제15장 - 인자군 계산과 단순군

이 장은 서로 맞물리는 두 가지 주제를 다룬다. 첫째는 계산적 주제이다. 적절한 전사 준동형사상을 찾아 인자군(factor group) $G/N$를 실제로 어떻게 식별하는가? 둘째는 구조적 주제이다. 어떤 군이 자명하지 않은 정규부분군에 의한 붕괴를 허용하지 않으며, 왜 그것이 중요한가? 그 답은 단순군, 합성열(composition series), 그리고 조르당-횔더 정리(Jordan-Holder theorem) — 소인수분해의 유일성에 대응하는 군론적 유비 — 로 이어진다.

§15.1 계산 도구로서의 기본 준동형 정리

기본 준동형 정리(Fundamental Homomorphism Theorem, FHT; 제1 동형 정리라고도 한다)는 제14장에서 서술되었다. 여기서는 이를 인자군을 계산하는 전략으로 사용한다.

정리 15.1 (기본 준동형 정리). $\varphi :G\to H$가 $\ker (\varphi )=N$인 전사 준동형사상이라 하자. 그러면

더 정확히 말하면, $\mu (gN)=\varphi (g)$로 정의되는 사상 $\mu :G/N\to H$는 잘 정의된 동형사상이다.

증명

이는 제14장에서 증명되었다. 참고를 위해 핵심 단계를 다시 정리한다.

잘 정의됨: $gN=g^{\prime }N$이면 어떤 $n\in N=\ker (\varphi )$에 대해 $g^{\prime }=gn$이므로 $\varphi (g^{\prime })=\varphi (gn)=\varphi (g)\varphi (n)=\varphi (g)e=\varphi (g)$이다.

준동형사상: $\mu (gN\cdot g^{\prime }N)=\mu (g{g}^{\prime }N)=\varphi (g{g}^{\prime })=\varphi (g)\varphi (g^{\prime })=\mu (gN)\mu (g^{\prime }N)$.

단사: $\mu (gN)=e_H$이면 $\varphi (g)=e_H$이므로 $g\in \ker (\varphi )=N$이고, 따라서 $gN=N$이다.

전사: $\varphi$가 전사이므로 모든 $h\in H$에 대해 $\varphi (g)=h$을 만족하는 $g\in G$이 존재하고, 따라서 $\mu (gN)=h$이다.

전략. $G/N$을 식별하려면:

1. 답이라고 의심되는 군 $H$를 찾는다.
2. 전사 준동형사상 $\varphi :G\to H$를 구성한다.
3. $\ker (\varphi )=N$임을 확인한다.
4. FHT에 의해 $G/N\cong H$이라고 결론짓는다.

이는 거의 항상 모든 잉여류를 나열하고 곱셈표를 처음부터 만드는 것보다 빠르다.

§15.2 인자군 계산 예제

예제 15.2: $({\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_6)/⟨(\bar{2},\bar{3})⟩$

1단계: 붕괴되는 부분군을 계산한다.

$G={\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_6$ 안에서 $N=⟨(\bar{2},\bar{3})⟩$이라 하자. 계산하면:

따라서 $|(\bar{2},\bar{3})|=2$이고 $N=\{(\bar{0},\bar{0}),(\bar{2},\bar{3})\}$이므로 $|N|=2$이다.

2단계: 몫의 위수를 결정한다.

3단계: 적절한 준동형사상을 찾는다(또는 구조로 분류한다).

$G={\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_6$가 아벨군이므로 $G/N$도 아벨군이다. 유한생성 아벨군의 기본정리에 의해, 위수 $12$인 아벨군은 ${\mathbb{Z}}_{12}$ 또는 ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_6$ 중 하나와 동형이다.

이 둘을 구별하기 위해 $G/N$에서 위수 $12$인 원소를 찾는다. 잉여류 $(\bar{1},\bar{0})+N$을 생각하자. $m(\bar{1},\bar{0})\in N$을 만족하는 가장 작은 $m>0$가 필요하다. 이제 $m(\bar{1},\bar{0})=(\bar{m},\bar{0})$이다. 이것이 $N=\{(\bar{0},\bar{0}),(\bar{2},\bar{3})\}$에 속하려면:

• $(\bar{m},\bar{0})=(\bar{0},\bar{0})$는 $4\mid m$을 요구하므로 최소한 $m=4$이다.
• $(\bar{m},\bar{0})=(\bar{2},\bar{3})$는 ${\mathbb{Z}}_6$에서 $\bar{0}=\bar{3}$을 요구하는데, 이는 불가능하다.

따라서 $(\bar{1},\bar{0})+N$는 $G/N$에서 위수 $4$을 갖는다.

이제 $(\bar{0},\bar{1})+N$를 생각하자. $m(\bar{0},\bar{1})=(\bar{0},\bar{m})\in N$이 필요하다:

• $(\bar{0},\bar{m})=(\bar{0},\bar{0})$은 $6\mid m$을 요구하므로 최소한 $m=6$이다.
• $(\bar{0},\bar{m})=(\bar{2},\bar{3})$은 ${\mathbb{Z}}_4$에서 $\bar{0}=\bar{2}$을 요구하는데, 이는 불가능하다.

따라서 $(\bar{0},\bar{1})+N$은 위수 $6$를 갖는다.

