim e^{-i\omega u}.$$

지수 관계를 이용하여, 이를 ${\mathcal{I}}^{-}$ 위의 아핀 좌표 $U$로 다시 쓴다:

$$e^{-i\omega u}=\exp \left[\frac{i\omega }{\kappa }\ln \left(\frac{U_0-U}{A}\right)\right]=A^{-i\omega /\kappa }(U_0-U{)}^{i\omega /\kappa }.$$

중요한 점은 이것이 $U$에 대한 단순한 평면파가 아니라는 것이다. 그것은 $U=U_0$, 즉 지평선을 생성하는 널 광선의 위치에서 분기점 구조를 갖는다.

무관한 상수 위상까지 무시하면, ${\mathcal{I}}^{-}$ 위로 거꾸로 추적된 모드는

$$p_{\omega }^{\text{back}}(U)\propto \Theta (U_0-U)(U_0-U{)}^{i\omega /\kappa },$$

이며, 여기서 $\Theta$는 계단 함수인데 이는 $U<U_0$인 광선만이 ${\mathcal{I}}^{+}$로 탈출하기 때문이다.

이 대상은 $U$에 대하여 확정된 양의 진동수를 갖지 않는다. 따라서 그것은 in-기저에서 양의 진동수 조각과 음의 진동수 조각을 모두 포함해야 한다.

8. 푸리에 분석과 $\beta$ 계수의 기원

보골리우보프 계수를 끄집어내기 위해, 거꾸로 추적된 모드를 ${\mathcal{I}}^{-}$ 위의 양의 진동수 평면파로 전개한다:

$$p_{\omega }^{\text{back}}(U)={\int }_0^{\infty }d\Omega \left({\alpha }_{\omega \Omega }{e}^{-i\Omega U}{\beta }_{\omega \Omega }{e}^{+i\Omega U}\right).$$

$e^{+i\Omega U}$의 계수가 음의 진동수 부분이며 따라서 입자 생성을 결정한다.

원점을 옮겨 $x=U_0-U>0$가 되게 하자. 그러면

$$p_{\omega }^{\text{back}}(x)\propto x^{i\omega /\kappa }.$$

따라서 ${\alpha }_{\omega \Omega }$와 ${\beta }_{\omega \Omega }$에 관련된 푸리에 변환은 다음 유형이다

$${\int }_0^{\infty }dx{x}^{i\omega /\kappa }{e}^{\mp i\Omega x}.$$

이 적분들은 감마 함수의 해석적 연속으로 계산된다. 열적 비율에 영향을 주지 않는 규격화 인자를 무시하면, 다음을 얻는다

$${\alpha }_{\omega \Omega }\propto e^{+\pi \omega /2\kappa }\Gamma \left(1+i\frac{\omega }{\kappa }\right){\Omega }^{-1-i\omega /\kappa },$$

그리고

$${\beta }_{\omega \Omega }\propto e^{-\pi \omega /2\kappa }\Gamma \left(1+i\frac{\omega }{\kappa }\right){\Omega }^{-1-i\omega /\kappa }.$$

따라서

$$|{\beta }_{\omega \Omega }{|}^2=e^{-2\pi \omega /\kappa }|{\alpha }_{\omega \Omega }{|}^2.$$

이 관계가 열적 신호이다.

9. 보골리우보프 비율에서 플랑크 스펙트럼으로

보골리우보프 계수는 규격화 항등식을 만족한다

$${\int }_0^{\infty }d\Omega \left(|{\alpha }_{\omega \Omega }{|}^2-|{\beta }_{\omega \Omega }{|}^2\right)=1,$$

이는 연속 규격화에서 각 나가는 모드 $\omega$에 대해 성립한다.

이를 다음과 결합하면

$$|{\beta }_{\omega \Omega }{|}^2=e^{-2\pi \omega /\kappa }|{\alpha }_{\omega \Omega }{|}^2,$$

다음을 얻는다

$$⟨N_{\omega }⟩={\int }_0^{\infty }d\Omega |{\beta }_{\omega \Omega }{|}^2=\frac{1}{e^{2\pi \omega /\kappa }-1}.$$

이것은 정확히 열적 스펙트럼에 대한 보스-아인슈타인 점유수이다.

이렇게 in-진공은 미래 널 무한대에서 다음 온도의 열적 복사로 인식된다

$$T_H=\frac{\hslash \kappa }{2\pi k_{B}c}.$$

슈바르츠실트 블랙홀의 경우,

$$T_H=\frac{\hslash c^3}{8\pi GM{k}_B}.$$

이것이 호킹 온도이다.

10. 이 유도가 실제로 보여준 것

이 유도는 고전적 지평선이 기계적인 의미에서 입자를 방출한다고 말하지 않는다. 그것은 더 정밀한 무언가를 말한다:

1. 붕괴 기하는 나가는 널 광선이 지수적 적색이동을 얻게 한다
2. 그 적색이동은 out-모드를 ${\mathcal{I}}^{-}$ 위의 아핀 시간에 대해 비해석적으로 만든다
3. 따라서 거꾸로 추적된 out-모드는 in-진공에 대한 음의 진동수 성분을 포함한다
4. 그 음의 진동수 성분은 보골리우보프 $\beta$ 계수로 측정된다
5. 그 결과로 나오는 점유수는 열적이다

따라서 열적 거동은 곡선이고 동역학적으로 형성된 배경 위의 모드 분해에 관한 진술이다.

