제4장 - 군

군은 그 공리가 본격적인 증명 이론을 떠받칠 만큼 충분히 강한, 이 책에서 처음 등장하는 대수적 구조이다. 집합이 결합적 연산, 항등원, 역원을 갖추는 순간 방정식을 추상적으로 풀 수 있게 되고, 소거가 정당화되며, 동일한 증명 패턴이 이후의 거의 모든 장에서 거듭 나타난다. 이 개정판은 번호가 매겨진 정의와 정리, 완전한 증명, 충분히 풀어 쓴 예제, 그리고 풀이가 딸린 연습문제를 제공하며, 제11장 노트의 형식을 따른다.

§4.1 군의 정의

정의 4.1 (군)

군(group)이란 집합 $G$와 그 위의 이항연산 $\ast :G\times G\to G$를 함께 갖춘 것으로, 다음을 만족한다:

1. 결합법칙. 모든 $a,b,c\in G$에 대하여 $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.
2. 항등원. 모든 $a\in G$에 대하여 $e\ast a=a\ast e=a$를 만족하는 원소 $e\in G$가 존재한다.
3. 역원. 각 $a\in G$에 대하여 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$를 만족하는 $a^{-1}\in G$가 존재한다.

”$G$ 위의 이항연산”이라는 표현은 이미 닫힘성(closure)을 내포하고 있다. 즉 $a,b\in G$일 때 $a\ast b$의 결과는 반드시 $G$ 안에 있어야 한다. 바로 이 때문에 정의를 신중하게 세우는 것이 중요하다. 제안된 연산이 모든 쌍에 대해 정의되지 않거나 어떤 쌍을 집합 밖으로 보낸다면, 결합법칙을 확인하기도 전에 그 구조는 무너진다.

정의 4.2 (아벨군)

군 $(G,\ast )$가 모든 $a,b\in G$에 대해 $a\ast b=b\ast a$를 만족하면 아벨군(abelian) 또는 가환군(commutative)이라고 한다.

기호. 연산이 문맥상 명백할 때는 $a\ast b$ 대신 $ab$(곱셈 표기) 또는 $a+b$(덧셈 표기, 보통 아벨군에만 쓴다)로 쓴다. 덧셈 표기에서는 항등원을 $0$으로, 역원을 $-a$로 적는다.

§4.2 공리 확인: 체계적인 순서

Fraleigh의 연습문제는 연산이 주어진 집합이 군을 이루는지를 반복적으로 묻는다. 가장 효율적인 공략 순서는 다음과 같다:

1. 닫힘성. 모든 $a,b\in G$에 대해 $a\ast b\in G$인가? (연산의 정의로부터 자동으로 성립하는 경우가 많다.)
2. 결합법칙. $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$인가? 이것이 까다로운 단계이다. 보통은 모든 세쌍조를 확인하기보다, 결합적임이 알려진 주변 연산(정수 덧셈, 행렬 곱셈, 함수 합성)으로부터 결합법칙을 물려받는다.
3. 항등원. 후보 $e$를 찾아 모든 $a$에 대해 $ea=ae=a$임을 확인한다.
4. 역원. 각 $a$에 대해 $ax=e$와 $xa=e$를 풀고 그 해가 $G$ 안에 있는지 확인한다.

비고 4.3 (왜 결합법칙이 까다로운 공리인가)

항등원과 역원 확인은 한두 개의 미지수에 대한 방정식이다. 결합법칙은 모든 세쌍조에 대한 전칭 명제이다. 위수 $n$의 유한군에 대해 무차별 대입으로 확인하려면 $n^3$번의 검증이 필요하다. 실제로는 다음 중 하나를 통해 이를 피한다:

• 결합적임이 알려진 연산($\mathbb{Z}$에서의 덧셈, $\mathbb{R}$에서의 곱셈, 행렬 곱셈, 함수 합성)으로부터 결합법칙을 물려받거나,
• 알려진 군과의 동형사상을 제시한다.