$\gcd (4,6)=2$이므로 원소 $(\bar{1},\bar{0})+N+(\bar{0},\bar{1})+N=(\bar{1},\bar{1})+N$은 위수 $\mathrm{lcm}(4,6)=12$을 갖는다. (확인하면: $m(\bar{1},\bar{1})=(\bar{m},\bar{m})\in N$이 $4\mid m$과 $6\mid m$을 모두 강제하거나, 또는 ${\mathbb{Z}}_4$에서 $\bar{m}=\bar{2}$이고 동시에 ${\mathbb{Z}}_6$에서 $\bar{m}=\bar{3}$이어야 하므로 $\mathrm{ord}((\bar{1},\bar{1})+N)=12$이다. 두 번째 경우는 $m\equiv 2(\mathrm{mod}4)$과 $m\equiv 3(\mathrm{mod}6)$을 요구한다. CRT에 의해 이는 $m\equiv 9(\mathrm{mod}12)$을 주지만, 그러면 $m=9$이 $(\bar{1},\bar{3})\ne (\bar{2},\bar{3})$을 준다. 사실 $9\mathrm{mod}4=1\ne 2$이다. 따라서 첫 번째 경우만 적용된다: $\mathrm{lcm}(4,6)=12$.)

그러므로 $G/N$은 위수 $12$인 원소를 가지므로

FHT를 통한 대안: ${\mathbb{Z}}_{12}$에서 $\varphi (\bar{a},\bar{b})=\overline{3a+2b}$으로 $\varphi :{\mathbb{Z}}_4\times {\mathbb{Z}}_6\to {\mathbb{Z}}_{12}$를 정의한다. 이것이 잘 정의된 전사 준동형사상임을 확인할 수 있다($\varphi (\bar{1},\bar{1})=\bar{5}$이 ${\mathbb{Z}}_{12}$에서 위수 $12$를 가지므로 상은 ${\mathbb{Z}}_{12}$ 전체이다). 핵은 $12\mid 3a+2b$을 만족하는 $(\bar{a},\bar{b})$으로 이루어진다(정수로 끌어올림). $\ker (\varphi )=\{(\bar{0},\bar{0}),(\bar{2},\bar{3})\}=N$임을 확인할 수 있다.

예제 15.3: $({\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_4)/⟨(\bar{1},\bar{2})⟩$

$G={\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_4$ 안에서 $N=⟨(\bar{1},\bar{2})⟩$이라 하자.

계산하면: $(\bar{1},\bar{2})$, 그 다음 $2(\bar{1},\bar{2})=(\bar{0},\bar{0})$이다. 따라서 $|N|=2$이고 $N=\{(\bar{0},\bar{0}),(\bar{1},\bar{2})\}$이다.

위수 $4$인 아벨군은 ${\mathbb{Z}}_4$ 또는 ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$(클라인 4원군 $V_4$) 중 하나이다.

$G/N$가 위수 $4$인 원소를 갖는지 확인한다. 잉여류 $(\bar{0},\bar{1})+N$은 위수 $m$을 가지며, 여기서 $m$은 $m(\bar{0},\bar{1})=(\bar{0},\bar{m})\in N$을 만족하는 가장 작은 양의 정수이다:

• $(\bar{0},\bar{m})=(\bar{0},\bar{0})$는 $4\mid m$을 요구한다.
• $(\bar{0},\bar{m})=(\bar{1},\bar{2})$는 ${\mathbb{Z}}_2$에서 $\bar{0}=\bar{1}$을 요구하는데, 불가능하다.

따라서 $\mathrm{ord}((\bar{0},\bar{1})+N)=4$이고, 그러므로

예제 15.4: $(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})/⟨(1,1)⟩\cong \mathbb{Z}$

$G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 안에서 $N=⟨(1,1)⟩=\{(n,n):n\in \mathbb{Z}\}$이라 하자.

FHT 사용: $\varphi (a,b)=a-b$로 $\varphi :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$을 정의한다.

• 준동형사상: $\varphi ((a,b)+(c,d))=\varphi (a+c,b+d)=(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=\varphi (a,b)+\varphi (c,d)$.
• 전사: 임의의 $n\in \mathbb{Z}$에 대해 $\varphi (n,0)=n$.
• 핵: $\varphi (a,b)=0⟺a=b⟺(a,b)=(a,a)\in ⟨(1,1)⟩$.

따라서 $\ker (\varphi )=N$이고, FHT에 의해:

이는 비가산 계수처럼 보이는 대상의 몫이 가장 단순한 무한순환군으로 판명되기 때문에 아름다운 예제이다.

예제 15.5: $(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})/⟨(2,2)⟩$

$\varphi (a,b)=(a-b,\bar{b})$으로 $\varphi :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}_2$를 정의하며, 여기서 $\bar{b}$은 $b\mathrm{mod}2$이다.

• 준동형사상: 통상적인 확인.
• 전사: $\varphi (n,0)=(n,\bar{0})$이고 $\varphi (n,1)=(n-1,\bar{1})$이므로 상은 $\mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}_2$ 전체이다.
• 핵: $\varphi (a,b)=(0,\bar{0})$은 $a=b$과 $2\mid b$을 요구하므로 어떤 $k$에 대해 $(a,b)=(2k,2k)$이다. 따라서 $\ker (\varphi )=⟨(2,2)⟩$이다.

그러므로

예제 15.6: ${\mathbb{R}}^{\ast }/\{1,-1\}\cong {\mathbb{R}}_{>0}$

$G={\mathbb{R}}^{\ast }=(\mathbb{R}\setminus \{0\},\cdot )$이고 $N=\{1,-1\}$라 하자.

$\varphi (x)=|x|$으로 $\varphi :{\mathbb{R}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}_{>0}$를 정의한다.

• 준동형사상: $\varphi (xy)=|xy|=|x||y|=\varphi (x)\varphi (y)$.
• 전사: 모든 양의 실수는 이미 ${\mathbb{R}}^{\ast }$에 속한다.
• 핵: $\varphi (x)=1⟺|x|=1⟺x=\pm 1$.

따라서 $\ker (\varphi )=\{1,-1\}=N$이고 FHT에 의해:

§15.3 $G/Z(G)$ 정리

정의 15.7. 군 $G$의 중심(center)은

$Z(G)⊴G$

증명. $z\in Z(G)$이고 $g\in G$이라 하자. 그러면 $gz{g}^{-1}=zg{g}^{-1}=z\in Z(G)$이며, 여기서 $gz=zg$을 사용하였다. 따라서 $Z(G)$는 켤레변환에 대해 안정적이고, 그러므로 정규이다.

