11장 - 직접곱과 유한생성 아벨군

이 장에서는 기존의 군들로부터 새로운 군을 만들어 내는 첫 번째 체계적 구성을 소개하며, 모든 유한생성 아벨군의 분류 정리에서 정점에 이른다. 이 정리는 대수학에서 가장 깔끔한 구조 정리 중 하나다.

§11.1 외부 직접곱

정의 11.1 (외부 직접곱)

$(G_1, \ast_1), (G_2, \ast_2), \ldots, (G_n, \ast_n)$을 군이라 하자. 외부 직접곱(external direct product) $G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n$은 모든 $n$-튜플로 이루어진 집합

에 성분별 연산(componentwise operation)

을 준 것이다.

정리 11.2. $G_1 \times \cdots \times G_n$은 군이다.

증명. 각 공리를 확인한다.

닫힘성. $G_i$가 군이므로 각 $g_i \ast_i h_i \in G_i$이고, 따라서 그 튜플은 곱 안에 놓인다.

결합법칙. 임의의 세 튜플 $(a_i), (b_i), (c_i)$에 대하여:

$$\bigl((a_i)(b_i)\bigr)(c_i) = (a_i b_i)(c_i) = ((a_i b_i)c_i) = (a_i(b_i c_i)) = (a_i)\bigl((b_i)(c_i)\bigr),$$

여기서 핵심 단계는 각 $G_i$에서의 결합법칙을 사용한다.

항등원. 튜플 $(e_1, e_2, \ldots, e_n)$이며, 여기서 $e_i$는 $G_i$의 항등원이다.

역원. $(g_1, \ldots, g_n)$의 역원은 $(g_1^{-1}, \ldots, g_n^{-1})$이다. $\blacksquare$

기호. $\prod_{i=1}^n G_i$ 또는 간단히 $G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n$으로 쓴다.

표준 사상

모든 직접곱에는 내장된 준동형사상이 함께 따라온다:

• 사영(projection) $\pi_j : \prod G_i \to G_j$는 $\pi_j(g_1, \ldots, g_n) = g_j$로 정의된다. 이들은 전사 준동형사상이다.
• 포함사상(inclusion) $\iota_j : G_j \to \prod G_i$는 $\iota_j(g) = (e_1, \ldots, g, \ldots, e_n)$로 정의되며, $g$는 $j$번째 자리에 놓인다. 이들은 단사 준동형사상이다.

직접곱의 보편성질

직접곱은 다음의 보편성질을 만족한다: 각 $i$에 대하여 준동형사상 $f_i : X \to G_i$를 갖는 임의의 군 $X$에 대하여, $\pi_i \circ \varphi = f_i$가 성립하는 유일한 준동형사상 $\varphi : X \to \prod G_i$가 존재한다. 구체적으로,

$$\varphi(x) = (f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)).$$

이로써 $\prod G_i$는 Grp에서의 범주론적 곱이 된다.

§11.2 직접곱에서 원소의 위수

정리 11.3 (위수 공식)

$g = (g_1, g_2, \ldots, g_n) \in G_1 \times \cdots \times G_n$이고 각 $g_i$가 $G_i$에서 유한 위수 $r_i$를 갖는다고 하자. 그러면

증명

연산이 성분별이므로 $g^t = (g_1^t, \ldots, g_n^t)$이다. 따라서 $g^t = (e_1, \ldots, e_n)$일 필요충분조건은 모든 $i$에 대하여 $g_i^t = e_i$인 것이고, 이는 모든 $i$에 대하여 $r_i \mid t$일 필요충분조건이다. 이러한 가장 작은 양의 $t$가 $\operatorname{lcm}(r_1, \ldots, r_n)$이다. $\blacksquare$

풀이가 있는 계산

예제 11.4. $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$에서:

$|\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6| = 24$이지만 위수가 $24$인 원소가 없으므로, 이 군은 순환군이 아니다.

간단 점검

$\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$에서 가능한 최대 위수는 $\operatorname{lcm}(m,n)$이다. 이 곱이 순환군일 필요충분조건은 이 값이 $mn$과 같은 것, 즉 $\gcd(m,n) = 1$인 것이다.

예제 11.5. $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5$에서:

$(\bar{1}, \bar{1})$은 위수 $\operatorname{lcm}(3, 5) = 15 = |\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5|$을 가지므로, 이 원소는 군 전체를 생성한다: $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_{15}$.

