제15장 - 인자군 계산과 단순군

이 장은 서로 맞물리는 두 가지 주제를 다룬다. 첫째는 계산적 주제이다. 적절한 전사 준동형사상을 찾아 인자군(factor group) $G/N$를 실제로 어떻게 식별하는가? 둘째는 구조적 주제이다. 어떤 군이 자명하지 않은 정규부분군에 의한 붕괴를 허용하지 않으며, 왜 그것이 중요한가? 그 답은 단순군, 합성열(composition series), 그리고 조르당-횔더 정리(Jordan-Holder theorem) — 소인수분해의 유일성에 대응하는 군론적 유비 — 로 이어진다.

§15.1 계산 도구로서의 기본 준동형 정리

기본 준동형 정리(Fundamental Homomorphism Theorem, FHT; 제1 동형 정리라고도 한다)는 제14장에서 서술되었다. 여기서는 이를 인자군을 계산하는 전략으로 사용한다.

정리 15.1 (기본 준동형 정리). $\phi: G \to H$가 $\ker(\phi) = N$인 전사 준동형사상이라 하자. 그러면

더 정확히 말하면, $\mu(gN) = \phi(g)$로 정의되는 사상 $\mu: G/N \to H$는 잘 정의된 동형사상이다.

증명

이는 제14장에서 증명되었다. 참고를 위해 핵심 단계를 다시 정리한다.

잘 정의됨: $gN = g'N$이면 어떤 $n \in N = \ker(\phi)$에 대해 $g' = gn$이므로 $\phi(g') = \phi(gn) = \phi(g)\phi(n) = \phi(g)e = \phi(g)$이다.

준동형사상: $\mu(gN \cdot g'N) = \mu(gg'N) = \phi(gg') = \phi(g)\phi(g') = \mu(gN)\mu(g'N)$.

단사: $\mu(gN) = e_H$이면 $\phi(g) = e_H$이므로 $g \in \ker(\phi) = N$이고, 따라서 $gN = N$이다.

전사: $\phi$가 전사이므로 모든 $h \in H$에 대해 $\phi(g) = h$을 만족하는 $g \in G$이 존재하고, 따라서 $\mu(gN) = h$이다.

전략. $G/N$을 식별하려면:

1. 답이라고 의심되는 군 $H$를 찾는다.
2. 전사 준동형사상 $\phi: G \to H$를 구성한다.
3. $\ker(\phi) = N$임을 확인한다.
4. FHT에 의해 $G/N \cong H$이라고 결론짓는다.

이는 거의 항상 모든 잉여류를 나열하고 곱셈표를 처음부터 만드는 것보다 빠르다.

§15.2 인자군 계산 예제

예제 15.2: $(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6)/\langle(\bar{2}, \bar{3})\rangle$

1단계: 붕괴되는 부분군을 계산한다.

$G = \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$ 안에서 $N = \langle(\bar{2}, \bar{3})\rangle$이라 하자. 계산하면:

따라서 $|(\bar{2}, \bar{3})| = 2$이고 $N = \{(\bar{0}, \bar{0}),\, (\bar{2}, \bar{3})\}$이므로 $|N| = 2$이다.

2단계: 몫의 위수를 결정한다.

3단계: 적절한 준동형사상을 찾는다(또는 구조로 분류한다).

$G = \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$가 아벨군이므로 $G/N$도 아벨군이다. 유한생성 아벨군의 기본정리에 의해, 위수 $12$인 아벨군은 $\mathbb{Z}_{12}$ 또는 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6$ 중 하나와 동형이다.

이 둘을 구별하기 위해 $G/N$에서 위수 $12$인 원소를 찾는다. 잉여류 $(\bar{1}, \bar{0}) + N$을 생각하자. $m(\bar{1}, \bar{0}) \in N$을 만족하는 가장 작은 $m > 0$가 필요하다. 이제 $m(\bar{1}, \bar{0}) = (\bar{m}, \bar{0})$이다. 이것이 $N = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{2}, \bar{3})\}$에 속하려면:

• $(\bar{m}, \bar{0}) = (\bar{0}, \bar{0})$는 $4 \mid m$을 요구하므로 최소한 $m = 4$이다.
• $(\bar{m}, \bar{0}) = (\bar{2}, \bar{3})$는 $\mathbb{Z}_6$에서 $\bar{0} = \bar{3}$을 요구하는데, 이는 불가능하다.