정리 15.8 ($G/Z(G)$ 정리). $G/Z(G)$가 순환군이면 $G$는 아벨군이다.

증명

$G/Z(G)$가 순환군이라 하고, 어떤 $g\in G$에 대해 $G/Z(G)=⟨gZ(G)⟩$라 하자.

그러면 $G$의 모든 원소는 어떤 정수 $k$과 어떤 $z\in Z(G)$에 대해 $g^{k}z$으로 쓸 수 있다.

$a,b\in G$가 임의로 주어졌다고 하자. $z_1,z_2\in Z(G)$로 $a=g^m{z}_1$과 $b=g^n{z}_2$을 쓴다. 그러면:

$$ab=g^m{z}_1\cdot g^n{z}_2=g^m{g}^n{z}_1{z}_2=g^{m+n}{z}_1{z}_2$$

여기서 $z_1$가 모든 것($g^n$을 포함하여)과 가환이라는 사실을 사용하였다. 마찬가지로:

$$ba=g^n{z}_2\cdot g^m{z}_1=g^{n+m}{z}_2{z}_1=g^{m+n}{z}_1{z}_2$$

$z_1,z_2$가 모든 것과 그리고 서로 가환임을 사용하였다.

그러므로 모든 $a,b\in G$에 대해 $ab=ba$이므로 $G$는 아벨군이다.

논리적 내용에 주목하라: $G/Z(G)$가 순환군이면 $G$는 아벨군이고, 이는 $Z(G)=G$을 의미하며, 이는 $G/Z(G)$가 자명함을 의미한다. 따라서 “$G/Z(G)$가 순환군이고 자명하지 않다”는 가정은 불가능하다. 이 정리는 사실상 위장된 귀류법이다.

따름정리 15.9. 소수 $p$에 대해 $|G|=p^2$이면 $G$는 아벨군이다.

증명

류방정식(class equation)과 $p$-군의 성질에 의해 $|Z(G)|>1$이다. $|G|=p^2$이므로 $|Z(G)|\in \{p,p^2\}$이다.

$|Z(G)|=p^2$이면 $Z(G)=G$이고 $G$는 아벨군이다.

$|Z(G)|=p$이면 $|G/Z(G)|=p^2/p=p$인데, 이는 소수이다. 소수 위수인 군은 순환군이다. 따라서 $G/Z(G)$는 순환군이고, 정리 15.8에 의해 $G$는 아벨군이다. 하지만 그러면 $Z(G)=G$이 되어 $|Z(G)|=p$에 모순된다. 따라서 이 경우는 불가능하다.

어느 경우든 $G$는 아벨군이다.

이 따름정리는 위수 $p^2$인 군이 ${\mathbb{Z}}_{p^2}$ 또는 ${\mathbb{Z}}_p\times {\mathbb{Z}}_p$ 중 하나와 동형임을 보여준다. 위수 $p^2$인 비아벨군은 존재하지 않는다.

§15.4 단순군

정의 15.10. 군 $G$가 단순(simple)하다는 것은 $G\ne \{e\}$이고 $G$의 정규부분군이 $\{e\}$과 $G$ 자기 자신뿐일 때를 말한다.

아벨군의 경우

정리 15.11. 유한 아벨군이 단순할 필요충분조건은 그것이 소수 위수를 갖는 것이다(즉, $G\cong {\mathbb{Z}}_p$).

증명

($\Leftarrow$) $|G|=p$가 소수이면 라그랑주 정리에 의해 부분군은 $\{e\}$과 $G$뿐이다. $G$가 아벨군이므로 모든 부분군은 정규이다. 따라서 $G$는 단순하다.

($\Rightarrow$) $G$를 유한 아벨 단순군이라 하자. $G$에서 $a\ne e$를 택한다. $G$가 아벨군이므로 $⟨a⟩⊴G$이다. 단순성에 의해 $⟨a⟩=G$이므로 $G$는 순환군이다. $|G|=n$가 합성수이면, 즉 $1<k,m<n$인 $n=km$라 하면, $⟨a^k⟩$는 진정한 자명하지 않은 부분군이고(위수 $m$을 가짐) 이는 단순성에 모순된다. 따라서 $|G|$은 소수이다.

예시

• ${\mathbb{Z}}_p$은 모든 소수 $p$에 대해 단순하다.
• ${\mathbb{Z}}_6$은 단순하지 않다: $\{0,2,4\}\cong {\mathbb{Z}}_3$는 진정한 자명하지 않은 정규부분군이다.
• $A_n$은 $n\ge 5$에 대해 단순하다(이는 중요한 정리이며 아래에서 논의한다).
• $A_4$은 단순하지 않다: 클라인 4원군 $V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$은 진정한 자명하지 않은 정규부분군이다.

단순군이 중요한 이유: 군론의 원자

단순군은 정수에 대해 소수가 하는 역할을 군에 대해 한다. 모든 유한군은 합성열을 통해 단순군으로 “분해”될 수 있으며(§15.7 참조), 조르당-횔더 정리는 이 분해가 본질적으로 유일함을 보장한다. 따라서 모든 유한군을 이해하는 것은 다음으로 귀착된다:

1. 모든 유한 단순군을 분류한다(1980년대—2004년에 완료).
2. 단순군이 어떻게 조립될 수 있는지 이해한다(확장 문제).

§15.5 $A_5$의 단순성

정리 15.12. $A_5$은 단순하다.

증명 개요

$N\ne \{e\}$인 임의의 정규부분군 $N⊴A_5$이 반드시 $A_5$ 전체임을 보인다.