§11.3 $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$은 언제 순환군인가?

정리 11.6 (순환성 판정법)

이것이 성립할 때 $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{mn}$이다.

증명

$(\Rightarrow)$ 대우. $d = \gcd(m,n) > 1$이라 하자. 그러면 모든 $(a,b) \in \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$에 대하여:

$$\operatorname{ord}(\bar{a}, \bar{b}) = \operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(\bar{a}), \operatorname{ord}(\bar{b})) \;\Big|\; \operatorname{lcm}(m, n) = \frac{mn}{d} < mn.$$

따라서 위수가 $mn = |\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n|$인 원소가 없으며, 그 군은 순환군일 수 없다.

$(\Leftarrow)$ $\gcd(m,n) = 1$이면 $\operatorname{lcm}(m,n) = mn$이고,

$$\operatorname{ord}(\bar{1}, \bar{1}) = \operatorname{lcm}(m, n) = mn = |\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n|,$$

이므로 $(\bar{1}, \bar{1})$이 그 군을 생성한다. $\blacksquare$

따름정리 11.7 (순환군의 일반 곱)

증명

정리 11.6을 귀납적으로 적용한다. $m_i$들이 쌍마다 서로소이면

$$\operatorname{lcm}(m_1, \ldots, m_k) = m_1 \cdots m_k,$$

이므로 $(\bar{1}, \ldots, \bar{1})$이 곱을 생성한다.

역으로, 어떤 쌍에 대하여 $\gcd(m_i, m_j) > 1$이면, 정리 11.6과 동일한 최소공배수 논증에 의해 어떤 원소도 위수 $m_1 \cdots m_k$를 달성하지 못함을 보일 수 있다. $\blacksquare$

§11.3½ 중국인의 나머지 정리

따름정리 11.7은 순환군의 언어로 표현한 정확히 **중국인의 나머지 정리(Chinese Remainder Theorem, CRT)**이다. 그 중심적 중요성 때문에 이를 독립된 정리로 진술한다.

정리 11.7½ (중국인의 나머지 정리 — 군 형태)

$m_1, m_2, \ldots, m_k$를 쌍마다 서로소인 양의 정수라 하고 $n = m_1 m_2 \cdots m_k$라 하자. 그러면

특히, $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_s^{a_s}$가 소인수분해라면,

증명

이것은 따름정리 11.7이다. 소수 거듭제곱 인자들은 쌍마다 서로소이므로, 그 곱은 위수 $n$의 순환군이고 따라서 $\mathbb{Z}_n$과 동형이다. $\blacksquare$

정리 11.7¾ (중국인의 나머지 정리 — 환 형태)

$\gcd(m,n) = 1$이면,

가 (단지 군으로서가 아니라) **환(ring)**으로서 성립한다. 그 동형사상은 $\bar{a} \mapsto (\bar{a} \bmod m,\; \bar{a} \bmod n)$이다.

환 형태가 왜 중요한가

환 동형사상은 덧셈뿐 아니라 곱셈도 보존한다. 이는 다음을 의미한다:

• $(\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^\times \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$이며, 서로소인 $m,n$에 대하여 공식 $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$을 되찾는다.
• 동시 합동식 연립방정식은 각 인자에 대하여 독립적으로 법(modulo)을 따져 푼 다음, 다시 결합하여 풀 수 있다.

이는 환론(몫환, 아이디얼)을 공부할 때 다시 나타날 것이다.

풀이가 있는 예제: 합동식 연립방정식 풀기

문제. $x \equiv 2 \pmod{3}$, $x \equiv 3 \pmod{5}$를 풀어라.

풀이. CRT에 의해 $\mathbb{Z}_{15} \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5$이며 사상은 $\bar{a} \mapsto (\bar{a} \bmod 3, \bar{a} \bmod 5)$이다. $(\bar{2}, \bar{3})$의 원상이 필요하다.

$x = 2$를 시도하면 $(2, 2)$가 나온다. $x = 8$을 시도하면 $(2, 3)$이 나온다. 확인: $8 \equiv 2 \pmod 3$ ✓ 그리고 $8 \equiv 3 \pmod 5$ ✓.

따라서 $x \equiv 8 \pmod{15}$가 법 15에 대한 유일한 해다.