보기 좋은 Cayley 표는 군임을 암시할 수 있으나, 겉모습은 증명이 아니다. 결합법칙을 물려받지 못할 때는 언제나 그것을 정당화해야 한다.

§4.3 자연스럽게 익혀야 할 표준 예제들

예제 4.4 ($(\mathbb{Z},+)$ — 기본적인 무한 아벨군)

닫힘성: 두 정수의 합은 정수이다. 결합법칙: 정수 덧셈으로부터 물려받는다. 항등원: $0$. 역원: 각 $n$에 대해 $-n$. 아벨군: $m+n=n+m$. 이것이 무한 순환군의 원형이다.

예제 4.5 ($({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$과 $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ — 곱셈군)

여기서 ${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$이고 ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$이다.

닫힘성: 0이 아닌 두 유리수(실수)의 곱은 0이 아니다. 결합법칙: 체의 곱셈으로부터 물려받는다. 항등원: $1$. 역원: $a\ne 0$에 대해 $a^{-1}=1/a$. 아벨군: $ab=ba$.

예제 4.6 ($({\mathbb{Z}}_n,+)$ — 기본적인 유한 모형)

집합 ${\mathbb{Z}}_n=\{\bar{0},\bar{1},\dots ,\overline{n-1}\}$에 법 $n$에 대한 덧셈을 준 것이다.

닫힘성: 법 $n$ 덧셈은 ${\mathbb{Z}}_n$ 안에 머문다. 결합법칙: 정수 덧셈으로부터 물려받는다. 항등원: $\bar{0}$. 역원: $\bar{a}$의 역원은 $\overline{n-a}$이다(동치로 $\overline{-a}$). 아벨군: 그렇다.

$n=4$일 때: $|{\mathbb{Z}}_4|=4$이고 $\bar{1}$의 위수는 $4$이므로(군 전체를 생성한다) ${\mathbb{Z}}_4$는 순환군이다.

예제 4.7 ($G{L}_n(\mathbb{R})$ — 첫 번째 비아벨 예제)

일반선형군(general linear group) $G{L}_n(\mathbb{R})$은 행렬 곱셈을 연산으로 하는 모든 가역 $n\times n$ 실행렬의 집합이다.

닫힘성: $A,B$가 가역이면 $\det (AB)=\det (A)\det (B)\ne 0$이므로 $AB$도 가역이다. 결합법칙: 행렬 곱셈은 결합적이다. 항등원: 단위행렬 $I_n$. 역원: 행렬의 역행렬 $A^{-1}$.

$n\ge 2$일 때 이 군은 비아벨군이다. $G{L}_2(\mathbb{R})$에서의 명시적 예:

$AB\ne BA$이므로 이 군은 아벨군이 아니다.

예제 4.8 ($U(n)$ — 법 $n$의 단원)

곱셈을 법 $n$으로 하여 $U(n)=\{k\in {\mathbb{Z}}_n:\gcd (k,n)=1\}$로 정의한다.

닫힘성: $\gcd (a,n)=1$이고 $\gcd (b,n)=1$이면 $\gcd (ab,n)=1$이므로 $\overline{ab}\in U(n)$이다. 결합법칙: 정수 곱셈으로부터 물려받는다. 항등원: $\bar{1}$. 역원: $\gcd (a,n)=1$이므로 베주의 보조정리에 의해 $as+nt=1$을 만족하는 $s,t$가 존재하고, 따라서 $\overline{s}$가 법 $n$에서 $\bar{a}$의 곱셈에 대한 역원이다.

$U(n)$의 위수는 $\phi (n)$(오일러 토션트 함수)이다.

