Le rayonnement de Hawking à partir des transformations de Bogoliubov

Le rayonnement de Hawking se dérive le plus proprement dans le cadre de la théorie quantique des champs sur un fond courbe fixé. L’idée centrale n’est pas que des particules seraient en quelque sorte émises à la main par une surface classique, mais plutôt que la notion de fréquence positive change entre le passé asymptotique et le futur asymptotique d’un espace-temps engendré par effondrement gravitationnel. Dès lors que les décompositions en modes « entrants » (« in ») et « sortants » (« out ») cessent de coïncider, le vide défini sur l’infini nul passé est perçu sur l’infini nul futur comme un état à plusieurs particules.

Ces notes présentent cette dérivation dans le langage de Bogoliubov. La géométrie est classique, le champ est quantique, et le spectre thermique provient d’une relation exponentielle entre coordonnées nulles au voisinage de l’horizon des événements.

1. Cadre physique

Nous considérons un espace-temps décrivant l’effondrement gravitationnel vers un trou noir de Schwarzschild de masse $M$. À l’extérieur du corps en effondrement, une fois l’ère transitoire passée, la métrique tend vers la forme de Schwarzschild

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }^2.$$

Le champ quantique sera pris, pour simplifier, comme un champ scalaire libre $\varphi$ satisfaisant l’équation de Klein-Gordon en espace-temps courbe

$$\square \varphi =0,$$

avec

$$\square \varphi =\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }\varphi \right).$$

Deux régions asymptotiques importent :

• l’infini nul passé ${\mathcal{I}}^{-}$, où sont définis les modes entrants
• l’infini nul futur ${\mathcal{I}}^{+}$, où l’on mesure le rayonnement sortant

La dérivation pose une question très précise :

Si le champ est placé dans le vide naturel associé aux modes de fréquence positive sur ${\mathcal{I}}^{-}$, quel contenu en particules un observateur perçoit-il sur ${\mathcal{I}}^{+}$ une fois que l’effondrement a formé un horizon ?

2. Pourquoi la création de particules est-elle seulement possible

Dans l’espace-temps de Minkowski, la symétrie de translation temporelle fournit une notion privilégiée de fréquence positive, de sorte qu’il existe un vide préféré. Dans un espace-temps courbe dynamique, il n’existe en général aucune coordonnée temporelle globale par rapport à laquelle l’espace-temps tout entier admette une unique séparation en fréquences positives.

Cela signifie que :

• la décomposition du champ en opérateurs d’annihilation et de création dépend de l’observateur
• le vide défini par une région asymptotique n’est pas nécessairement le vide défini par une autre
• la création de particules est encodée dans le désaccord entre ces décompositions

La transformation de Bogoliubov est la façon précise de quantifier ce désaccord.

3. Produit scalaire de Klein-Gordon et bases de modes

Pour deux solutions $f$ et $g$ de l’équation de Klein-Gordon, le produit scalaire conservé est

$$(f,g)=-i{\int }_{\Sigma }d{\Sigma }^{\mu }\left(f{\nabla }_{\mu }{g}^{\ast }-g^{\ast }{\nabla }_{\mu }f\right),$$

où $\Sigma$ est une surface de Cauchy quelconque. Le courant étant conservé, la valeur de ce produit scalaire ne dépend pas du choix de $\Sigma$.

Nous choisissons un ensemble complet orthonormé de modes entrants de fréquence positive $\{u_i^{\text{in}}\}$ sur ${\mathcal{I}}^{-}$ et un ensemble complet orthonormé de modes sortants de fréquence positive $\{u_j^{\text{out}}\}$ sur ${\mathcal{I}}^{+}$, normalisés de sorte que

$$(u_i,u_j)={\delta }_{ij},(u_i^{\ast },u_j^{\ast })=-{\delta }_{ij},(u_i,u_j^{\ast })=0.$$

L’opérateur de champ peut alors être développé dans l’une ou l’autre base :

$$\varphi =\sum _i\left(a_i^{\text{in}}{u}_i^{\text{in}}+a_i^{\text{in}†}{u}_i^{\text{in}\ast }\right),$$

ou

$$\varphi =\sum _j\left(a_j^{\text{out}}{u}_j^{\text{out}}+a_j^{\text{out}†}{u}_j^{\text{out}\ast }\right).$$

Le vide entrant est défini par

$$a_i^{\text{in}}|0_{\text{in}}⟩=0\text{pour tout }i.$$

Si les opérateurs d’annihilation sortants n’étaient que des combinaisons linéaires des $a_i^{\text{in}}$, alors le vide entrant serait aussi un vide sortant. Le rayonnement de Hawking apparaît précisément parce que ce n’est pas ce qui se produit.