체계적 방법. $e_1 \equiv 1 \pmod 3$, $e_1 \equiv 0 \pmod 5$이고 $e_2 \equiv 0 \pmod 3$, $e_2 \equiv 1 \pmod 5$인 $e_1, e_2$를 찾는다. 그러면 $e_1 = 10$ ($10 = 2 \times 5$이고 $10 \equiv 1 \pmod 3$이므로)이고 $e_2 = 6$ ($6 = 2 \times 3$이고 $6 \equiv 1 \pmod 5$이므로)이다. 해는 $x \equiv 2 \cdot 10 + 3 \cdot 6 = 38 \equiv 8 \pmod{15}$이다.

표준 응용

CRT는 쌍마다 서로소임을 요구한다

$12 = 6 \times 2$임에도 $\mathbb{Z}_{12} \not\cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_2$이다. 반드시 쌍마다 서로소인 조각들로 분해해야 한다: $\mathbb{Z}_{12} \cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3$.

그림: 작은 직접곱 격자.

이 격자는 좌표별 법칙을 눈에 보이게 만든다: 한 번의 이동은 한 인자만 바꾸는 반면, 군의 전체 원소는 두 좌표를 한꺼번에 기록한다.

§11.4 유한생성 아벨군의 기본 정리

이것은 이 장의 핵심 구조 결과이며, 강의 전반부에서 가장 중요한 정리 중 하나다.

정리 11.8 (FTFGAG — 불변인자 형태)

모든 유한생성 아벨군 $G$는 다음 형태의 군과 동형이다

여기서 $r \geq 0$이고

정수 $r$(자유 계수(free rank) 또는 베티 수(Betti number))와 정수들 $n_1, \ldots, n_s$(불변인자(invariant factor))는 $G$에 의해 유일하게 결정된다.

정리 11.9 (FTFGAG — 기본 약수 형태)

동등하게, 모든 유한생성 아벨군 $G$는 다음과 동형이다

여기서 $p_i$들은 (반드시 서로 다를 필요는 없는) 소수이고 각 $a_i \geq 1$이다. 소수 거듭제곱 $p_1^{a_1}, \ldots, p_t^{a_t}$(기본 약수(elementary divisor))는 순서를 바꾸는 것을 제외하면 유일하게 결정된다.

이 정리는 Fraleigh에서 증명 없이 진술된다

완전한 증명은 PID 위의 가군 이론(Lang의 3장에서 전개됨)을 필요로 한다. 이 수준에서는 이를 받아들이고 그것을 사용하는 데 집중한다.

두 형태는 서로를 결정한다

불변인자와 기본 약수는 동일한 정보를 두 가지 다른 방식으로 부호화한다. 이 둘 사이를 변환할 수 있는 것이 필수적이다.

풀이가 있는 예제 11.9a (두 언어로 쓴 하나의 군)

유한 아벨군 $G$가 다음 기본 약수를 갖는다고 하자

그러면

불변인자로 변환하기 위해 소수별로 정리한다:

• $p=2$: $2,4,8$
• $p=3$: $3,3,9$

두 목록이 이미 같은 길이, 즉 $3$이므로 채워 넣기는 필요 없다. 열별로 곱한다:

따라서 불변인자는

이고

이제 검산을 위해 반대 방향으로 돌아가 본다:

소수 거듭제곱 조각들을 다시 모으면

가 나온다. 따라서 두 기술은 정말로 동일한 군을 부호화한다.

§11.5 기본 약수와 불변인자 사이의 변환

그림: 기본 약수를 불변인자로 묶기.

그림을 열별로 읽는다: 각 열은 그 열의 소수 거듭제곱 항목들을 곱하여 하나의 불변인자를 만들어 낸다.

알고리즘: 기본 약수 → 불변인자

입력: 소수 거듭제곱 기본 약수들의 목록.

절차:

1. 각 소수 $p$에 대하여, 모든 $p$-거듭제곱 기본 약수를 모으고 비감소(non-decreasing) 순서로 정렬한다.
2. $r$을 어느 한 소수에 대한 기본 약수의 최대 개수라 하자. 모든 목록을 길이 $r$로 만들기 위해 각 소수의 목록을 왼쪽에 $1$들로 채운다.
3. $j$번째 불변인자 $n_j$는 모든 소수에 걸친 $j$번째 항목들의 곱이다.