따라서 $(\bar{1}, \bar{0}) + N$는 $G/N$에서 위수 $4$을 갖는다.

이제 $(\bar{0}, \bar{1}) + N$를 생각하자. $m(\bar{0}, \bar{1}) = (\bar{0}, \bar{m}) \in N$이 필요하다:

• $(\bar{0}, \bar{m}) = (\bar{0}, \bar{0})$은 $6 \mid m$을 요구하므로 최소한 $m = 6$이다.
• $(\bar{0}, \bar{m}) = (\bar{2}, \bar{3})$은 $\mathbb{Z}_4$에서 $\bar{0} = \bar{2}$을 요구하는데, 이는 불가능하다.

따라서 $(\bar{0}, \bar{1}) + N$은 위수 $6$를 갖는다.

$\gcd(4, 6) = 2$이므로 원소 $(\bar{1}, \bar{0}) + N + (\bar{0}, \bar{1}) + N = (\bar{1}, \bar{1}) + N$은 위수 $\operatorname{lcm}(4, 6) = 12$을 갖는다. (확인하면: $m(\bar{1}, \bar{1}) = (\bar{m}, \bar{m}) \in N$이 $4 \mid m$과 $6 \mid m$을 모두 강제하거나, 또는 $\mathbb{Z}_4$에서 $\bar{m} = \bar{2}$이고 동시에 $\mathbb{Z}_6$에서 $\bar{m} = \bar{3}$이어야 하므로 $\operatorname{ord}((\bar{1}, \bar{1}) + N) = 12$이다. 두 번째 경우는 $m \equiv 2 \pmod{4}$과 $m \equiv 3 \pmod{6}$을 요구한다. CRT에 의해 이는 $m \equiv 9 \pmod{12}$을 주지만, 그러면 $m = 9$이 $(\bar{1}, \bar{3}) \neq (\bar{2}, \bar{3})$을 준다. 사실 $9 \bmod 4 = 1 \neq 2$이다. 따라서 첫 번째 경우만 적용된다: $\operatorname{lcm}(4,6) = 12$.)

그러므로 $G/N$은 위수 $12$인 원소를 가지므로

FHT를 통한 대안: $\mathbb{Z}_{12}$에서 $\phi(\bar{a}, \bar{b}) = \overline{3a + 2b}$으로 $\phi: \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_{12}$를 정의한다. 이것이 잘 정의된 전사 준동형사상임을 확인할 수 있다($\phi(\bar{1}, \bar{1}) = \bar{5}$이 $\mathbb{Z}_{12}$에서 위수 $12$를 가지므로 상은 $\mathbb{Z}_{12}$ 전체이다). 핵은 $12 \mid 3a + 2b$을 만족하는 $(\bar{a}, \bar{b})$으로 이루어진다(정수로 끌어올림). $\ker(\phi) = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{2}, \bar{3})\} = N$임을 확인할 수 있다.

예제 15.3: $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4)/\langle(\bar{1}, \bar{2})\rangle$

$G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 안에서 $N = \langle(\bar{1}, \bar{2})\rangle$이라 하자.

계산하면: $(\bar{1}, \bar{2})$, 그 다음 $2(\bar{1}, \bar{2}) = (\bar{0}, \bar{0})$이다. 따라서 $|N| = 2$이고 $N = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{2})\}$이다.

위수 $4$인 아벨군은 $\mathbb{Z}_4$ 또는 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$(클라인 4원군 $V_4$) 중 하나이다.