핵심 사실:

• $|A_5|=60$.
• $A_5$의 켤레류(conjugacy class)는 다음 크기를 갖는다: $1,12,12,15,20$(순환마디형 $e$, $(abcde)$, $(abced)$, $(ab)(cd)$, $(abc)$에 대응).
• 정규부분군은 켤레류의 합집합이어야 하며(켤레변환에 닫혀 있으므로) $e$을 포함해야 한다.
• $N$의 위수는 $60$를 나누어야 한다.

소거: $\{e\}$을 포함하고 전체 크기가 $60$을 나누는 켤레류의 합집합이 필요하다. 가능한 경우는:

$$1,1+12=13,1+12=13,1+15=16,1+20=21,$$ $$1+12+12=25,1+12+15=28,1+12+20=33,$$ $$1+15+20=36,1+12+12+15=40,1+12+12+20=45,$$ $$1+12+15+20=48,1+12+12+15+20=60.$$

이 중에서 $60$을 나누는 것은 $1$과 $60$뿐이다.

그러므로 $N=\{e\}$이거나 $N=A_5$이므로 $A_5$은 단순하다.

비고. $n\ge 5$에 대해 $A_n$은 단순하다. 일반적인 $n$에 대한 증명은 $A_n$이 $3$-순환마디들로 생성되며, $3$-순환마디를 포함하는 임의의 정규부분군은 (켤레변환에 의해) 모든 $3$-순환마디를 포함해야 하므로 반드시 $A_n$ 전체여야 한다는 사실을 사용한다.

§15.6 중심과 교환자부분군

중심의 재검토

정의 15.13. $G$의 중심은 $Z(G)=\{z\in G:zg=gz\text{ for all }g\in G\}$이다.

§15.3에서 $Z(G)⊴G$임을 증명하였다. $G$가 아벨군일 필요충분조건은 $Z(G)=G$임에 주목하라.

교환자부분군

정의 15.14. $a,b\in G$에 대해, $a$와 $b$의 교환자(commutator)는

$G$의 교환자부분군(commutator subgroup; 또는 도출부분군, derived subgroup)은

즉 모든 교환자에 의해 생성되는 부분군이다.

주의: 모든 교환자의 집합이 항상 부분군인 것은 아니다(두 교환자의 곱이 그 자체로 교환자일 필요는 없다). 따라서 생성된 부분군을 취해야 한다.

정리 15.15. $G^{\prime }⊴G$.

증명

$G^{\prime }$가 교환자들로 생성되므로, 모든 $g,a,b\in G$에 대해 $g[a,b]g^{-1}$이 교환자임을 보이면 충분하다.

계산하면:

$$g[a,b]g^{-1}=g(ab{a}^{-1}{b}^{-1})g^{-1}=(ga{g}^{-1})(gb{g}^{-1})(g{a}^{-1}{g}^{-1})(g{b}^{-1}{g}^{-1})$$ $$=(ga{g}^{-1})(gb{g}^{-1})(ga{g}^{-1}{)}^{-1}(gb{g}^{-1}{)}^{-1}=[ga{g}^{-1},gb{g}^{-1}].$$

따라서 교환자를 켤레변환하면 또 다른 교환자가 되고, 이는 $G^{\prime }$에 속한다. $G^{\prime }$가 교환자들로 생성되고 켤레변환이 생성원들을 $G^{\prime }$의 원소로 보내므로, 모든 $g$에 대해 $g{G}^{\prime }{g}^{-1}\subseteq G^{\prime }$이라고 결론짓는다. 따라서 $G^{\prime }⊴G$이다.

정리 15.16. $G/G^{\prime }$는 아벨군이다.

증명

$a{G}^{\prime },b{G}^{\prime }\in G/G^{\prime }$이라 하자. $(a{G}^{\prime })(b{G}^{\prime })=(b{G}^{\prime })(a{G}^{\prime })$, 즉 $ab{G}^{\prime }=ba{G}^{\prime }$이 필요하다.

두 잉여류가 같을 필요충분조건은 그 몫이 부분군에 속하는 것이므로,

$$(ab)(ba{)}^{-1}\in G^{\prime }.$$

임을 보이면 충분하다. 그런데

$$(ab)(ba{)}^{-1}=ab{a}^{-1}{b}^{-1}=[a,b],$$

이고, 교환자부분군의 정의에 의해 $[a,b]\in G^{\prime }$이다.

그러므로 $ab{G}^{\prime }=ba{G}^{\prime }$이고, 따라서 모든 $a,b\in G$에 대해

$$(a{G}^{\prime })(b{G}^{\prime })=(b{G}^{\prime })(a{G}^{\prime })$$

이다. 따라서 $G/G^{\prime }$는 아벨군이다.

정리 15.17. $G^{\prime }$는 아벨 몫을 갖는 $G$의 가장 작은 정규부분군이다. 즉, $N⊴G$이고 $G/N$가 아벨군이면 $G^{\prime }\subseteq N$이다.

증명

$N⊴G$이고 $G/N$가 아벨군이라 하자. 그러면 모든 $a,b\in G$에 대해:

$$(aN)(bN)=(bN)(aN),$$

이므로 $abN=baN$이고, 따라서 $(ab)(ba{)}^{-1}\in N$, 즉 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}\in N$, 즉 $[a,b]\in N$이다.

모든 교환자가 $N$에 속하고 $G^{\prime }$가 교환자들로 생성되므로 $G^{\prime }\subseteq N$이다.

예시. $S_3$에 대해: 교환자에는 $[(12),(123)]=(12)(123)(12{)}^{-1}(123{)}^{-1}=(12)(123)(12)(132)=(132)$가 포함된다. $S_3^{\prime }=A_3=\{e,(123),(132)\}$임을 확인할 수 있고, $S_3/S_3^{\prime }\cong {\mathbb{Z}}_2$이며 이는 아벨군이다. 아벨군 $G$에 대해서는 $G^{\prime }=\{e\}$이다.

풀이 예제 15.17a: $D_8$의 아벨화

를 정사각형의 대칭군이라 하자.