왜 작동하는가: 각 열은 각 소수의 거듭제곱을 최대 하나만 포함하므로, 각 열의 항목들은 쌍마다 서로소다. CRT(따름정리 11.7)에 의해 $\mathbb{Z}_{n_j}$는 열 $j$에 있는 순환군들의 곱과 동형이다. 왼쪽 채우기는 각 행 안에서 거듭제곱이 비감소이므로 $n_1 \mid n_2 \mid \cdots \mid n_r$을 보장한다.

알고리즘: 불변인자 → 기본 약수

입력: 각 $n_i > 1$인 불변인자 $n_1 \mid n_2 \mid \cdots \mid n_r$.

절차: CRT를 사용하여 각 $n_j$를 소수 거듭제곱으로 인수분해한다:

여기서 $v_p(n_j)$는 $n_j$의 $p$-진 부치(valuation)다. 그 결과로 나온 모든 소수 거듭제곱을 모은다($\mathbb{Z}_1$ 인자는 버린다). 이것들이 기본 약수다.

생산적 분투: 서두르면 변환 알고리즘이 어디서 무너지는가

흔한 잘못된 추측

소수 거듭제곱 인자들을 나열하고 나면, 어떤 순서로 결합하더라도 여전히 올바른 불변인자를 얻는다.

어디서 무너지는가. 나눗셈 사슬이 즉시 깨질 수 있다. 예를 들어 기본 약수

$$2,\;4,\;3.$$

을 택하자. 올바른 절차는 다음과 같다:

• $2$-부분 목록: $2,4$
• $3$-부분 목록: 왼쪽에 채워서 $1,3$

그러면 불변인자는

$$2,\;12.$$

이다. 대신 오른쪽에 채우면, 열 $2\cdot 3=6$과 $4\cdot 1=4$가 나와서

$$6,\;4,$$

를 만들어 내는데, 이는 $6 \nmid 4$이므로 불변인자 분해가 아니다.

고친 방법. 항상:

• 각 소수 목록을 비감소 순서로 정렬하고,
• 왼쪽에 $1$들로 채우고,
• 열별로 곱한다.

채우기의 핵심은 단지 보기 좋게 만드는 것이 아니다. 그것은 정확히 나눗셈 사슬을 보존하는 것이다.

§11.6 풀이가 있는 분류 예제

예제 11.10. 위수 $8 = 2^3$인 모든 아벨군을 분류하라.

$2^3$의 기본 약수 분할은 지수 $3$의 분할이다:

원소의 위수로 이들을 구별하기:

• $\mathbb{Z}_8$: 위수 $8$인 원소를 갖는다
• $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$: 최대 위수가 $\operatorname{lcm}(2,4) = 4$이며, 위수 $4$인 원소를 갖는다
• $\mathbb{Z}_2^3$: 항등원이 아닌 모든 원소가 위수 $2$를 갖는다

따라서 세 군은 쌍마다 동형이 아니다. $\square$

예제 11.11. 위수 $72 = 2^3 \cdot 3^2$인 모든 아벨군을 분류하라.

$2$-멱 부분($2^3$)에 대하여, $3$의 분할은 다음을 준다: $\{8\}$, $\{4, 2\}$, $\{2, 2, 2\}$.

$3$-멱 부분($3^2$)에 대하여, $2$의 분할은 다음을 준다: $\{9\}$, $\{3, 3\}$.

각 조합은 하나의 동형류를 준다: 총 $3 \times 2 = 6$개의 군.

$\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$에 대한 상세한 불변인자 계산

기본 약수: $4, 2, 3, 3$.

소수별로 묶기:

• $p = 2$: $\{2, 4\}$ (비감소 정렬)
• $p = 3$: $\{3, 3\}$

두 목록 모두 길이 $2$(최대)이므로 $r = 2$이다. 채우기는 필요 없다.

소수	열 1	열 2
$p = 2$	$2$	$4$
$p = 3$	$3$	$3$
곱	$n_1 = 6$	$n_2 = 12$

확인: $6 \mid 12$ ✓ 그리고 $6 \times 12 = 72$ ✓.

따라서 $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_{12}$이다.

예제 11.12. 과제 문제: $\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{20}$.

이것은 정확히 과제 1의 문제 3에서의 계산이다. 모범으로서 여기에 포함한다.

1단계. 소인수분해: $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $20 = 2^2 \cdot 5$.