$G/N$가 위수 $4$인 원소를 갖는지 확인한다. 잉여류 $(\bar{0}, \bar{1}) + N$은 위수 $m$을 가지며, 여기서 $m$은 $m(\bar{0}, \bar{1}) = (\bar{0}, \bar{m}) \in N$을 만족하는 가장 작은 양의 정수이다:

• $(\bar{0}, \bar{m}) = (\bar{0}, \bar{0})$는 $4 \mid m$을 요구한다.
• $(\bar{0}, \bar{m}) = (\bar{1}, \bar{2})$는 $\mathbb{Z}_2$에서 $\bar{0} = \bar{1}$을 요구하는데, 불가능하다.

따라서 $\operatorname{ord}((\bar{0}, \bar{1}) + N) = 4$이고, 그러므로

예제 15.4: $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/\langle(1, 1)\rangle \cong \mathbb{Z}$

$G = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 안에서 $N = \langle(1,1)\rangle = \{(n, n) : n \in \mathbb{Z}\}$이라 하자.

FHT 사용: $\phi(a, b) = a - b$로 $\phi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$을 정의한다.

• 준동형사상: $\phi((a,b) + (c,d)) = \phi(a+c, b+d) = (a+c) - (b+d) = (a-b) + (c-d) = \phi(a,b) + \phi(c,d)$.
• 전사: 임의의 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $\phi(n, 0) = n$.
• 핵: $\phi(a, b) = 0 \iff a = b \iff (a, b) = (a, a) \in \langle(1,1)\rangle$.

따라서 $\ker(\phi) = N$이고, FHT에 의해:

이는 비가산 계수처럼 보이는 대상의 몫이 가장 단순한 무한순환군으로 판명되기 때문에 아름다운 예제이다.

예제 15.5: $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/\langle(2, 2)\rangle$

$\phi(a, b) = (a - b,\, \bar{b})$으로 $\phi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$를 정의하며, 여기서 $\bar{b}$은 $b \bmod 2$이다.

• 준동형사상: 통상적인 확인.
• 전사: $\phi(n, 0) = (n, \bar{0})$이고 $\phi(n, 1) = (n-1, \bar{1})$이므로 상은 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$ 전체이다.
• 핵: $\phi(a,b) = (0, \bar{0})$은 $a = b$과 $2 \mid b$을 요구하므로 어떤 $k$에 대해 $(a,b) = (2k, 2k)$이다. 따라서 $\ker(\phi) = \langle(2,2)\rangle$이다.

그러므로

예제 15.6: $\mathbb{R}^{*}/\{1, -1\} \cong \mathbb{R}_{>0}$

$G = \mathbb{R}^{*} = (\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot)$이고 $N = \{1, -1\}$라 하자.

$\phi(x) = |x|$으로 $\phi: \mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}_{>0}$를 정의한다.

• 준동형사상: $\phi(xy) = |xy| = |x||y| = \phi(x)\phi(y)$.
• 전사: 모든 양의 실수는 이미 $\mathbb{R}^{*}$에 속한다.
• 핵: $\phi(x) = 1 \iff |x| = 1 \iff x = \pm 1$.

따라서 $\ker(\phi) = \{1, -1\} = N$이고 FHT에 의해:

§15.3 $G/Z(G)$ 정리

정의 15.7. 군 $G$의 중심(center)은

$Z(G) \trianglelefteq G$

증명. $z \in Z(G)$이고 $g \in G$이라 하자. 그러면 $gzg^{-1} = zgg^{-1} = z \in Z(G)$이며, 여기서 $gz = zg$을 사용하였다. 따라서 $Z(G)$는 켤레변환에 대해 안정적이고, 그러므로 정규이다.

정리 15.8 ($G/Z(G)$ 정리). $G/Z(G)$가 순환군이면 $G$는 아벨군이다.

증명

$G/Z(G)$가 순환군이라 하고, 어떤 $g \in G$에 대해 $G/Z(G) = \langle gZ(G) \rangle$라 하자.

그러면 $G$의 모든 원소는 어떤 정수 $k$과 어떤 $z \in Z(G)$에 대해 $g^k z$으로 쓸 수 있다.