11. 표면 중력과 보편성

$\kappa$의 등장은 우연이 아니다. 임의의 비극단 지평선 근처에서, 정칙 아핀 널 좌표와 정상 관측자의 널 좌표 사이의 관계는 지수적이다. 그 보편적인 지평선 근방 구조가 바로 호킹류 복사가 여러 상황에서 나타나는 이유이다:

• 슈바르츠실트 블랙홀
• 커와 라이스너-노르드스트룀 블랙홀
• 드 지터 지평선
• 유체, 광학, 응집물질계의 유사 지평선

지평선에서 멀어질수록의 세부 스펙트럼은 산란, 초복사, 혹은 경계 조건으로 수정될 수 있지만, 열적 인자는 동일한 지평선 근방 지수 사상으로 제어된다.

12. 그레이바디 인자

위의 유도는 순수한 지평선 기여를 분리해 낸다. 완전한 블랙홀 기하에서는, 나가는 양자가 외부 곡률 퍼텐셜을 통과하며 산란해야 한다. 이것은 진동수에 의존하는 투과 계수 ${\Gamma }_{\omega \ell }$로 스펙트럼을 수정하므로, 더 정확하게는

$$⟨N_{\omega \ell m}⟩=\frac{{\Gamma }_{\omega \ell }}{e^{2\pi \omega /\kappa }-1}.$$

따라서 복사는 지평선에서는 열적이지만, 무한대에서 정확한 완전 흑체는 아니다. 그 편차는 전적으로 외부 기하를 통과하는 전파 때문이다.

13. 양자 상태의 선택

붕괴로 형성된 증발하는 블랙홀에 적절한 상태는 운루 진공이다:

• ${\mathcal{I}}^{-}$로부터 들어오는 입자가 없음
• 미래 지평선 위에서의 정칙성
• ${\mathcal{I}}^{+}$ 위의 나가는 열적 선속

이것은 다음과 구별된다:

• 불웨어 진공: 양쪽 무한대에서 비어 있지만 지평선 위에서 특이함
• 하틀-호킹 진공: 들어오는 복사와 나가는 복사가 모두 있는 열적 평형을 기술함

여기서 기술한 보골리우보프 유도는 바로 붕괴에 대한 운루 상태 결과로 가는 경로이다.

14. 에너지 균형과 블랙홀 질량 손실

나가는 호킹 양자는 무한대로 양의 에너지를 실어 나른다. 그러면 준고전적 응력 텐서의 일관성은 지평선을 가로지르는 상쇄적인 음의 에너지 선속을 함의한다. 정상 상태 언어로는, 안쪽으로 떨어지는 짝 모드가 무한대에 대해 음의 킬링 에너지를 나른다고 말한다.

이것이 블랙홀 질량이 감소하는 이유이다:

$$\frac{dM}{dt}<0.$$

“지평선에서의 쌍생성”이라는 대중적 그림은 어디까지나 발견법적 비유일 뿐이다. 실제 유도는 평평한 공간에서의 국소적 쌍생성 메커니즘이 아니라, 전역적 모드 전파와 보골리우보프 혼합에 의존한다.

15. 이것이 여전히 준고전적인 이유

지켜야 할 중요한 개념적 경계가 있다.

이 유도는 다음을 가정한다:

• 시공간 계량은 고전적이다
• 양자장은 그 고정된 배경 위에서 전파된다
• 역반응은 최저차에서 무시된다

따라서 이 계산에서의 힐베르트 공간은 장 $\varphi$의 힐베르트 공간이지, 요동하는 기하들의 힐베르트 공간이 아니다. 이것이 바로 양자 중력의 완전한 이론 없이도 호킹 복사를 유도할 수 있는 이유이다.

16. 유의점과 미해결 문제

준고전적 유도는 견고하지만, 깊은 문제들을 남긴다:

• 초플랑크(trans-Planckian) 문제: 늦게 나가는 양자가 지수적으로 청색이동된 선구체로부터 생기기 때문
• 역반응 문제: 증발이 기하를 상당히 바꾸고 나면 발생
• 정보 문제: 복사가 미세 결 수준에서 정확히 열적이라면 발생

이것들이 보골리우보프 계산을 무효화하지는 않는다. 그것들은 준고전적 중력이 더 이상 완전한 이야기가 되지 못하는 지점이 어디인지를 알려 준다.

17. 압축 요약

호킹 효과는 서로 연결된 세 가지 사실에서 따라 나온다:

1. 붕괴하는 기하는 사건 지평선을 만든다
2. 지평선 근처에서, 아핀 널 좌표와 점근 널 좌표는 지수적으로 관련된다
3. 지수적 광선 추적은 양의 진동수 out-모드가 음의 진동수 in-성분을 포함하도록 강제한다

그렇기에

$$\beta \ne 0⟹⟨N_{\omega }⟩=\frac{1}{e^{2\pi \omega /\kappa }-1},$$

이고, 따라서

$$T_H=\frac{\hslash \kappa }{2\pi k_{B}c}.$$

이런 의미에서, 호킹 복사는 붕괴하는 시공간에서의 모드 혼합에 관한 정리이다.

18. 이어서 볼 내용

• 이 유도를 펜로즈 과정의 기하학적 직관과 비교해 보라. 거기서는 블랙홀 에너지론이 이미 고전적 수준에서 등장한다.
• 슈바르츠실트와 커 해 노트를 다시 보아, 표면 중력과 지평선 구조의 역할을 구체적으로 유지하라.
• 여기서 자연스러운 다음 개념적 단계는 선속의 응력 텐서 유도, 그리고 이어서 준고전적 중력에서의 정보 손실 문제이다.