2단계. 각 인자에 CRT 적용:

3단계. 소수별로 기본 약수를 모은다:

• $p = 2$: $2, 4, 4$
• $p = 3$: $3, 3$
• $p = 5$: $5$

4단계. 불변인자 표를 작성한다(최대 목록 길이 $r = 3$, 왼쪽에 $1$들로 채움):

불변인자: $m_1 = 2$, $m_2 = 12$, $m_3 = 60$.

검증: $2 \mid 12 \mid 60$이고, $2 \times 12 \times 60 = 1440 = 6 \times 12 \times 20$.

§11.7 군의 지수

정의 11.13

유한군 $G$의 **지수(exponent)**는 모든 $g \in G$에 대하여 $g^m = e$가 성립하는 가장 작은 양의 정수 $m$이다. 동등하게, $\exp(G) = \operatorname{lcm}\{\operatorname{ord}(g) : g \in G\}$이다.

불변인자와의 연결

$n_1 \mid \cdots \mid n_s$인 유한 아벨군 $G \cong \mathbb{Z}_{n_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_s}$에 대하여, 지수는 가장 큰 불변인자 $n_s$이다.

증명. 임의의 원소의 최대 위수는 $\operatorname{lcm}(n_1, \ldots, n_s) = n_s$이다(모든 $i$에 대하여 $n_i \mid n_s$이므로 최소공배수가 $n_s$로 줄어든다). 그리고 이 최댓값은 원소 $(\bar{0}, \ldots, \bar{0}, \bar{1})$에 의해 달성된다. $\blacksquare$

예제 11.14. $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{60}$의 지수는 $60$이다. $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$의 지수는 $2$이다.

§11.8 내부 직접곱

군 $G$가 외부 직접곱의 인자처럼 “행동하는” 부분군 $H$와 $K$를 포함할 때, $G$를 **내부 직접곱(internal direct product)**이라 한다.

정의 11.15

군 $G$가 부분군 $H$와 $K$의 내부 직접곱이라는 것은 다음을 만족하는 것이다:

1. $G$의 모든 원소를 어떤 $h \in H$, $k \in K$에 대하여 $hk$로 쓸 수 있다.
2. 모든 $h \in H$, $k \in K$에 대하여 $hk = kh$이다.
3. $H \cap K = \{e\}$이다.

정리 11.16. $G$가 $H$와 $K$의 내부 직접곱이면, $G \cong H \times K$이다.

증명 (사상 $\varphi(h,k) = hk$)

$\varphi : H \times K \to G$를 $\varphi(h, k) = hk$로 정의한다.

준동형사상. $(h_1, k_1), (h_2, k_2) \in H \times K$에 대하여:

$$\varphi(h_1 h_2, k_1 k_2) = h_1 h_2 k_1 k_2.$$ $$\varphi(h_1, k_1)\varphi(h_2, k_2) = h_1 k_1 h_2 k_2 = h_1 (k_1 h_2) k_2 \overset{(2)}{=} h_1 (h_2 k_1) k_2 = h_1 h_2 k_1 k_2.$$

전사. 조건 (1)에 의해.

단사. $hk = e$이면, (3)에 의해 $h = k^{-1} \in H \cap K = \{e\}$이므로 $h = k = e$이다.

따라서 $\varphi$는 동형사상이다. $\blacksquare$

이것은 정확히 과제 1의 문제 4이다. 과제의 조건 (a)–(c)는 정확히 내부 직접곱의 정의다.

다른 증명: $hk$ 표현의 유일성

$G$에서 $H \times K$로 작업할 수도 있다. $h_1 k_1 = h_2 k_2$이면, $h_2^{-1}h_1 = k_2 k_1^{-1}$이다. 좌변은 $H$에 놓이고 우변은 $K$에 놓이므로, 둘 다 $H \cap K = \{e\}$에 놓인다. 따라서 $h_1 = h_2$이고 $k_1 = k_2$이다: 모든 원소는 유일한 인수분해 $g = hk$를 갖는다.

$\psi : G \to H \times K$를 $g = hk$일 때 $\psi(g) = (h, k)$로 정의한다. 이는 유일성에 의해 잘 정의되고, 명백히 $\varphi$의 역이며, 조건 (2)가 이를 준동형사상으로 만든다.