$a, b \in G$가 임의로 주어졌다고 하자. $z_1, z_2 \in Z(G)$로 $a = g^m z_1$과 $b = g^n z_2$을 쓴다. 그러면:

$$ab = g^m z_1 \cdot g^n z_2 = g^m g^n z_1 z_2 = g^{m+n} z_1 z_2$$

여기서 $z_1$가 모든 것($g^n$을 포함하여)과 가환이라는 사실을 사용하였다. 마찬가지로:

$$ba = g^n z_2 \cdot g^m z_1 = g^{n+m} z_2 z_1 = g^{m+n} z_1 z_2$$

$z_1, z_2$가 모든 것과 그리고 서로 가환임을 사용하였다.

그러므로 모든 $a, b \in G$에 대해 $ab = ba$이므로 $G$는 아벨군이다.

논리적 내용에 주목하라: $G/Z(G)$가 순환군이면 $G$는 아벨군이고, 이는 $Z(G) = G$을 의미하며, 이는 $G/Z(G)$가 자명함을 의미한다. 따라서 “$G/Z(G)$가 순환군이고 자명하지 않다”는 가정은 불가능하다. 이 정리는 사실상 위장된 귀류법이다.

따름정리 15.9. 소수 $p$에 대해 $|G| = p^2$이면 $G$는 아벨군이다.

증명

류방정식(class equation)과 $p$-군의 성질에 의해 $|Z(G)| > 1$이다. $|G| = p^2$이므로 $|Z(G)| \in \{p, p^2\}$이다.

$|Z(G)| = p^2$이면 $Z(G) = G$이고 $G$는 아벨군이다.

$|Z(G)| = p$이면 $|G/Z(G)| = p^2/p = p$인데, 이는 소수이다. 소수 위수인 군은 순환군이다. 따라서 $G/Z(G)$는 순환군이고, 정리 15.8에 의해 $G$는 아벨군이다. 하지만 그러면 $Z(G) = G$이 되어 $|Z(G)| = p$에 모순된다. 따라서 이 경우는 불가능하다.

어느 경우든 $G$는 아벨군이다.

이 따름정리는 위수 $p^2$인 군이 $\mathbb{Z}_{p^2}$ 또는 $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ 중 하나와 동형임을 보여준다. 위수 $p^2$인 비아벨군은 존재하지 않는다.

§15.4 단순군

정의 15.10. 군 $G$가 단순(simple)하다는 것은 $G \neq \{e\}$이고 $G$의 정규부분군이 $\{e\}$과 $G$ 자기 자신뿐일 때를 말한다.

아벨군의 경우

정리 15.11. 유한 아벨군이 단순할 필요충분조건은 그것이 소수 위수를 갖는 것이다(즉, $G \cong \mathbb{Z}_p$).

증명

($\Leftarrow$) $|G| = p$가 소수이면 라그랑주 정리에 의해 부분군은 $\{e\}$과 $G$뿐이다. $G$가 아벨군이므로 모든 부분군은 정규이다. 따라서 $G$는 단순하다.

($\Rightarrow$) $G$를 유한 아벨 단순군이라 하자. $G$에서 $a \neq e$를 택한다. $G$가 아벨군이므로 $\langle a \rangle \trianglelefteq G$이다. 단순성에 의해 $\langle a \rangle = G$이므로 $G$는 순환군이다. $|G| = n$가 합성수이면, 즉 $1 < k, m < n$인 $n = km$라 하면, $\langle a^k \rangle$는 진정한 자명하지 않은 부분군이고(위수 $m$을 가짐) 이는 단순성에 모순된다. 따라서 $|G|$은 소수이다.

예시

• $\mathbb{Z}_p$은 모든 소수 $p$에 대해 단순하다.
• $\mathbb{Z}_6$은 단순하지 않다: $\{0, 2, 4\} \cong \mathbb{Z}_3$는 진정한 자명하지 않은 정규부분군이다.
• $A_n$은 $n \geq 5$에 대해 단순하다(이는 중요한 정리이며 아래에서 논의한다).
• $A_4$은 단순하지 않다: 클라인 4원군 $V_4 = \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$은 진정한 자명하지 않은 정규부분군이다.