교환자부분군 $D_8^{\prime }$과 아벨 몫 $D_8/D_8^{\prime }$을 계산하고자 한다.

교환자로 시작한다:

$s^{-1}=s$이고 $srs=r^{-1}$이므로

을 얻는다. 따라서

이제 모든 교환자가 사라지도록 강제되는 몫을 살펴본다. 아벨화에서 관계

는

가 되므로 몫에서

이다. 이미 $s^2=e$을 가지고 있다. 그러므로 몫은 둘 다 위수 $2$인 $r$과 $s$의 상으로 생성되며 아벨군이다. 따라서

$|D_8|=8$이므로 몫은 위수 $4$를 가지고, 따라서 $|D_8^{\prime }|=2$이다. 그런데 $D_8^{\prime }$은 이미 자명하지 않은 원소 $r^2$를 포함하므로

그러므로

생산적 분투: 아벨화는 중심에 의한 몫과 같지 않다

흔한 잘못된 추측

군을 아벨군으로 만들려면 중심에 의한 몫을 취한다.

어디서 무너지는가. 중심은 이미 모든 것과 가환인 원소를 측정한다. 그것은 군에서의 모든 비가환성을 측정하지 않는다. $S_3$에 대해 중심은 자명하다:

$$Z(S_3)=\{e\}.$$

따라서

$$S_3/Z(S_3)\cong S_3,$$

이고, 이는 여전히 비아벨군이다.

수정된 방법. 몫을 취해야 할 올바른 부분군은 교환자부분군 $G^{\prime }$이다. 정리는 $G/G^{\prime }$가 아벨군이며 그러한 가장 작은 몫임을 말한다. 따라서 중심과 도출부분군은 서로 다른 질문에 답한다:

• $Z(G)$은 어떤 원소가 이미 모든 것과 가환인지 묻고;
• $G^{\prime }$는 몫 전체가 가환이 되도록 강제하려면 무엇을 죽여야 하는지 묻는다.

§15.7 제2 및 제3 동형 정리

정리 15.18 (제2 동형 정리). $H\le G$이고 $N⊴G$라 하자. 그러면 $HN\le G$, $N⊴HN$, $H\cap N⊴H$이고

증명

$HN$가 부분군임: $N$가 정규이므로 임의의 $h\in H$와 $n\in N$에 대해 어떤 $n^{\prime }\in N$에 대해 $hn=(hn{h}^{-1})h=n^{\prime }h$이다. 따라서 $HN=NH$이고, $HN$의 두 원소의 곱은:

$$(h_1{n}_1)(h_2{n}_2)=h_1(n_1{h}_2)n_2=h_1(h_2{n}_1^{\prime })n_2=(h_1{h}_2)(n_1^{\prime }{n}_2)\in HN.$$

역원에 대한 닫힘도 비슷하다. 따라서 $HN\le G$이다.

$N⊴HN$: $N$는 $G$에서 정규이므로 $HN\le G$에서도 당연히 정규이다.

사상 정의: $\varphi (h)=hN$로 $\varphi :H\to HN/N$을 정의한다.

• 준동형사상: $\varphi (h_1{h}_2)=h_1{h}_{2}N=(h_{1}N)(h_{2}N)=\varphi (h_1)\varphi (h_2)$.
• 전사: $HN/N$의 모든 원소는 $hnN=hN$ 형태이고($n\in N$이므로), 이는 $\varphi (h)$이다.
• 핵: $\varphi (h)=N⟺hN=N⟺h\in N$. $h\in H$이므로 $h\in H\cap N$를 얻는다. 따라서 $\ker (\varphi )=H\cap N$이다.

특히 $H\cap N⊴H$이다($H$로부터의 준동형사상의 핵으로서). FHT에 의해:

$$H/(H\cap N)\cong HN/N.$$

예시. $G={\mathbb{Z}}_{12}$, $H=⟨\bar{4}⟩=\{\bar{0},\bar{4},\bar{8}\}$, $N=⟨\bar{6}⟩=\{\bar{0},\bar{6}\}$이라 하자.

그러면 $HN=\{\bar{0},\bar{4},\bar{8},\bar{6},\overline{10},\bar{2}\}=⟨\bar{2}⟩$이고, 이는 위수 $6$을 갖는다. 그리고 $H\cap N=\{\bar{0}\}$이다($\bar{4},\bar{8}\notin \{\bar{0},\bar{6}\}$이므로). 제2 동형 정리는 다음을 준다:

실제로 $|HN/N|=6/2=3$이고, 일관된다.

정리 15.19 (제3 동형 정리). $N⊴G$와 $M⊴G$가 모두 성립하는 $N\subseteq M$이라 하자. 그러면 $M/N⊴G/N$이고

증명

$\varphi (gN)=gM$로 $\varphi :G/N\to G/M$을 정의한다.

• 잘 정의됨: $gN=g^{\prime }N$이면 $g^{-1}{g}^{\prime }\in N\subseteq M$이므로 $gM=g^{\prime }M$이다.
• 준동형사상: $\varphi (gN\cdot g^{\prime }N)=\varphi (g{g}^{\prime }N)=g{g}^{\prime }M=(gM)(g^{\prime }M)=\varphi (gN)\varphi (g^{\prime }N)$.
• 전사: 임의의 $gM\in G/M$에 대해 $\varphi (gN)=gM$이다.
• 핵: $\varphi (gN)=M⟺gM=M⟺g\in M⟺gN\in M/N$. 따라서 $\ker (\varphi )=M/N$이다.