구체적 예:

• 법 $8$ 곱셈에 대한 $U(8)=\{1,3,5,7\}$. 이것이 $V_4$와 동형임을 보게 될 것이다.
• 법 $10$ 곱셈에 대한 $U(10)=\{1,3,7,9\}$. ${\mathbb{Z}}_4$와 동형이다($3^2=9$, $3^3=27\equiv 7$, $3^4\equiv 1$이므로 $3$의 위수가 $4$이다).
• 법 $12$ 곱셈에 대한 $U(12)=\{1,5,7,11\}$. 모든 원소의 제곱이 $1$이다: $5^2=25\equiv 1$, $7^2=49\equiv 1$, $11^2=121\equiv 1$. 따라서 $U(12)\cong V_4$이다.

예제 4.9 (1의 거듭제곱근 ${\mu }_n$)

$n$차 1의 거듭제곱근은

닫힘성: $z^n=1$이고 $w^n=1$이면 $(zw{)}^n=z^n{w}^n=1$. 결합법칙: 복소수 곱셈으로부터 물려받는다. 항등원: $1$. 역원: $z^{-1}=\bar{z}$(단위원 위에서의 켤레복소수)이고, $(\bar{z}{)}^n=\overline{z^n}=\bar{1}=1$이다.

군으로서 ${\mu }_n\cong {\mathbb{Z}}_n$이며, 동형사상은 $\bar{k}\mapsto e^{2\pi ik/n}$로 주어진다. 예를 들어 ${\mu }_4=\{1,i,-1,-i\}$는 $i$가 생성하는 위수 $4$의 순환군이다.

§4.4 비예제, 그리고 첫 번째 실패를 짚어내는 규율

제안된 구조가 군이 되지 못할 때는 (체계적 순서에서) 처음 무너지는 공리를 짚어내야 한다.

예제 4.10 ($({\mathbb{Z}}^{+},+)$ — 항등원 없음)

여기서 ${\mathbb{Z}}^{+}=\{1,2,3,\dots \}$이다. 닫힘성은 성립하고($m+n\in {\mathbb{Z}}^{+}$) 결합법칙은 물려받는다. 그러나 모든 $a$에 대해 $e+a=a$를 만족하는 원소 $e\in {\mathbb{Z}}^{+}$가 없다. 수 $0$이 ${\mathbb{Z}}^{+}$에 속하지 않기 때문이다. 첫 번째 실패: 항등원 공리.

예제 4.11 ($(\mathbb{Z},\cdot )$ — 역원 없음)

닫힘성은 성립하고(정수의 곱은 정수) 결합법칙은 물려받으며 항등원은 $1\in \mathbb{Z}$이다. 그러나 $2$의 역원은 $1/2\notin \mathbb{Z}$가 되어야 한다. 사실 $\mathbb{Z}$에서 곱셈에 대한 역원을 갖는 원소는 $1$과 $-1$뿐이다. 첫 번째 실패: 역원 공리.

예제 4.12 ($(M_n(\mathbb{R}),\cdot )$ — 특이행렬은 역원이 없음)

곱셈을 연산으로 하는 모든 $n\times n$ 실행렬의 집합이다. 닫힘성과 결합법칙은 성립하고 $I_n$이 항등원이다. 그러나 $\det =0$인 행렬은 곱셈에 대한 역원이 없다. 첫 번째 실패: 역원 공리. (이것이 $G{L}_n(\mathbb{R})$로 제한하는 이유이다.)

예제 4.13 (${\mathbb{R}}^{\ast }$ 위의 $a\ast b=a/b$ — 비결합적)

${\mathbb{R}}^{\ast }$ 위에서 $a\ast b=a/b$로 정의하자. 닫힘성은 성립한다. 그러나:

이 둘은 모든 $b,c$에 대해 $b^2{c}^2=1$일 때만 같은데, 이는 거짓이다. 첫 번째 실패: 결합법칙. (참고: $a\ast 1=a/1=a$이므로 $e=1$은 오른쪽 항등원이 되겠지만, 일반적으로 $1\ast a=1/a\ne a$이므로 양쪽 항등원으로서도 실패한다.)