단순군이 중요한 이유: 군론의 원자

단순군은 정수에 대해 소수가 하는 역할을 군에 대해 한다. 모든 유한군은 합성열을 통해 단순군으로 “분해”될 수 있으며(§15.7 참조), 조르당-횔더 정리는 이 분해가 본질적으로 유일함을 보장한다. 따라서 모든 유한군을 이해하는 것은 다음으로 귀착된다:

1. 모든 유한 단순군을 분류한다(1980년대—2004년에 완료).
2. 단순군이 어떻게 조립될 수 있는지 이해한다(확장 문제).

§15.5 $A_5$의 단순성

정리 15.12. $A_5$은 단순하다.

증명 개요

$N \neq \{e\}$인 임의의 정규부분군 $N \trianglelefteq A_5$이 반드시 $A_5$ 전체임을 보인다.

핵심 사실:

• $|A_5| = 60$.
• $A_5$의 켤레류(conjugacy class)는 다음 크기를 갖는다: $1, 12, 12, 15, 20$(순환마디형 $e$, $(abcde)$, $(abced)$, $(ab)(cd)$, $(abc)$에 대응).
• 정규부분군은 켤레류의 합집합이어야 하며(켤레변환에 닫혀 있으므로) $e$을 포함해야 한다.
• $N$의 위수는 $60$를 나누어야 한다.

소거: $\{e\}$을 포함하고 전체 크기가 $60$을 나누는 켤레류의 합집합이 필요하다. 가능한 경우는:

$$1, \quad 1+12=13, \quad 1+12=13, \quad 1+15=16, \quad 1+20=21,$$ $$1+12+12=25, \quad 1+12+15=28, \quad 1+12+20=33,$$ $$1+15+20=36, \quad 1+12+12+15=40, \quad 1+12+12+20=45,$$ $$1+12+15+20=48, \quad 1+12+12+15+20=60.$$

이 중에서 $60$을 나누는 것은 $1$과 $60$뿐이다.

그러므로 $N = \{e\}$이거나 $N = A_5$이므로 $A_5$은 단순하다.

비고. $n \geq 5$에 대해 $A_n$은 단순하다. 일반적인 $n$에 대한 증명은 $A_n$이 $3$-순환마디들로 생성되며, $3$-순환마디를 포함하는 임의의 정규부분군은 (켤레변환에 의해) 모든 $3$-순환마디를 포함해야 하므로 반드시 $A_n$ 전체여야 한다는 사실을 사용한다.

§15.6 중심과 교환자부분군

중심의 재검토

정의 15.13. $G$의 중심은 $Z(G) = \{z \in G : zg = gz \text{ for all } g \in G\}$이다.

§15.3에서 $Z(G) \trianglelefteq G$임을 증명하였다. $G$가 아벨군일 필요충분조건은 $Z(G) = G$임에 주목하라.

교환자부분군

정의 15.14. $a, b \in G$에 대해, $a$와 $b$의 교환자(commutator)는

$G$의 교환자부분군(commutator subgroup; 또는 도출부분군, derived subgroup)은

즉 모든 교환자에 의해 생성되는 부분군이다.

주의: 모든 교환자의 집합이 항상 부분군인 것은 아니다(두 교환자의 곱이 그 자체로 교환자일 필요는 없다). 따라서 생성된 부분군을 취해야 한다.

정리 15.15. $G' \trianglelefteq G$.

증명

$G'$가 교환자들로 생성되므로, 모든 $g, a, b \in G$에 대해 $g[a,b]g^{-1}$이 교환자임을 보이면 충분하다.