특히 $M/N⊴G/N$이다. FHT에 의해:

$$(G/N)/(M/N)\cong G/M.$$

예시. $G=\mathbb{Z}$, $N=12\mathbb{Z}$, $M=4\mathbb{Z}$라 하자. 그러면 $N\subseteq M$이고, 둘 다 $\mathbb{Z}$에서 정규이다. 정리는 다음을 말한다:

좌변은 ${\mathbb{Z}}_{12}/⟨\bar{4}⟩$이며 이는 위수 $12/3=4$인 군이고, 우변은 ${\mathbb{Z}}_4$이다. 실제로 제14장에서 계산했듯이 ${\mathbb{Z}}_{12}/⟨\bar{4}⟩\cong {\mathbb{Z}}_4$이다.

§15.8 합성열과 조르당-횔더 정리

정의 15.20. 군 $G$의 합성열(composition series)은 부분군의 사슬

로서, 각 합성인자(composition factor) $G_{i+1}/G_i$가 단순군인 것이다. (각 $G_i$는 $G_{i+1}$에서 정규이지만 $G$에서는 반드시 그렇지 않다.)

예시: ${\mathbb{Z}}_{12}$의 합성열

합성인자는:

• $⟨\bar{6}⟩/\{0\}\cong {\mathbb{Z}}_2$
• $⟨\bar{2}⟩/⟨\bar{6}⟩\cong {\mathbb{Z}}_3$ (위수 $6/2=3$)
• ${\mathbb{Z}}_{12}/⟨\bar{2}⟩\cong {\mathbb{Z}}_2$ (위수 $12/6=2$)

모든 인자는 소수 위수의 순환군이므로 단순하다. 합성인자는(중복도를 포함하여) $\{{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_3,{\mathbb{Z}}_2\}$이다.

다른 합성열은 인자가 ${\mathbb{Z}}_3,{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_2$인 $\{0\}⊴⟨\bar{4}⟩⊴⟨\bar{2}⟩⊴{\mathbb{Z}}_{12}$이다 — 같은 중복집합을 재배열한 것이다.

예시: $S_3$의 합성열

인자: $A_3/\{e\}\cong {\mathbb{Z}}_3$과 $S_3/A_3\cong {\mathbb{Z}}_2$. 둘 다 단순하다. 합성인자: $\{{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_3\}$.

예시: $S_4$의 합성열

여기서 $V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$이다.

이 사슬은 아직 합성열이 아니다. 왜냐하면

은 단순하지 않기 때문이다: 그것은 진정한 자명하지 않은 부분군을 갖는다. 따라서 $V_4$ 안에 위수 $2$인 부분군 하나를 삽입하여 사슬을 세분한다.

$S_4$의 적절한 합성열은:

인자:

• $⟨(12)(34)⟩/\{e\}\cong {\mathbb{Z}}_2$ (단순)
• $V_4/⟨(12)(34)⟩\cong {\mathbb{Z}}_2$ (단순)
• $A_4/V_4\cong {\mathbb{Z}}_3$ (단순, $|A_4/V_4|=12/4=3$이므로)
• $S_4/A_4\cong {\mathbb{Z}}_2$ (단순)

합성인자: $\{{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_3,{\mathbb{Z}}_2\}$.

조르당-횔더 정리

정리 15.21 (조르당-횔더). 유한군 $G$이 합성열을 가지면, $G$의 임의의 두 합성열은 같은 길이와 같은 합성인자를 갖는다(치환과 동형사상을 허용하여).

이 정리는 증명 없이 서술한다. 이는 정수에 대한 소인수분해의 유일성에 대응하는 군론적 유비이다. 모든 양의 정수가 (순서를 무시하면) 소수로 유일하게 분해되듯이, 모든 유한군은 (순서를 무시하면) 단순 합성인자로 유일하게 분해된다.

풀이 비교: ${\mathbb{Z}}_6$와 $S_3$은 같은 인자를 갖지만 다른 군이다

이는 이 장에서 가장 중요한 점검 중 하나이다.

${\mathbb{Z}}_6$에 대해, 합성열은

이고 인자는

$S_3$에 대해, 합성열은

이고 인자는

따라서 두 군은 같은 합성인자를 갖는다:

하지만 두 군은 동형이 아니다.

왜인가?

• ${\mathbb{Z}}_6$은 아벨군이다.
• $S_3$은 비아벨군이다.

완전열(exact sequence)의 언어로 말하면, 두 군 모두 짧은 완전열

에 들어맞지만, ${\mathbb{Z}}_2$가 ${\mathbb{Z}}_3$ 부분에 작용하는 방식이 다르다.

${\mathbb{Z}}_6$의 경우 작용이 자명하므로

$S_3$의 경우 작용이 자명하지 않으므로

인자는 일치하지만 확장 데이터는 일치하지 않는다.

생산적 분투: 같은 합성인자가 같은 군을 의미하지는 않는다

흔한 잘못된 추측

두 군이 같은 합성인자를 가지면 그들은 동형이어야 한다.

어디서 무너지는가. 조르당-횔더는 인자가 순서와 동형사상을 무시하면 유일하게 결정된다고 말하지만, 군 전체가 그 인자들에 의해 유일하게 결정된다고 말하지는 않는다. 위의 비교가 이미 그 희망을 깨뜨린다.

수정된 방법. 합성인자를 어느 정도까지만 소인수에 대응하는 군론적 유비로 취급하라. 그것들은 단순한 구성 요소를 기록한다. 군 전체를 복원하려면, 그 요소들이 어떻게 붙어 있는지도 이해해야 하는데, 이것이 바로 확장과 완전열의 역할이다.

§15.9 가해군

정의 15.22. 군 $G$가 가해(solvable)하다는 것은 모든 합성인자가 아벨군인 합성열을 가질 때를 말한다. (유한군에 대해서는) 동치로, 모든 합성인자가 소수 위수의 순환군인 것이다.

(이 이름은 갈루아 이론에서 비롯된다: 다항방정식이 거듭제곱근으로 풀릴 필요충분조건은 그 갈루아 군이 가해한 것이다.)

정리 15.23. $S_n$은 $n\le 4$에 대해 가해하다.

증명

위에서 $S_4$의 합성인자가 $\{{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_3,{\mathbb{Z}}_2\}$이고 모두 아벨군임을 보였다.