§4.5 위수 4인 군들의 Cayley 표

작은 Cayley 표는 유치한 연습이 아니다. 그것은 구조를 보는 가장 깔끔한 방법 중 하나이다. 위수 4인 군들은 표가 진정한 개념적 차이를 만들어 내는 첫 번째 무대이다.

예제 4.14 (${\mathbb{Z}}_4$의 Cayley 표)

법 $4$ 덧셈에 대한 ${\mathbb{Z}}_4=\{0,1,2,3\}$:

원소 $1$은 군 전체를 생성한다: $1,1+1=2,1+1+1=3,1+1+1+1=0$. 따라서 ${\mathbb{Z}}_4$는 순환군이다. 원소 $2$는 위수 $2$이고($2+2=0$이므로), 원소 $3$은 위수 $4$이다(또 다른 생성원).

${\mathbb{Z}}_4$에서의 원소 위수: $\mathrm{ord}(0)=1$, $\mathrm{ord}(1)=4$, $\mathrm{ord}(2)=2$, $\mathrm{ord}(3)=4$.

예제 4.15 (클라인 4원군 $V_4$의 Cayley 표)

$a^2=b^2=c^2=e$, $ab=c$, $bc=a$, $ca=b$를 만족하는 $V_4=\{e,a,b,c\}$:

항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2$이다. 어떤 원소도 군 전체를 생성하지 못하므로 $V_4$는 순환군이 아니다.

예제 4.16 (법 $8$의 $U(8)=\{1,3,5,7\}$의 Cayley 표)

곱의 검증: $3\cdot 3=9\equiv 1$, $3\cdot 5=15\equiv 7$, $3\cdot 7=21\equiv 5$, $5\cdot 5=25\equiv 1$, $5\cdot 7=35\equiv 3$, $7\cdot 7=49\equiv 1$.

원소 위수: $\mathrm{ord}(1)=1$, $\mathrm{ord}(3)=2$, $\mathrm{ord}(5)=2$, $\mathrm{ord}(7)=2$.

$V_4$에서와 똑같이, 항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2$이다.

정리 4.17. $V_4\cong U(8)$.

증명

$\phi :V_4\to U(8)$를 $\phi (e)=1$, $\phi (a)=3$, $\phi (b)=5$, $\phi (c)=7$로 정의한다. 이것은 전단사이다. 두 Cayley 표를 항목별로 비교하여 연산을 보존함을 확인한다.

핵심적인 구조적 사실은, 두 군 모두 항등원이 아닌 서로 다른 두 원소의 곱이 나머지 항등원 아닌 원소가 된다는 성질을 갖는다는 점이다:

• $V_4$에서: $ab=c$, $ac=b$, $bc=a$.
• $U(8)$에서: $3\cdot 5=7$, $3\cdot 7=5$, $5\cdot 7=3$.

이 사실은 항등원 아닌 모든 원소에 대한 $x^2=e$와 함께 군 연산을 완전히 결정한다. 따라서 두 표는 $\phi$ 아래에서 일치하고, $\phi$는 동형사상이다. $■$

정리 4.18. ${\mathbb{Z}}_4\ncong V_4$.

증명

${\mathbb{Z}}_4$에서 원소 $1$의 위수는 $4$이다. $V_4$에서는 항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2$이다. 동형사상은 원소의 위수를 보존하므로(만약 $\phi (a)=b$이고 $\phi$가 동형사상이면 $\mathrm{ord}(a)=\mathrm{ord}(b)$), 어떤 동형사상도 존재할 수 없다. $■$

요약. 동형을 무시하면 위수 $4$인 군은 정확히 두 개가 있다: 순환군 ${\mathbb{Z}}_4$와 클라인 4원군 $V_4$.

§4.6 두 위수-4 군의 부분군 격자

부분군 구조는 원소의 위수와는 독립적으로 ${\mathbb{Z}}_4$와 $V_4$를 구별하는 깔끔한 불변량이다.