비고 11.17 (정규성과의 연결)

일반적인 (아벨군이 아닐 수도 있는) 군에서, 내부 직접곱의 표준 정의는 조건 (2)를 $H$와 $K$가 모두 $G$에서 **정규(normal)**라는 요구조건으로 대체한다. 아벨군에서는 모든 부분군이 정규이므로, 두 정의가 일치한다. 일반 형태는 반직접곱 이론에서 다시 나타날 것이다.

§11.9 동형인 분해 알아보기

흔한 연습 유형: 서로 다르게 보이는 두 순환군의 곱이 주어졌을 때, 그들이 동형인지 판별하라.

전략. 둘 다 기본 약수 형태로 환원한다(각 $\mathbb{Z}_n$을 CRT를 사용하여 소수 거듭제곱 조각으로 인수분해). 소수 거듭제곱 인자들의 중복집합(multiset)이 일치하면, 두 군은 동형이다.

예제 11.18.

$\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6 \cong \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_2$인가?

분해:

같은 기본 약수: $\{4, 3, 2\}$. 그렇다, 동형이다. $\square$

예제 11.19.

$\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_8$인가?

분해: 좌변은 기본 약수 $\{4, 4\}$를 갖는다. 우변은 $\{2, 8\}$을 갖는다. 동형이 아니다.

다른 간단한 논증: 좌변에는 위수 $8$인 원소가 없는 반면(최대 위수 $= \operatorname{lcm}(4,4) = 4$), 우변에는 있다. $\square$

예제 11.20.

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_{30}$인가?

$\gcd(2,3) = \gcd(2,5) = \gcd(3,5) = 1$이므로, CRT는 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_{30}$을 준다. 그렇다. $\square$

§11.10 주어진 위수의 아벨군 세기와 구별하기

정리 11.21

위수 $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$인 동형이 아닌 아벨군의 개수는

이며, 여기서 $P(a_i)$는 $a_i$의 분할의 개수다.

왜 분할인가?

FTFGAG에 의해, 위수 $n$인 유한 아벨군의 $p_i$-멱 성분은 $b_1 + \cdots + b_j = a_i$이고 각 $b_k \geq 1$인 곱 $\mathbb{Z}_{p_i^{b_1}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_i^{b_j}}$이다. $(b_1, \ldots, b_j)$에 대한 가능한 (순서 없는) 선택지는 정확히 $a_i$의 분할이다.

예제 11.22. 위수 $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$인 아벨군의 개수:

§11.11 구조적 관점 (Lang)

이 장에 대한 Lang의 서술은 Fraleigh보다 한 층 더 깊은 곳에서 시작한다. 핵심적 움직임은 다음과 같다:

유한생성 아벨군을 단지 군으로 생각하지 말라. 그것을 $\mathbb{Z}$ 위의 가군(module)으로 생각하라.

이 한 가지 관점의 변화가 왜 정수 행렬, 나눗셈 사슬, 소수 거듭제곱 분해가 그토록 자연스럽게 나타나는지를 설명한다.

아벨군은 정확히 $\mathbb{Z}$-가군이다

정의 11.23 ($\mathbb{Z}$-가군 관점). $A$가 덧셈으로 쓰인 아벨군이라면, 다음을 정의한다

그러면 $A$는 환 $\mathbb{Z}$ 위의 가군이 된다.

명제 11.24. 아벨군을 주는 것은 $\mathbb{Z}$-가군을 주는 것과 동등하다.

명제 11.24의 증명

$A$가 아벨군이면, 위의 스칼라 곱셈은 가군 공리를 만족한다:

$$(m+n)a = ma + na,\qquad m(a+b)=ma+mb,\qquad (mn)a = m(na),\qquad 1a=a.$$

이 항등식들은 단지 반복 덧셈 항등식이다.

역으로, $\mathbb{Z}$-가군은 정의상 덧셈에 대한 아벨군과 호환되는 정수 스칼라 곱셈을 합친 것이다. 따라서 새로운 대수적 대상이 도입된 것이 아니다; 우리는 단지 언어를 바꿨을 뿐이다. $\blacksquare$

이것이 왜 유한생성 아벨군이 선형대수와 같은 세계에 속하는지의 이유다. 그 환이 체가 아니므로 그 이론은 벡터공간보다 더 미묘하지만, 조직 원리는 동일하다: 생성원, 관계, 행렬, 표준형으로의 환원.