$S_3$에 대해: 합성인자 $\{{\mathbb{Z}}_2,{\mathbb{Z}}_3\}$, 모두 아벨군이다.

$S_2\cong {\mathbb{Z}}_2$에 대해: 이미 단순하고 아벨군이다.

$S_1\cong \{e\}$에 대해: 자명하므로 가해하다.

각 경우에 모든 합성인자는 소수 위수의 순환군이므로 아벨군이다. 따라서 $S_n$은 $n\le 4$에 대해 가해하다.

정리 15.24. $S_n$은 $n\ge 5$에 대해 가해하지 않다.

증명

$S_n$($n\ge 5$)의 합성열을 생각하자:

$$\{e\}⊴A_n⊴S_n.$$

인자 $S_n/A_n\cong {\mathbb{Z}}_2$은 아벨군이다. 하지만 $A_n/\{e\}\cong A_n$은 단순하고($n=5$에 대해 정리 15.12, 그리고 $n\ge 5$에 대한 일반적인 결과) 비아벨군이다($n\ge 5$에 대해 $|A_n|=n!/2$이 소수가 아니므로).

$A_n$이 단순하고 비아벨이므로 그것은 합성인자로 나타나며, 이는 더 이상 세분될 수 없다. 따라서 $S_n$의 임의의 합성열은 비아벨 인자를 포함하고, $S_n$은 가해하지 않다.

이것이 궁극적으로 일반 5차방정식이 거듭제곱근으로 풀리지 않는 이유이다: $S_5$은 가해하지 않다.

§15.10 랭의 관점: 완전열, 원자, 그리고 확장

이 내용에 대한 랭(Lang)의 취급은 완전열(exact sequence)로 조직되어 있다. 이는 핵, 상, 몫, 그리고 더 단순한 조각들로 군을 만드는 문제를 기술하기에 적합한 언어이다.

완전성

정의 15.25 (완전열). 준동형사상의 수열

이 $A_i$에서 완전(exact)하다는 것은

일 때를 말한다. 이 수열이 완전하다는 것은 모든 중간 항에서 완전한 것이다.

이는 연속하는 사상들 사이에서 아무것도 잃어버리지 않고 아무것도 추가로 나타나지 않는다는 것을 간결하게 표현하는 방법이다: $A_i$에 도착하는 모든 것은 정확히 다음 사상에 의해 죽는 것이다.

짧은 완전열로서의 몫 구성

$N⊴G$일 때마다 몫 사상은 짧은 완전열

에 들어맞으며, 여기서 $i$는 포함사상이고 $\pi (g)=gN$이다.

그림: 몫군에 부속된 짧은 완전열.

화살표들은 부분군, 둘러싼 군, 몫을 하나의 줄로 묶으며, 완전성은 $\pi$가 정확히 $N$을 죽인다는 것을 기록한다.

완전성을 주의 깊게 점검하자:

• $N$에서: 자명한 사상 $1\to N$의 상은 단지 $\{e\}$이고, 포함사상이 단사이므로 이는 $\ker (i)$과 같다.
• $G$에서: $i$의 상은 정확히 $N$이고, 제14장에 의해 $\ker (\pi )=N$임을 안다.
• $G/N$에서: $\pi$의 상은 $G/N$ 전체이므로 사상 $G/N\to 1$은 $G/N$ 전체와 같은 핵을 갖는다.

따라서 완전성은 세 가지 진술을 동시에 묶는다:

• $N$가 실제로 $G$ 안에 들어 있다;
• 몫 사상이 정확히 $N$을 죽이고 그보다 큰 것은 죽이지 않는다;
• 모든 잉여류가 $G$의 어떤 원소의 상으로 나타난다.

이 하나의 짧은 완전열은 전체 몫 구성의 압축된 형태이다.

짧은 완전열의 표준 예시

1. 부호 준동형사상은

   $$1\to A_n\to S_n\stackrel{\mathrm{sgn}}{\to }\{\pm 1\}\to 1$$

   을 준다($n\ge 2$에 대해).

2. 제12장의 유클리드 군은

   $$1\to {\mathbb{R}}^2\to E(2)\to O(2)\to 1.$$

   를 준다. 이 수열은 분할(split)되며, 그래서

   $$E(2)\cong {\mathbb{R}}^2⋊O(2).$$

   이다.

3. 임의의 군 $G$에 대해 교환자부분군은

   $$1\to G^{\prime }\to G\to G/G^{\prime }\to 1,$$

   를 주며, 여기서 $G/G^{\prime }$은 $G$의 가장 큰 아벨 몫이다.

이 예시들은 비교해 볼 가치가 있다. 각각은 말한다: 복잡한 군은 정규부분군 하나를 분리하고 몫을 이해함으로써 연구할 수 있다.

분할 완전열과 반직접곱

정의 15.26 (분할 짧은 완전열). 짧은 완전열

이 분할(split)된다는 것은 준동형사상

이 존재하여

을 만족할 때를 말한다.

사상 $s$는 단면(section)이라고 불린다. 그것은 준동형사상을 존중하는 방식으로 몫의 각 원소에 대해 $G$에서 하나의 대표원을 선택한다.

그러한 단면이 존재할 때

임을 보일 수 있다. 따라서 반직접곱(semidirect product)은 분할 짧은 완전열의 대수적 형태이다.

풀이 예제 15.26a: 직접곱이 아닌 분할 수열

다음을 생각하자:

이 수열이 완전한 이유는:

• 포함사상 $A_3\hookrightarrow S_3$이 단사이고;
• $\ker (\mathrm{sgn})=A_3$이며;
• 부호 사상이 전사이기 때문이다.

이제

을 ${\mathbb{Z}}_2$의 0이 아닌 원소를 호환 $(12)$으로 보내어 정의한다. $(12{)}^2=e$이므로 위수-$2$ 관계가 존중되고, 따라서 이것은 준동형사상이며

이다. 따라서

이므로 수열은 분할된다.