${\mathbb{Z}}_4$의 격자

${\mathbb{Z}}_4$의 부분군은 다음과 같다:

• $\{0\}$ (위수 $1$)
• $\{0,2\}$ (위수 $2$, $2$가 생성)
• $\{0,1,2,3\}={\mathbb{Z}}_4$ (위수 $4$)

이 격자는 사슬(chain)이다: $\{0\}\subset \{0,2\}\subset {\mathbb{Z}}_4$. 위수 $2$인 부분군은 정확히 하나이다.

$U_4={\mu }_4=\{1,i,-1,-i\}$는 순환군이고 ${\mathbb{Z}}_4$와 동형이므로, 그 부분군 격자 또한 사슬이다: $\{1\}\subset \{1,-1\}\subset U_4$.

그림: $U_4\cong {\mathbb{Z}}_4$의 부분군 격자.

이 그림에서 읽어 낼 것: 위수 $4$인 순환군은 진성 비자명 부분군을 정확히 하나 갖는다.

$V_4$의 격자

$V_4=\{e,a,b,c\}$의 부분군은 다음과 같다:

• $\{e\}$ (위수 $1$)
• $\{e,a\}$ (위수 $2$)
• $\{e,b\}$ (위수 $2$)
• $\{e,c\}$ (위수 $2$)
• $V_4$ (위수 $4$)

위수 $2$인 부분군이 세 개 있고, 격자는 “다이아몬드” 모양이다:

그림: $V_4$의 부분군 격자.

이 그림에서 읽어 낼 것: ${\mathbb{Z}}_4$와 달리 클라인 4원군은 위수 $2$인 서로 다른 부분군을 세 개 갖는다.

격자가 다른 이유

동형사상 $\phi :G\to H$는 $G$의 부분군을 $H$의 부분군으로 전단사적으로 보내며, 포함 관계와 위수를 보존한다. ${\mathbb{Z}}_4$는 위수 $2$인 부분군이 하나이고 $V_4$는 셋이므로, 그러한 전단사는 존재할 수 없다. 이는 원소의 위수와는 독립적으로 ${\mathbb{Z}}_4\ncong V_4$임을 보이는 두 번째 증명을 제공한다.

§4.7 첫 번째 정리들: 유일성 결과

정리 4.19 (항등원의 유일성)

군 $G$에서 항등원은 유일하다.

증명

$e$와 $f$가 모두 $G$의 항등원이라 하자. 그러면:

$$e=e\ast f=f.$$

여기서 흔히 처음 헛디디는 부분은 어느 항등법칙이 어느 등식을 주는지 헷갈리는 것이다. 올바른 정리는 다음과 같다:

• $e$가 항등원이므로: $e\ast f=f$.
• $f$가 항등원이므로: $e\ast f=e$.

따라서 $e=e\ast f=f$. $■$

정리 4.20 (역원의 유일성)

군 $G$에서 각 원소는 유일한 역원을 갖는다.

증명

$b$와 $c$가 모두 $a$의 역원이라 하자. 그러면 $ba=e$이고 $ac=e$이다. 계산하면:

$$b=b\ast e=b\ast (a\ast c)=(b\ast a)\ast c=e\ast c=c.$$

핵심 단계는 결합법칙을 사용한다: $b(ac)=(ba)c$. 따라서 역원은 유일하다. $■$

§4.8 첫 번째 정리들: 소거와 방정식 풀이

정리 4.21 (좌·우 소거법칙)

군 $G$에서:

• 좌소거: $ax=ay$이면 $x=y$.
• 우소거: $xa=ya$이면 $x=y$.

증명

좌소거. $ax=ay$라 하자. 왼쪽에 $a^{-1}$을 곱한다:

$$a^{-1}(ax)=a^{-1}(ay).$$

결합법칙에 의해:

$$(a^{-1}a)x=(a^{-1}a)y,$$

따라서 $ex=ey$이고, 그러므로 $x=y$.