4. Transformations de Bogoliubov

Les deux ensembles de modes étant complets, les modes sortants peuvent être développés dans la base entrante :

$$u_j^{\text{out}}=\sum _i\left({\alpha }_{ji}{u}_i^{\text{in}}+{\beta }_{ji}{u}_i^{\text{in}\ast }\right).$$

Les coefficients sont les coefficients de Bogoliubov,

$${\alpha }_{ji}=\left(u_j^{\text{out}},u_i^{\text{in}}\right),{\beta }_{ji}=-\left(u_j^{\text{out}},u_i^{\text{in}\ast }\right).$$

Au niveau des opérateurs,

$$a_j^{\text{out}}=\sum _i\left({\alpha }_{ji}^{\ast }{a}_i^{\text{in}}-{\beta }_{ji}^{\ast }{a}_i^{\text{in}†}\right).$$

C’est la formule décisive. Si ${\beta }_{ji}\ne 0$, alors $a_j^{\text{out}}$ contient des opérateurs de création relativement au vide entrant. Par conséquent, l’observateur sortant détecte des particules.

En effet,

$$⟨0_{\text{in}}|N_j^{\text{out}}|0_{\text{in}}⟩=⟨0_{\text{in}}|a_j^{\text{out}†}{a}_j^{\text{out}}|0_{\text{in}}⟩=\sum _i|{\beta }_{ji}{|}^2.$$

Tout le problème se ramène donc au calcul des coefficients $\beta$.

5. Réduction à la propagation nulle radiale

Pour l’effet Hawking, la contribution dominante au voisinage de l’horizon se comprend en se concentrant sur les modes sortants de haute fréquence et en les remontant à travers la géométrie en effondrement. Après décomposition angulaire, on réduit effectivement le problème à un problème de diffusion en dimension $1+1$ dans le secteur $(t,r)$, avec un potentiel effectif qui produit les facteurs de corps gris (greybody).

Pour la partie thermique de la dérivation, la cinématique essentielle provient de la propagation nulle radiale. Introduisons la coordonnée tortue

$$r_{\ast }=r+\frac{2GM}{c^2}\ln \left|\frac{r}{2GM/c^2}-1\right|,$$

et la coordonnée nulle retardée

$$u=t-\frac{r_{\ast }}{c}.$$

À l’infini nul futur, les modes sortants de fréquence positive se comportent comme

$$p_{\omega }^{\text{out}}\sim e^{-i\omega u},$$

pour $\omega >0$.

La tâche centrale consiste à déterminer de quoi a l’air un tel mode sortant lorsqu’on le propage en arrière jusqu’à ${\mathcal{I}}^{-}$.

6. La géométrie du décalage vers le rouge exponentiel

Considérons un rayon nul sortant qui s’échappe de justesse du corps en effondrement après que l’horizon s’est presque formé. Un tel rayon passe un temps de Schwarzschild extrêmement long au voisinage de l’horizon. C’est là l’origine de l’énorme décalage vers le rouge.

Si $U$ est une coordonnée nulle affine régulière sur ${\mathcal{I}}^{-}$, alors au voisinage du dernier rayon qui s’échappe on obtient une relation exponentielle de la forme

$$U_0-U=A{e}^{-\kappa u},$$

ou de façon équivalente

$$u=-\frac{1}{\kappa }\ln \left(\frac{U_0-U}{A}\right).$$

Ici :

• $U_0$ repère le rayon nul qui échoue tout juste à s’échapper et engendre à la place l’horizon
• $A$ est une constante positive déterminée par les détails de l’effondrement
• $\kappa$ est la gravité de surface du trou noir résultant

Pour Schwarzschild,

$$\kappa =\frac{c^4}{4GM}.$$

Cette application exponentielle est le cœur mathématique de l’effet Hawking. Tout ce qui est thermique en découle.

7. Remonter un mode sortant jusqu’à ${\mathcal{I}}^{-}$

Prenons un mode sortant sur ${\mathcal{I}}^{+}$,

$$p_{\omega }^{\text{out}}\sim e^{-i\omega u}.$$

À l’aide de la relation exponentielle, nous le réécrivons en fonction de la coordonnée affine $U$ sur ${\mathcal{I}}^{-}$ :

$$e^{-i\omega u}=\exp \left[\frac{i\omega }{\kappa }\ln \left(\frac{U_0-U}{A}\right)\right]=A^{-i\omega /\kappa }(U_0-U{)}^{i\omega /\kappa }.$$

Le point important est qu’il ne s’agit pas d’une simple onde plane en $U$. L’objet possède une structure de point de branchement en $U=U_0$, l’emplacement du rayon nul engendrant l’horizon.

À une phase constante sans importance près, le mode remonté en arrière sur ${\mathcal{I}}^{-}$ est

$$p_{\omega }^{\text{back}}(U)\propto \Theta (U_0-U)(U_0-U{)}^{i\omega /\kappa },$$

où $\Theta$ est une fonction échelon, car seuls les rayons avec $U<U_0$ s’échappent vers ${\mathcal{I}}^{+}$.