그러므로

하지만

이다. 직접곱은 아벨군일 것이지만 $S_3$은 그렇지 않다. 분할은 보완(complement)을 주지만, 그 보완이 정규부분군과 가환임을 보장하지는 않는다.

이는 앞선 두 구성을 설명한다:

• 제12장: $E(2)\cong {\mathbb{R}}^2⋊O(2)$인데, 이는 원점을 고정하는 직교 부분군이 몫 사상의 단면을 주기 때문이다.
• 이면체군은 $$1\to C_n\to D_n\to C_2\to 1$$ 을 만족하며, 반사 부분군이 분할을 제공하므로 $$D_n\cong C_n⋊C_2.$$ 이다.

제12장으로의 다리

제12장의 기하학적 예시들은 정확히 같은 현상이 다른 모습으로 나타난 것이다.

• 유클리드 군에 대해: $$1\to {\mathbb{R}}^2\to E(2)\to O(2)\to 1$$ 은 원점을 고정하는 직교 사상들이 $O(2)$과 동형인 부분군을 이루므로 분할된다.
• 이면체군에 대해: $$1\to C_n\to D_n\to C_2\to 1$$ 은 임의의 반사가 $C_2$과 동형인 부분군을 주므로 분할된다.

따라서 제12장은 기하학과 반직접곱을 제공했다. 제15장은 그러한 반직접곱이 나타나는 이유를 설명하는 완전열의 언어를 제공한다.

이는 확장 문제(extension problem)의 시작이다: $N$과 $Q$이 주어졌을 때, 어떤 군 $G$가 짧은 완전열

에 들어맞는가? 때로는 답이 직접곱이고, 때로는 반직접곱이며, 때로는 더 미묘한 무언가이다.

원자로서의 단순군

이제 단순군에 대한 표어를 더 정확하게 서술할 수 있다.

군 $G$이 자명하지 않은 진정한 정규부분군 $N$을 가지면, 자명하지 않은 짧은 완전열

이 존재한다. 따라서 단순군은 이런 방식으로 더 이상 분해될 수 없는 군이다.

그것이 랭이 단순군을 유한 군론의 원자(atom)라고 부르는 이유이다. 그것들은 몫 과정이 즉시 자명한 것으로 붕괴하는 군이다:

• $1\to 1\to G\to G\to 1$이거나,
• $1\to G\to G\to 1\to 1$이다.

자명하지 않은 중간 완전열은 존재하지 않는다.

반복된 완전열로서의 합성열

만약

이 합성열이면, 각 인자

는 단순하다.

따라서 합성열은 군을 완전한 몫 단계들의 사슬로 나눈다. 이는 소인수분해에 대응하는 군론적 유비이지만, 인자들이 재조립되는 방식이 중요하다는 점이 다르다.

분류 계획

유한 단순군의 분류(Classification of Finite Simple Groups; 1955—2004년에 수만 페이지에 걸쳐 증명됨)는 모든 유한 단순군이 다음 중 하나임을 말한다:

1. 소수 위수의 순환군 ${\mathbb{Z}}_p$.
2. $n\ge 5$에 대한 교대군 $A_n$.
3. 리 형(Lie type) 군(예를 들어 $\mathrm{PSL}(n,q)$과 관련 족들).
4. $26$개의 산재군(sporadic group) 중 하나.

이 강좌 수준에서는 분류 정리 자체를 사용하지 않는다. 하지만 그것은 철학적으로 중요하다: 제15장은 그러한 정리를 가능하게 하는 아이디어, 즉 정규부분군, 몫, 합성인자, 그리고 그 인자들의 순서를 무시한 유일성을 처음 만나는 곳이다.

진짜 경고: 인자가 군 전체를 결정하지 않는다

정수의 경우 소인수가 정수를 결정한다. 군의 경우 합성인자는 군을 유일하게 결정하지 않는다.

예를 들어, 동형이 아닌 두 군이 같은 합성인자를 가질 수 있다:

• ${\mathbb{Z}}_6$은 합성인자 ${\mathbb{Z}}_2$과 ${\mathbb{Z}}_3$을 갖는다.
• $S_3$도 합성인자 ${\mathbb{Z}}_3$과 ${\mathbb{Z}}_2$를 갖는다.

하지만

다른 것은 인자의 목록이 아니라 그것들이 붙어 있는 방식이다. 그 접착 데이터가 바로 완전열과 확장이 연구하려는 것이다.

숙달 체크리스트

제15장을 떠나기 전에, 다음을 할 수 있는지 확인하라:

• 적절한 준동형사상을 구성하여 FHT로 몫군을 식별하기
• 잉여류 $gN$의 위수를 $\min \{m>0:g^m\in N\}$으로 계산하기
• $G/Z(G)$ 정리를 증명하고 적용하기
• 주어진 위수의 아벨군이 단순한지 판정하기
• $A_5$이 단순하다는 증명의 개요 잡기(켤레류 논증)
• 주어진 군에 대해 교환자부분군을 계산하고 $G/G^{\prime }$가 아벨군임을 확인하기
• 제2 및 제3 동형 정리를 서술하고 증명하기
• 수열이 완전하다는 것이 무엇을 의미하는지 서술하고 짧은 완전열 $1\to N\to G\to G/N\to 1$을 설명하기
• ${\mathbb{Z}}_n$, $S_3$, $S_4$에 대한 합성열 찾기
• 가해군을 정의하고 $S_n$이 $n\ge 5$에 대해 왜 가해하지 않은지 설명하기
• 분할 완전열이 어떻게 반직접곱으로 이어지는지, 그리고 합성인자가 왜 군 전체를 결정하지 않는지 설명하기
• 단순군에 대한 랭의 “군론의 원자” 유비를 명료하게 표현하기