우소거. $xa=ya$라 하자. 오른쪽에 $a^{-1}$을 곱한다:

$$(xa)a^{-1}=(ya)a^{-1}.$$

결합법칙에 의해:

$$x(a{a}^{-1})=y(a{a}^{-1}),$$

따라서 $xe=ye$이고, 그러므로 $x=y$. $■$

정리 4.22 (일차방정식의 유일가해성)

군 $G$에서 임의의 $a,b\in G$에 대하여:

• 방정식 $ax=b$는 유일한 해 $x=a^{-1}b$를 갖는다.
• 방정식 $ya=b$는 유일한 해 $y=b{a}^{-1}$를 갖는다.

증명

$ax=b$의 존재성. $x=a^{-1}b$로 두자. 그러면 $a(a^{-1}b)=(a{a}^{-1})b=eb=b$. 따라서 $x=a^{-1}b$가 해이다.

$ax=b$의 유일성. $x_1$과 $x_2$가 모두 해이면 $a{x}_1=b=a{x}_2$이고, 좌소거에 의해 $x_1=x_2$.

$ya=b$의 존재성. $y=b{a}^{-1}$로 두자. 그러면 $(b{a}^{-1})a=b(a^{-1}a)=be=b$.

$ya=b$의 유일성. $y_{1}a=y_{2}a$이면 우소거에 의해 $y_1=y_2$. $■$

비고. 비아벨군에서는 일반적으로 $a^{-1}b\ne b{a}^{-1}$이다. 따라서 $ax=b$와 $ya=b$의 해는 (일반적으로) 답이 다른 서로 다른 방정식이다.

§4.9 첫 번째 정리들: 곱의 역원과 이중 역원

정리 4.23 (양말과 신발: $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$)

군 $G$에서 임의의 $a,b\in G$에 대하여:

증명

$b^{-1}{a}^{-1}$이 $ab$의 역원의 정의를 만족함을 보인다.

왼쪽 곱:

$$(b^{-1}{a}^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}eb=b^{-1}b=e.$$

오른쪽 곱:

$$(ab)(b^{-1}{a}^{-1})=a(b{b}^{-1})a^{-1}=ae{a}^{-1}=a{a}^{-1}=e.$$

$b^{-1}{a}^{-1}$이 $ab$의 왼쪽 역원이자 오른쪽 역원이고 역원은 유일하므로(정리 4.20), $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$이다. $■$

왜 “양말과 신발”인가? “양말을 신고, 그다음 신발을 신는” 동작을 되돌리려면 순서를 뒤집어 “신발을 벗고, 그다음 양말을 벗는다”. 일련의 동작의 역은 역순으로 수행된다.

일반화. 귀납법에 의해 $(a_1{a}_2\cdots a_n{)}^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_2^{-1}{a}_1^{-1}$.

정리 4.24 (이중 역원: $(a^{-1}{)}^{-1}=a$)

군 $G$의 임의의 $a$에 대하여 $(a^{-1}{)}^{-1}=a$이다.

증명

정의에 의해 $a^{-1}$은 $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$를 만족하는 유일한 원소이다. 그런데 바로 이 등식들은 $a$가 $a^{-1}$의 역원임을 말한다. 역원의 유일성(정리 4.20)에 의해 $(a^{-1}{)}^{-1}=a$이다. $■$

§4.10 정리: 모든 $a$에 대해 $a^2=e$이면 아벨군이다

이 결과는 과제 1의 문제 1의 맥락에서 등장했다.

정리 4.25

군 $G$가 모든 $a\in G$에 대해 $a^2=e$를 만족하면 $G$는 아벨군이다.

증명

가정 $a^2=e$는 모든 원소가 자기 자신의 역원임을 뜻한다: 모든 $a\in G$에 대해 $a^{-1}=a$.