표시: 생성원과 관계가 정수 행렬이 된다

$G$가 생성원 $g_1,\dots,g_n$을 갖는 유한생성 아벨군이라 하자. 그러면 전사 준동형사상

이 존재하며, 여기서 $e_1,\dots,e_n$은 표준 기저 벡터다.

핵 $\ker(\pi)$는 생성원들 사이의 모든 정수 관계로 이루어진 부분군이다:

따라서

이것이 Lang의 정말로 중요한 첫 번째 움직임이다: 모든 유한생성 아벨군은 자유 가군 $\mathbb{Z}^n$의 몫이다.

$\ker(\pi)$가 관계 벡터 $r_1,\dots,r_m \in \mathbb{Z}^n$에 의해 생성된다면, 그 벡터들을 정수 행렬 $A$의 행으로 놓는다. 그러면

로 쓰며, 통상적인 행/열 관례에 따른다. 정확한 관례는 그 발상보다 덜 중요하다: 유한생성 아벨군은 정수 행렬로 부호화된다.

스미스 표준형은 분류 정리 뒤의 엔진이다

그림: 정수 행렬에서 분류된 아벨군에 이르는 길잡이로서의 스미스 표준형.

이 도식의 핵심은 행렬 환원이 분류와 별개가 아니라는 것이다; 그것은 불변인자를 만들어 내는 메커니즘이다.

정리 11.25 (스미스 표준형, 군론적 귀결). $A$를 정수 행렬이라 하자. 그러면 다음을 만족하는 가역 정수 행렬 $U$와 $V$가 존재한다

여기서

결과적으로,

왜 정리 11.25가 분류를 주는가

$A$에 대한 행 연산은 관계 가군에 대해 선택된 생성원을 바꾼다; 열 연산은 자유 가군 $\mathbb{Z}^n$에 대해 선택된 생성원을 바꾼다. 두 변화 모두 가역 정수 행렬로 이루어지므로, 그들은 여핵(cokernel)의 동형 유형을 바꾸지 않는다.

따라서 $A$를 그 스미스 표준형으로 대체할 수 있다. 그런데 대각 사상의 여핵은 읽기 쉽다:

• 각 대각 성분 $d_i$는 순환 비틀림 직합항 $\mathbb{Z}_{d_i}$를 기여한다;
• 각 영(zero) 대각 성분은 $\mathbb{Z}$의 자유 사본을 기여한다.

나눗셈 사슬 $d_1\mid \cdots \mid d_r$은 정확히 불변인자 조건이다. $\blacksquare$

이것이 정리 11.8의 진정한 기원이다. 불변인자는 어디선가 갑자기 끄집어낸 신비한 정수가 아니다; 그것은 표시 행렬의 스미스 표준형의 대각 성분이다.

왜 기본 약수와 불변인자가 같은 정리의 두 얼굴인가

대각형

에 도달하고 나면, 그것을 읽는 똑같이 자연스러운 두 가지 방식이 나타난다.

1. 대각 성분 $d_i$를 그대로 둔다. 이는 **불변인자 분해(invariant factor decomposition)**를 준다:

   $$\mathbb{Z}^{\,r}\oplus \mathbb{Z}_{d_1}\oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}_{d_s}, \qquad d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_s.$$

2. 각 $d_i$를 소수 거듭제곱으로 인수분해한 다음 CRT를 사용하여 그 소수 거듭제곱 부분들을 쪼갠다. 이는 **기본 약수 분해(elementary divisor decomposition)**를 준다.

따라서:

• 불변인자는 쓰인 그대로의 스미스 표준형에서 나온다;
• 기본 약수는 대각 성분의 추가적인 소수 거듭제곱 분해에서 나온다.

이것이 §11.5의 변환 알고리즘이 작동하는 이유다. 그것은 고립된 묘기가 아니다; 그것은 스미스 표준형 이후에 적용된 CRT다.

작은 스미스 표준형 스타일 예제

생성원 $x,y$와 관계

로 표시되는 아벨군을 생각하자. 그 관계 행렬은

이다. $A$를 $\mathbb{Z}$ 위에서 스미스 표준형으로 환원할 수 있다:

따라서 그 군은

이다.

이 예제가 중요한 이유: 그것은 관계 문제가 어떻게 순환군의 표준 곱으로 바뀌는지를 정확히 보여 준다. 분류 정리는 이 계산의 전역적 형태다.