Cet objet n’est pas de fréquence positive bien définie par rapport à $U$. Il doit donc contenir à la fois des composantes de fréquence positive et de fréquence négative dans la base entrante.

8. Analyse de Fourier et origine des coefficients $\beta$

Pour extraire les coefficients de Bogoliubov, développons le mode remonté en arrière sur des ondes planes de fréquence positive sur ${\mathcal{I}}^{-}$ :

$$p_{\omega }^{\text{back}}(U)={\int }_0^{\infty }d\Omega \left({\alpha }_{\omega \Omega }{e}^{-i\Omega U}{\beta }_{\omega \Omega }{e}^{+i\Omega U}\right).$$

Le coefficient de $e^{+i\Omega U}$ est la partie de fréquence négative et détermine donc la création de particules.

Décalons l’origine de sorte que $x=U_0-U>0$. Alors

$$p_{\omega }^{\text{back}}(x)\propto x^{i\omega /\kappa }.$$

La transformée de Fourier pertinente pour ${\alpha }_{\omega \Omega }$ et ${\beta }_{\omega \Omega }$ est donc du type

$${\int }_0^{\infty }dx{x}^{i\omega /\kappa }{e}^{\mp i\Omega x}.$$

Ces intégrales s’évaluent par prolongement analytique de la fonction Gamma. À des facteurs de normalisation près qui n’affectent pas le rapport thermique, on trouve

$${\alpha }_{\omega \Omega }\propto e^{+\pi \omega /2\kappa }\Gamma \left(1+i\frac{\omega }{\kappa }\right){\Omega }^{-1-i\omega /\kappa },$$

et

$${\beta }_{\omega \Omega }\propto e^{-\pi \omega /2\kappa }\Gamma \left(1+i\frac{\omega }{\kappa }\right){\Omega }^{-1-i\omega /\kappa }.$$

Par conséquent

$$|{\beta }_{\omega \Omega }{|}^2=e^{-2\pi \omega /\kappa }|{\alpha }_{\omega \Omega }{|}^2.$$

Cette relation est la signature thermique.

9. Du rapport de Bogoliubov au spectre de Planck

Les coefficients de Bogoliubov satisfont l’identité de normalisation

$${\int }_0^{\infty }d\Omega \left(|{\alpha }_{\omega \Omega }{|}^2-|{\beta }_{\omega \Omega }{|}^2\right)=1,$$

pour chaque mode sortant $\omega$, dans la normalisation du continu.

En combinant ceci avec

$$|{\beta }_{\omega \Omega }{|}^2=e^{-2\pi \omega /\kappa }|{\alpha }_{\omega \Omega }{|}^2,$$

on obtient

$$⟨N_{\omega }⟩={\int }_0^{\infty }d\Omega |{\beta }_{\omega \Omega }{|}^2=\frac{1}{e^{2\pi \omega /\kappa }-1}.$$

C’est exactement le nombre d’occupation de Bose-Einstein d’un spectre thermique.

Ainsi le vide entrant est perçu à l’infini nul futur comme un rayonnement thermique de température

$$T_H=\frac{\hslash \kappa }{2\pi k_{B}c}.$$

Pour le trou noir de Schwarzschild,

$$T_H=\frac{\hslash c^3}{8\pi GM{k}_B}.$$

C’est la température de Hawking.

10. Ce que la dérivation a réellement montré

La dérivation ne dit pas qu’un horizon classique émet des particules en un sens mécanique. Elle affirme quelque chose de plus précis :

1. la géométrie de l’effondrement fait acquérir aux rayons nuls sortants un décalage vers le rouge exponentiel
2. ce décalage vers le rouge rend les modes sortants non analytiques par rapport au temps affine sur ${\mathcal{I}}^{-}$
3. les modes sortants remontés en arrière contiennent donc des composantes de fréquence négative relativement au vide entrant
4. ces composantes de fréquence négative sont mesurées par les coefficients $\beta$ de Bogoliubov
5. le nombre d’occupation qui en résulte est thermique

Le comportement thermique est par conséquent un énoncé sur la décomposition en modes sur un fond courbe formé dynamiquement.

11. Gravité de surface et universalité

L’apparition de $\kappa$ n’est pas fortuite. Au voisinage de tout horizon non extrémal, la relation entre une coordonnée nulle affine régulière et la coordonnée nulle de l’observateur stationnaire est exponentielle. Cette structure universelle au voisinage de l’horizon explique pourquoi un rayonnement de type Hawking apparaît dans de nombreux contextes :

• les trous noirs de Schwarzschild
• les trous noirs de Kerr et de Reissner-Nordström
• les horizons de de Sitter
• les horizons analogues dans les fluides, l’optique et les systèmes de matière condensée

Le spectre détaillé loin de l’horizon peut être modifié par la diffusion, la superradiance ou les conditions aux limites, mais le facteur thermique est gouverné par la même application exponentielle au voisinage de l’horizon.