임의의 $a,b\in G$에 대해 원소 $ab$ 또한 $(ab{)}^2=e$를 만족하므로 $(ab{)}^{-1}=ab$이다. 그런데 양말과 신발 규칙(정리 4.23)에 의해:

$$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}=ba.$$

따라서 모든 $a,b\in G$에 대해 $ab=ba$이고, $G$는 아벨군이다. $■$

비고. 클라인 4원군 유형의 행동을 알아보는 방법이 바로 이것이다: 유한군이 모든 원소가 항등원으로 제곱된다는 성질을 가지면 반드시 아벨군이다(그리고 사실 유한생성 아벨군의 기본정리가 결국 확인해 주듯이, ${\mathbb{Z}}_2$의 여러 사본의 직접곱과 동형이다).

§4.11 정리 모음으로서의 Cayley 표

표에서 구조 읽기

유한군 $G=\{g_1,g_2,\dots ,g_n\}$에 대해 Cayley 표는 $(i,j)$-항목이 $g_i\ast g_j$인 $n\times n$ 격자이다. 다음을 뽑아낼 수 있다:

• 항등원: 헤더를 그대로 재현하는 행과 열(즉 $e$의 행은 차례로 $g_1,g_2,\dots ,g_n$이다).
• 역원: 한 행에서 $e$가 나타나는 곳을 찾는다. $g_i\ast g_j=e$이면 $g_j=g_i^{-1}$이다.
• 가환성: 군이 아벨군일 필요충분조건은 표가 주대각선에 대해 대칭인 것이다.
• 라틴방진 성질: 각 원소가 각 행과 각 열에 정확히 한 번씩 나타난다. (정리 4.26 참조.)

정리 4.26 (라틴방진 성질)

유한군 $G$의 Cayley 표에서 각 행과 각 열은 $G$의 순열이다.

증명

$a\in G$를 고정하고 $a$로 표지된 행을 생각하자: 그것은 원소들 $\{a{g}_1,a{g}_2,\dots ,a{g}_n\}$으로 이루어진다.

중복 없음(단사성). $a{g}_i=a{g}_j$이면 좌소거(정리 4.21)에 의해 $g_i=g_j$이다. 따라서 그 행의 모든 항목은 서로 다르다.

완비성(전사성). $G$가 유한이고 우리에게 $G$의 서로 다른 $|G|$개의 원소가 있으므로, 그 행은 $G$의 모든 원소를 정확히 한 번씩 포함한다.

형식적으로, $L_a(x)=ax$로 정의되는 사상 $L_a:G\to G$는 소거에 의해 단사이다. $G$가 유한이므로 유한집합에서 자기 자신으로의 단사 사상은 전사이기도 하다. 따라서 $a$의 행은 $G$의 순열이다.

같은 논증을 우소거와 사상 $R_a(x)=xa$를 사용하여 적용하면 열에 대해서도 그 결과가 증명된다. $■$

비고. 역은 성립하지 않는다: 항등원 행/열을 갖는 모든 라틴방진이 군에서 나오는 것은 아니다. 라틴방진 성질은 소거를 보장하지만 결합법칙은 여전히 검증해야 한다.

§4.12 유한군과 위수

정의 4.27 (군의 위수)

군 $G$의 위수(order)는 $|G|$로 쓰며, ($G$가 유한이면) $G$의 원소의 개수이다.

정의 4.28 (원소의 위수)

$G$가 군이고 $a\in G$라 하자. $a$의 위수는 $\mathrm{ord}(a)$ 또는 $|a|$로 쓰며, $a^n=e$를 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$이다. 그러한 $n$이 존재하지 않으면 $a$는 무한 위수를 갖는다.

원소 위수의 풀이 계산:

§4.13 Lang의 구조적 관점: 범주로서의 군

군은 모든 사상이 가역인, 대상이 하나뿐인 범주(대상을 $\ast$라 부르자)로 재해석될 수 있다:

공리가 들어맞는다: 사상의 합성은 결합적이고, 항등사상이 존재하며, 모든 사상의 가역성이 역원 공리를 준다.

이 관점이 설명해 주는 것:

• 준동형사상(homomorphism) $\phi :G\to H$는 대응하는 일대상 범주 사이의 함자이다(단일 대상을 단일 대상으로 보내고 합성을 존중한다).
• 군 공리는 정확히 가역 합성에 필요한 구조를 부호화하며, 이것이 바로 동일한 패턴(결합법칙 + 항등원 + 역원)이 선형대수($G{L}_n$), 위상수학(기본군), 기하학(등거리변환군)에서 나타나는 이유이다.
• 이후의 구성들 — 직접곱, 몫군, 군 작용 — 은 모두 범주 $\mathbf{Grp}$로 제한된 범주론적 구성(곱, 공동등화자, $\mathbf{Set}$으로의 함자)이다.

지금으로서는 범주론적 관점을 위의 구체적인 증명을 대체하는 것이 아니라, 공리가 왜 그러한 형태인지를 밝혀 주는 구조적 번역으로 기능하게 두는 것이 좋다.

§4.15 플래시카드용 요약

제4장의 핵심 사실

1. 군 공리(확인 순서대로): 닫힘성(이항연산으로부터), 결합법칙, 항등원, 역원.
2. 아벨군 = 가환: 모든 원소에 대해 $ab=ba$.
3. 표준 군: $(\mathbb{Z},+)$, $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$, $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, $({\mathbb{Z}}_n,+)$, $G{L}_n(\mathbb{R})$, $U(n)$, ${\mu }_n$.
4. 첫 번째 비아벨 예제: $G{L}_2(\mathbb{R})$.
5. 위수 4인 두 군: ${\mathbb{Z}}_4$(순환군, 위수 4인 원소를 가짐)와 $V_4$(항등원 아닌 모든 원소의 위수가 2).
6. $U(8)\cong V_4\cong U(12)$ (모든 원소가 항등원으로 제곱된다).
7. 항등원은 유일하고, 역원도 유일하다.
8. 소거: $ax=ay\Rightarrow x=y$; $xa=ya\Rightarrow x=y$.
9. 방정식 풀이: $ax=b$는 유일한 해 $x=a^{-1}b$를 갖는다.
10. 양말과 신발: $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$.
11. 이중 역원: $(a^{-1}{)}^{-1}=a$.
12. 모든 $a\in G$에 대해 $a^2=e$ $⟹$ $G$는 아벨군이다.
13. Cayley 표의 행/열은 $G$의 순열이다(라틴방진 성질, 소거로 증명됨).
14. Lang의 렌즈: 군은 모든 사상이 가역인 일대상 범주이다.

제4장을 떠나기 전에 숙달해야 할 것

• 군의 정의를 깔끔하게 진술한다(네 공리, 아벨 변형).
• 제안된 군 구조를 체계적으로 검증한다: 닫힘성, 결합법칙, 항등원, 역원.
• 표준 예제를 즉시 알아본다: $\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, ${\mathbb{R}}^{\ast }$, ${\mathbb{Z}}_n$, $G{L}_n(\mathbb{R})$, $U(n)$, ${\mu }_n$.
• 비예제에서 처음 무너지는 공리를 진단한다.
• 작은 군의 Cayley 표를 작성하고 항등원, 역원, 가환성을 읽어 낸다.
• 원소의 위수로, 그리고 부분군 구조로 ${\mathbb{Z}}_4$와 $V_4$를 구별한다.
• 표를 통해 $V_4\cong U(8)$임을 보인다.
• 항등원과 역원의 유일성을 노트 없이 증명한다.
• 소거법칙과 $ax=b$, $ya=b$의 유일가해성을 증명한다.
• 양말과 신발 규칙 $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$과 이중 역원 $(a^{-1}{)}^{-1}=a$를 증명한다.
• 모든 $a$에 대해 $a^2=e$이면 $G$가 아벨군임을 증명한다.
• Cayley 표의 라틴방진 성질을 증명한다.
• ${\mathbb{Z}}_n$과 $U(n)$에서 원소의 위수를 계산한다.
• 군을 일대상 범주로 설명한다(Lang의 관점).