계산하면:

$$g[a,b]g^{-1} = g(aba^{-1}b^{-1})g^{-1} = (gag^{-1})(gbg^{-1})(ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})$$ $$= (gag^{-1})(gbg^{-1})(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1} = [gag^{-1},\, gbg^{-1}].$$

따라서 교환자를 켤레변환하면 또 다른 교환자가 되고, 이는 $G'$에 속한다. $G'$가 교환자들로 생성되고 켤레변환이 생성원들을 $G'$의 원소로 보내므로, 모든 $g$에 대해 $gG'g^{-1} \subseteq G'$이라고 결론짓는다. 따라서 $G' \trianglelefteq G$이다.

정리 15.16. $G/G'$는 아벨군이다.

증명

$aG', bG' \in G/G'$이라 하자. $(aG')(bG') = (bG')(aG')$, 즉 $abG' = baG'$이 필요하다.

두 잉여류가 같을 필요충분조건은 그 몫이 부분군에 속하는 것이므로,

$$(ab)(ba)^{-1} \in G'.$$

임을 보이면 충분하다. 그런데

$$(ab)(ba)^{-1} = aba^{-1}b^{-1} = [a,b],$$

이고, 교환자부분군의 정의에 의해 $[a,b] \in G'$이다.

그러므로 $abG' = baG'$이고, 따라서 모든 $a, b \in G$에 대해

$$(aG')(bG') = (bG')(aG')$$

이다. 따라서 $G/G'$는 아벨군이다.

정리 15.17. $G'$는 아벨 몫을 갖는 $G$의 가장 작은 정규부분군이다. 즉, $N \trianglelefteq G$이고 $G/N$가 아벨군이면 $G' \subseteq N$이다.

증명

$N \trianglelefteq G$이고 $G/N$가 아벨군이라 하자. 그러면 모든 $a, b \in G$에 대해:

$$(aN)(bN) = (bN)(aN),$$

이므로 $abN = baN$이고, 따라서 $(ab)(ba)^{-1} \in N$, 즉 $aba^{-1}b^{-1} \in N$, 즉 $[a,b] \in N$이다.

모든 교환자가 $N$에 속하고 $G'$가 교환자들로 생성되므로 $G' \subseteq N$이다.

예시. $S_3$에 대해: 교환자에는 $[(12),(123)] = (12)(123)(12)^{-1}(123)^{-1} = (12)(123)(12)(132) = (132)$가 포함된다. $S_3' = A_3 = \{e, (123), (132)\}$임을 확인할 수 있고, $S_3/S_3' \cong \mathbb{Z}_2$이며 이는 아벨군이다. 아벨군 $G$에 대해서는 $G' = \{e\}$이다.

풀이 예제 15.17a: $D_8$의 아벨화

를 정사각형의 대칭군이라 하자.

교환자부분군 $D_8'$과 아벨 몫 $D_8/D_8'$을 계산하고자 한다.

교환자로 시작한다:

$s^{-1}=s$이고 $srs=r^{-1}$이므로

을 얻는다. 따라서

이제 모든 교환자가 사라지도록 강제되는 몫을 살펴본다. 아벨화에서 관계

는

가 되므로 몫에서

이다. 이미 $s^2=e$을 가지고 있다. 그러므로 몫은 둘 다 위수 $2$인 $r$과 $s$의 상으로 생성되며 아벨군이다. 따라서

$|D_8|=8$이므로 몫은 위수 $4$를 가지고, 따라서 $|D_8'|=2$이다. 그런데 $D_8'$은 이미 자명하지 않은 원소 $r^2$를 포함하므로

그러므로

생산적 분투: 아벨화는 중심에 의한 몫과 같지 않다

흔한 잘못된 추측

군을 아벨군으로 만들려면 중심에 의한 몫을 취한다.

어디서 무너지는가. 중심은 이미 모든 것과 가환인 원소를 측정한다. 그것은 군에서의 모든 비가환성을 측정하지 않는다. $S_3$에 대해 중심은 자명하다:

$$Z(S_3)=\{e\}.$$

따라서

$$S_3/Z(S_3)\cong S_3,$$

이고, 이는 여전히 비아벨군이다.