12. Facteurs de corps gris

La dérivation ci-dessus isole la contribution pure de l’horizon. Dans la géométrie complète du trou noir, les quanta sortants doivent en outre diffuser à travers le potentiel de courbure extérieur. Ceci modifie le spectre par des coefficients de transmission dépendant de la fréquence ${\Gamma }_{\omega \ell }$, de sorte que, plus précisément,

$$⟨N_{\omega \ell m}⟩=\frac{{\Gamma }_{\omega \ell }}{e^{2\pi \omega /\kappa }-1}.$$

Le rayonnement est donc thermique à l’horizon, mais ce n’est pas exactement un corps noir parfait à l’infini. L’écart est entièrement dû à la propagation à travers la géométrie extérieure.

13. Choix de l’état quantique

L’état pertinent pour un trou noir en évaporation formé par effondrement est le vide d’Unruh :

• aucune particule entrante depuis ${\mathcal{I}}^{-}$
• régularité sur l’horizon futur
• flux thermique sortant sur ${\mathcal{I}}^{+}$

Ceci diffère :

• du vide de Boulware, qui est vide aux deux infinis mais singulier sur l’horizon
• du vide de Hartle-Hawking, qui décrit un équilibre thermique avec un rayonnement à la fois entrant et sortant

La dérivation de Bogoliubov décrite ici est précisément la voie menant au résultat pour l’état d’Unruh dans le cas de l’effondrement.

14. Bilan d’énergie et perte de masse du trou noir

Les quanta de Hawking sortants emportent une énergie positive vers l’infini. La cohérence du tenseur des contraintes semiclassique implique alors un flux d’énergie négative compensateur à travers l’horizon. En langage stationnaire, on dit que le mode partenaire tombant vers l’intérieur emporte une énergie de Killing négative relativement à l’infini.

C’est pourquoi la masse du trou noir décroît :

$$\frac{dM}{dt}<0.$$

L’image populaire de la « création de paires à l’horizon » n’est qu’une heuristique. La véritable dérivation repose sur la propagation globale des modes et le mélange de Bogoliubov, et non sur un mécanisme local de production de paires en espace plat.

15. Pourquoi ceci demeure semiclassique

Une limite conceptuelle importante doit rester à l’esprit.

La dérivation suppose que :

• la métrique de l’espace-temps est classique
• le champ quantique se propage sur ce fond fixé
• la rétroaction (backreaction) est négligée à l’ordre dominant

Ainsi, l’espace de Hilbert de ce calcul est l’espace de Hilbert du champ $\varphi$, et non un espace de Hilbert de géométries fluctuantes. C’est précisément pour cette raison que le rayonnement de Hawking peut être dérivé sans une théorie complète de la gravité quantique.

16. Réserves et questions ouvertes

La dérivation semiclassique est robuste, mais elle laisse derrière elle de profondes questions :

• le problème trans-planckien, puisque les quanta sortants tardifs proviennent de précurseurs exponentiellement décalés vers le bleu
• le problème de la rétroaction, dès lors que l’évaporation modifie sensiblement la géométrie
• le problème de l’information, si le rayonnement est exactement thermique au niveau le plus fin

Ces questions n’invalident pas le calcul de Bogoliubov. Elles nous indiquent où la gravité semiclassique cesse d’être l’histoire complète.

17. Résumé compact

L’effet Hawking découle de trois faits liés :

1. la géométrie en effondrement produit un horizon des événements
2. au voisinage de l’horizon, les coordonnées nulles affines et les coordonnées nulles asymptotiques sont liées exponentiellement
3. le tracé exponentiel des rayons force les modes sortants de fréquence positive à contenir des composantes entrantes de fréquence négative

C’est pourquoi

$$\beta \ne 0⟹⟨N_{\omega }⟩=\frac{1}{e^{2\pi \omega /\kappa }-1},$$

et donc

$$T_H=\frac{\hslash \kappa }{2\pi k_{B}c}.$$

En ce sens, le rayonnement de Hawking est un théorème sur le mélange de modes dans un espace-temps en effondrement.

18. Prolongements suggérés

• Comparer cette dérivation avec l’intuition géométrique sous-jacente au processus de Penrose, où l’énergétique des trous noirs apparaît déjà au niveau classique.
• Revisiter les notes sur les solutions de Schwarzschild et de Kerr afin que le rôle de la gravité de surface et de la structure de l’horizon reste concret.
• À partir d’ici, l’étape conceptuelle naturelle suivante est la dérivation du flux par le tenseur des contraintes, puis le problème de la perte d’information en gravité semiclassique.