풀이가 있는 예제 11.25a (스스로 읽히지 않는 표시 행렬)

아벨군

을 생각하자. 그 표시 행렬은

이다.

언뜻 보면, 서두르는 독자는 첫 행을 ”$\mathbb{Z}_4$ 관계 같은 것”으로, 둘째 행을 ”$\mathbb{Z}_8$ 관계 같은 것”으로 읽으려 할지도 모른다. 그것은 정확히 잘못된 직관인데, 두 관계 모두 같은 생성원을 포함하기 때문이다.

$A$를 스미스 표준형으로 환원한다:

각 움직임이 무엇을 하는지는 다음과 같다:

1. 더 작은 피벗 $2$가 먼저 나오도록 두 행을 맞바꾼다.
2. 행 $2$를 행 $2-2\cdot$행 $1$로 대체한다.
3. 열 $2$를 열 $2-4\cdot$열 $1$로 대체한다.
4. 둘째 행에 $-1$을 곱한다.

따라서 스미스 표준형은

이다. 그러므로

이다.

이 계산이 무엇을 드러내는지 주목하라. 원래의 표시는 위수 $10$의 인자를 눈에 띄게 광고하지 않았다. 그 인자는 생성원 가군과 관계 가군에서 기저를 바꾼 후에야 나타난다. 이것이 바로 스미스 표준형이 올바른 도구인 이유다.

생산적 분투: 왜 관계를 행 단위로 읽으면 실패하는가

흔한 잘못된 추측

표시 행렬에 두 행이 있다면, 각 행이 답의 한 순환 인자에 대응해야 한다.

어디서 무너지는가. 관계는 같은 생성원에 대한 제약이므로, 서로 상호작용한다. 위의 예제에서 어느 행도 그 자체로는 인자 $\mathbb{Z}_{10}$을 시사하지 않지만, 결합된 관계 체계는 그것을 시사한다.

고친 방법. 표시 행렬을 마치 각 관계가 고립되어 존재하는 것처럼 행 단위로 읽지 말라. 모든 관계를 함께 묶고, 정수 행 및 열 연산을 허용하고, 스미스 표준형이 독립적인 비틀림 방향들을 분리한 후에만 그 군을 읽으라.

Lang의 관점이 설명하는, Fraleigh가 암묵적으로 남겨 둔 것

• 왜 정수 행렬이 나타나는가: 유한생성 아벨군은 $\mathbb{Z}^n$의 몫이므로, 관계는 정수 선형 결합이다.
• 왜 나눗셈 사슬이 나타나는가: 그들은 스미스 표준형에 내장되어 있다.
• 왜 비틀림 없는 부분이 $\mathbb{Z}^r$인가: 영 대각 성분이 자유 좌표로 살아남는다.
• 왜 그 정리가 유일한가: 스미스 표준형은 단원(unit)을 제외하면 유일하며, $\mathbb{Z}$에서 이는 부호를 제외하면 유일함을 뜻한다.
• 왜 CRT가 두 번 들어오는가: 한 번은 서로소 위수의 순환군을 쪼개기 위해, 또 한 번은 불변인자와 기본 약수 사이를 오가기 위해.

이 강의 수준에서는 보통 완전한 가군 증명을 배경으로서 받아들인다. 그러나 이 기계 장치가 무대 뒤에 존재함을 아는 것은 그 정리가 기적적이라기보다는 응당 얻어진 것으로 느껴지게 만든다.

13장과 14장으로의 다리 — 곱, 자유 대상, 그리고 몫

이 장은 동시에 두 가지 구조적 방향을 가리킨다.

첫째, 직접곱에 관한 앞부분 절들은 Chapter 13 - Homomorphisms을 준비하며, 거기서 직접곱은 보편성질로 특징지어진다: 곱으로의 사상은 호환되는 좌표 사상과 같다.

둘째, 표시 행렬 절들은 Chapter 14 - Factor Groups를 준비하는데, 모든 유한생성 아벨군은 어떤 관계의 부분군 $R \le \mathbb{Z}^n$에 대하여

로 표시되기 때문이다.

따라서 구조적 경로는 다음과 같다:

• 자유 아벨군 $\mathbb{Z}^n$;
• 관계 부분군 $R$에 의한 몫;
• 표준 사영 $\mathbb{Z}^n \twoheadrightarrow \mathbb{Z}^n/R$;
• 관계를 스미스 표준형으로 만들어 분류.