수정된 방법. 몫을 취해야 할 올바른 부분군은 교환자부분군 $G'$이다. 정리는 $G/G'$가 아벨군이며 그러한 가장 작은 몫임을 말한다. 따라서 중심과 도출부분군은 서로 다른 질문에 답한다:

• $Z(G)$은 어떤 원소가 이미 모든 것과 가환인지 묻고;
• $G'$는 몫 전체가 가환이 되도록 강제하려면 무엇을 죽여야 하는지 묻는다.

§15.7 제2 및 제3 동형 정리

정리 15.18 (제2 동형 정리). $H \leq G$이고 $N \trianglelefteq G$라 하자. 그러면 $HN \leq G$, $N \trianglelefteq HN$, $H \cap N \trianglelefteq H$이고

증명

$HN$가 부분군임: $N$가 정규이므로 임의의 $h \in H$와 $n \in N$에 대해 어떤 $n' \in N$에 대해 $hn = (hnh^{-1})h = n'h$이다. 따라서 $HN = NH$이고, $HN$의 두 원소의 곱은:

$$(h_1 n_1)(h_2 n_2) = h_1 (n_1 h_2) n_2 = h_1 (h_2 n_1') n_2 = (h_1 h_2)(n_1' n_2) \in HN.$$

역원에 대한 닫힘도 비슷하다. 따라서 $HN \leq G$이다.

$N \trianglelefteq HN$: $N$는 $G$에서 정규이므로 $HN \leq G$에서도 당연히 정규이다.

사상 정의: $\phi(h) = hN$로 $\phi: H \to HN/N$을 정의한다.

• 준동형사상: $\phi(h_1 h_2) = h_1 h_2 N = (h_1 N)(h_2 N) = \phi(h_1)\phi(h_2)$.
• 전사: $HN/N$의 모든 원소는 $hnN = hN$ 형태이고($n \in N$이므로), 이는 $\phi(h)$이다.
• 핵: $\phi(h) = N \iff hN = N \iff h \in N$. $h \in H$이므로 $h \in H \cap N$를 얻는다. 따라서 $\ker(\phi) = H \cap N$이다.

특히 $H \cap N \trianglelefteq H$이다($H$로부터의 준동형사상의 핵으로서). FHT에 의해:

$$H/(H \cap N) \cong HN/N.$$

예시. $G = \mathbb{Z}_{12}$, $H = \langle\bar{4}\rangle = \{\bar{0}, \bar{4}, \bar{8}\}$, $N = \langle\bar{6}\rangle = \{\bar{0}, \bar{6}\}$이라 하자.

그러면 $HN = \{\bar{0}, \bar{4}, \bar{8}, \bar{6}, \bar{10}, \bar{2}\} = \langle\bar{2}\rangle$이고, 이는 위수 $6$을 갖는다. 그리고 $H \cap N = \{\bar{0}\}$이다($\bar{4}, \bar{8} \notin \{\bar{0}, \bar{6}\}$이므로). 제2 동형 정리는 다음을 준다:

실제로 $|HN/N| = 6/2 = 3$이고, 일관된다.

정리 15.19 (제3 동형 정리). $N \trianglelefteq G$와 $M \trianglelefteq G$가 모두 성립하는 $N \subseteq M$이라 하자. 그러면 $M/N \trianglelefteq G/N$이고

증명

$\phi(gN) = gM$로 $\phi: G/N \to G/M$을 정의한다.

• 잘 정의됨: $gN = g'N$이면 $g^{-1}g' \in N \subseteq M$이므로 $gM = g'M$이다.
• 준동형사상: $\phi(gN \cdot g'N) = \phi(gg'N) = gg'M = (gM)(g'M) = \phi(gN)\phi(g'N)$.
• 전사: 임의의 $gM \in G/M$에 대해 $\phi(gN) = gM$이다.
• 핵: $\phi(gN) = M \iff gM = M \iff g \in M \iff gN \in M/N$. 따라서 $\ker(\phi) = M/N$이다.

특히 $M/N \trianglelefteq G/N$이다. FHT에 의해:

$$(G/N)\big/(M/N) \cong G/M.$$

예시. $G = \mathbb{Z}$, $N = 12\mathbb{Z}$, $M = 4\mathbb{Z}$라 하자. 그러면 $N \subseteq M$이고, 둘 다 $\mathbb{Z}$에서 정규이다. 정리는 다음을 말한다:

좌변은 $\mathbb{Z}_{12}/\langle\bar{4}\rangle$이며 이는 위수 $12/3 = 4$인 군이고, 우변은 $\mathbb{Z}_4$이다. 실제로 제14장에서 계산했듯이 $\mathbb{Z}_{12}/\langle\bar{4}\rangle \cong \mathbb{Z}_4$이다.

§15.8 합성열과 조르당-횔더 정리

정의 15.20. 군 $G$의 합성열(composition series)은 부분군의 사슬

로서, 각 합성인자(composition factor) $G_{i+1}/G_i$가 단순군인 것이다. (각 $G_i$는 $G_{i+1}$에서 정규이지만 $G$에서는 반드시 그렇지 않다.)

예시: $\mathbb{Z}_{12}$의 합성열

합성인자는:

• $\langle\bar{6}\rangle / \{0\} \cong \mathbb{Z}_2$
• $\langle\bar{2}\rangle / \langle\bar{6}\rangle \cong \mathbb{Z}_3$ (위수 $6/2 = 3$)
• $\mathbb{Z}_{12} / \langle\bar{2}\rangle \cong \mathbb{Z}_2$ (위수 $12/6 = 2$)

모든 인자는 소수 위수의 순환군이므로 단순하다. 합성인자는(중복도를 포함하여) $\{\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_2\}$이다.

다른 합성열은 인자가 $\mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2$인 $\{0\} \trianglelefteq \langle\bar{4}\rangle \trianglelefteq \langle\bar{2}\rangle \trianglelefteq \mathbb{Z}_{12}$이다 — 같은 중복집합을 재배열한 것이다.

예시: $S_3$의 합성열

인자: $A_3/\{e\} \cong \mathbb{Z}_3$과 $S_3/A_3 \cong \mathbb{Z}_2$. 둘 다 단순하다. 합성인자: $\{\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3\}$.

예시: $S_4$의 합성열

여기서 $V_4 = \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$이다.

이 사슬은 아직 합성열이 아니다. 왜냐하면

은 단순하지 않기 때문이다: 그것은 진정한 자명하지 않은 부분군을 갖는다. 따라서 $V_4$ 안에 위수 $2$인 부분군 하나를 삽입하여 사슬을 세분한다.

$S_4$의 적절한 합성열은:

인자:

• $\langle(12)(34)\rangle / \{e\} \cong \mathbb{Z}_2$ (단순)
• $V_4 / \langle(12)(34)\rangle \cong \mathbb{Z}_2$ (단순)
• $A_4 / V_4 \cong \mathbb{Z}_3$ (단순, $|A_4/V_4| = 12/4 = 3$이므로)
• $S_4 / A_4 \cong \mathbb{Z}_2$ (단순)

합성인자: $\{\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_2\}$.

조르당-횔더 정리

정리 15.21 (조르당-횔더). 유한군 $G$이 합성열을 가지면, $G$의 임의의 두 합성열은 같은 길이와 같은 합성인자를 갖는다(치환과 동형사상을 허용하여).

이 정리는 증명 없이 서술한다. 이는 정수에 대한 소인수분해의 유일성에 대응하는 군론적 유비이다. 모든 양의 정수가 (순서를 무시하면) 소수로 유일하게 분해되듯이, 모든 유한군은 (순서를 무시하면) 단순 합성인자로 유일하게 분해된다.

풀이 비교: $\mathbb{Z}_6$와 $S_3$은 같은 인자를 갖지만 다른 군이다

이는 이 장에서 가장 중요한 점검 중 하나이다.

$\mathbb{Z}_6$에 대해, 합성열은

이고 인자는

$S_3$에 대해, 합성열은

이고 인자는

따라서 두 군은 같은 합성인자를 갖는다: