제4장 - 군

군은 그 공리가 본격적인 증명 이론을 떠받칠 만큼 충분히 강한, 이 책에서 처음 등장하는 대수적 구조이다. 집합이 결합적 연산, 항등원, 역원을 갖추는 순간 방정식을 추상적으로 풀 수 있게 되고, 소거가 정당화되며, 동일한 증명 패턴이 이후의 거의 모든 장에서 거듭 나타난다. 이 개정판은 번호가 매겨진 정의와 정리, 완전한 증명, 충분히 풀어 쓴 예제, 그리고 풀이가 딸린 연습문제를 제공하며, 제11장 노트의 형식을 따른다.

§4.1 군의 정의

정의 4.1 (군)

군(group)이란 집합 $G$와 그 위의 이항연산 $\ast : G \times G \to G$를 함께 갖춘 것으로, 다음을 만족한다:

1. 결합법칙. 모든 $a, b, c \in G$에 대하여 $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$.
2. 항등원. 모든 $a \in G$에 대하여 $e \ast a = a \ast e = a$를 만족하는 원소 $e \in G$가 존재한다.
3. 역원. 각 $a \in G$에 대하여 $a \ast a^{-1} = a^{-1} \ast a = e$를 만족하는 $a^{-1} \in G$가 존재한다.

”$G$ 위의 이항연산”이라는 표현은 이미 닫힘성(closure)을 내포하고 있다. 즉 $a, b \in G$일 때 $a \ast b$의 결과는 반드시 $G$ 안에 있어야 한다. 바로 이 때문에 정의를 신중하게 세우는 것이 중요하다. 제안된 연산이 모든 쌍에 대해 정의되지 않거나 어떤 쌍을 집합 밖으로 보낸다면, 결합법칙을 확인하기도 전에 그 구조는 무너진다.

정의 4.2 (아벨군)

군 $(G, \ast)$가 모든 $a, b \in G$에 대해 $a \ast b = b \ast a$를 만족하면 아벨군(abelian) 또는 가환군(commutative)이라고 한다.

기호. 연산이 문맥상 명백할 때는 $a \ast b$ 대신 $ab$(곱셈 표기) 또는 $a + b$(덧셈 표기, 보통 아벨군에만 쓴다)로 쓴다. 덧셈 표기에서는 항등원을 $0$으로, 역원을 $-a$로 적는다.

§4.2 공리 확인: 체계적인 순서

Fraleigh의 연습문제는 연산이 주어진 집합이 군을 이루는지를 반복적으로 묻는다. 가장 효율적인 공략 순서는 다음과 같다:

1. 닫힘성. 모든 $a, b \in G$에 대해 $a \ast b \in G$인가? (연산의 정의로부터 자동으로 성립하는 경우가 많다.)
2. 결합법칙. $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$인가? 이것이 까다로운 단계이다. 보통은 모든 세쌍조를 확인하기보다, 결합적임이 알려진 주변 연산(정수 덧셈, 행렬 곱셈, 함수 합성)으로부터 결합법칙을 물려받는다.
3. 항등원. 후보 $e$를 찾아 모든 $a$에 대해 $ea = ae = a$임을 확인한다.
4. 역원. 각 $a$에 대해 $ax = e$와 $xa = e$를 풀고 그 해가 $G$ 안에 있는지 확인한다.

비고 4.3 (왜 결합법칙이 까다로운 공리인가)

항등원과 역원 확인은 한두 개의 미지수에 대한 방정식이다. 결합법칙은 모든 세쌍조에 대한 전칭 명제이다. 위수 $n$의 유한군에 대해 무차별 대입으로 확인하려면 $n^3$번의 검증이 필요하다. 실제로는 다음 중 하나를 통해 이를 피한다:

• 결합적임이 알려진 연산($\mathbb{Z}$에서의 덧셈, $\mathbb{R}$에서의 곱셈, 행렬 곱셈, 함수 합성)으로부터 결합법칙을 물려받거나,
• 알려진 군과의 동형사상을 제시한다.

보기 좋은 Cayley 표는 군임을 암시할 수 있으나, 겉모습은 증명이 아니다. 결합법칙을 물려받지 못할 때는 언제나 그것을 정당화해야 한다.

§4.3 자연스럽게 익혀야 할 표준 예제들

예제 4.4 ($(\mathbb{Z}, +)$ — 기본적인 무한 아벨군)

닫힘성: 두 정수의 합은 정수이다. 결합법칙: 정수 덧셈으로부터 물려받는다. 항등원: $0$. 역원: 각 $n$에 대해 $-n$. 아벨군: $m + n = n + m$. 이것이 무한 순환군의 원형이다.

예제 4.5 ($(\mathbb{Q}^{\ast}, \cdot)$과 $(\mathbb{R}^{\ast}, \cdot)$ — 곱셈군)

여기서 $\mathbb{Q}^{\ast} = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$이고 $\mathbb{R}^{\ast} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$이다.

닫힘성: 0이 아닌 두 유리수(실수)의 곱은 0이 아니다. 결합법칙: 체의 곱셈으로부터 물려받는다. 항등원: $1$. 역원: $a \neq 0$에 대해 $a^{-1} = 1/a$. 아벨군: $ab = ba$.

예제 4.6 ($(\mathbb{Z}_n, +)$ — 기본적인 유한 모형)

집합 $\mathbb{Z}_n = \{\bar{0}, \bar{1}, \ldots, \overline{n-1}\}$에 법 $n$에 대한 덧셈을 준 것이다.

닫힘성: 법 $n$ 덧셈은 $\mathbb{Z}_n$ 안에 머문다. 결합법칙: 정수 덧셈으로부터 물려받는다. 항등원: $\bar{0}$. 역원: $\bar{a}$의 역원은 $\overline{n - a}$이다(동치로 $\overline{-a}$). 아벨군: 그렇다.

$n = 4$일 때: $|\mathbb{Z}_4| = 4$이고 $\bar{1}$의 위수는 $4$이므로(군 전체를 생성한다) $\mathbb{Z}_4$는 순환군이다.

예제 4.7 ($GL_n(\mathbb{R})$ — 첫 번째 비아벨 예제)

일반선형군(general linear group) $GL_n(\mathbb{R})$은 행렬 곱셈을 연산으로 하는 모든 가역 $n \times n$ 실행렬의 집합이다.

닫힘성: $A, B$가 가역이면 $\det(AB) = \det(A)\det(B) \neq 0$이므로 $AB$도 가역이다. 결합법칙: 행렬 곱셈은 결합적이다. 항등원: 단위행렬 $I_n$. 역원: 행렬의 역행렬 $A^{-1}$.

$n \geq 2$일 때 이 군은 비아벨군이다. $GL_2(\mathbb{R})$에서의 명시적 예:

$AB \neq BA$이므로 이 군은 아벨군이 아니다.

예제 4.8 ($U(n)$ — 법 $n$의 단원)

곱셈을 법 $n$으로 하여 $U(n) = \{k \in \mathbb{Z}_n : \gcd(k, n) = 1\}$로 정의한다.

닫힘성: $\gcd(a, n) = 1$이고 $\gcd(b, n) = 1$이면 $\gcd(ab, n) = 1$이므로 $\overline{ab} \in U(n)$이다. 결합법칙: 정수 곱셈으로부터 물려받는다. 항등원: $\bar{1}$. 역원: $\gcd(a, n) = 1$이므로 베주의 보조정리에 의해 $as + nt = 1$을 만족하는 $s, t$가 존재하고, 따라서 $\overline{s}$가 법 $n$에서 $\bar{a}$의 곱셈에 대한 역원이다.

$U(n)$의 위수는 $\varphi(n)$(오일러 토션트 함수)이다.

구체적 예:

• 법 $8$ 곱셈에 대한 $U(8) = \{1, 3, 5, 7\}$. 이것이 $V_4$와 동형임을 보게 될 것이다.
• 법 $10$ 곱셈에 대한 $U(10) = \{1, 3, 7, 9\}$. $\mathbb{Z}_4$와 동형이다($3^2 = 9$, $3^3 = 27 \equiv 7$, $3^4 \equiv 1$이므로 $3$의 위수가 $4$이다).
• 법 $12$ 곱셈에 대한 $U(12) = \{1, 5, 7, 11\}$. 모든 원소의 제곱이 $1$이다: $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv 1$. 따라서 $U(12) \cong V_4$이다.

예제 4.9 (1의 거듭제곱근 $\mu_n$)

$n$차 1의 거듭제곱근은

닫힘성: $z^n = 1$이고 $w^n = 1$이면 $(zw)^n = z^n w^n = 1$. 결합법칙: 복소수 곱셈으로부터 물려받는다. 항등원: $1$. 역원: $z^{-1} = \bar{z}$(단위원 위에서의 켤레복소수)이고, $(\bar{z})^n = \overline{z^n} = \bar{1} = 1$이다.

군으로서 $\mu_n \cong \mathbb{Z}_n$이며, 동형사상은 $\bar{k} \mapsto e^{2\pi i k / n}$로 주어진다. 예를 들어 $\mu_4 = \{1, i, -1, -i\}$는 $i$가 생성하는 위수 $4$의 순환군이다.

§4.4 비예제, 그리고 첫 번째 실패를 짚어내는 규율

제안된 구조가 군이 되지 못할 때는 (체계적 순서에서) 처음 무너지는 공리를 짚어내야 한다.

예제 4.10 ($(\mathbb{Z}^+, +)$ — 항등원 없음)

여기서 $\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \ldots\}$이다. 닫힘성은 성립하고($m + n \in \mathbb{Z}^+$) 결합법칙은 물려받는다. 그러나 모든 $a$에 대해 $e + a = a$를 만족하는 원소 $e \in \mathbb{Z}^+$가 없다. 수 $0$이 $\mathbb{Z}^+$에 속하지 않기 때문이다. 첫 번째 실패: 항등원 공리.

예제 4.11 ($(\mathbb{Z}, \cdot)$ — 역원 없음)

닫힘성은 성립하고(정수의 곱은 정수) 결합법칙은 물려받으며 항등원은 $1 \in \mathbb{Z}$이다. 그러나 $2$의 역원은 $1/2 \notin \mathbb{Z}$가 되어야 한다. 사실 $\mathbb{Z}$에서 곱셈에 대한 역원을 갖는 원소는 $1$과 $-1$뿐이다. 첫 번째 실패: 역원 공리.

예제 4.12 ($(M_n(\mathbb{R}), \cdot)$ — 특이행렬은 역원이 없음)

곱셈을 연산으로 하는 모든 $n \times n$ 실행렬의 집합이다. 닫힘성과 결합법칙은 성립하고 $I_n$이 항등원이다. 그러나 $\det = 0$인 행렬은 곱셈에 대한 역원이 없다. 첫 번째 실패: 역원 공리. (이것이 $GL_n(\mathbb{R})$로 제한하는 이유이다.)

예제 4.13 ($\mathbb{R}^{\ast}$ 위의 $a \ast b = a/b$ — 비결합적)

$\mathbb{R}^{\ast}$ 위에서 $a \ast b = a/b$로 정의하자. 닫힘성은 성립한다. 그러나:

이 둘은 모든 $b, c$에 대해 $b^2 c^2 = 1$일 때만 같은데, 이는 거짓이다. 첫 번째 실패: 결합법칙. (참고: $a \ast 1 = a/1 = a$이므로 $e = 1$은 오른쪽 항등원이 되겠지만, 일반적으로 $1 \ast a = 1/a \neq a$이므로 양쪽 항등원으로서도 실패한다.)

§4.5 위수 4인 군들의 Cayley 표

작은 Cayley 표는 유치한 연습이 아니다. 그것은 구조를 보는 가장 깔끔한 방법 중 하나이다. 위수 4인 군들은 표가 진정한 개념적 차이를 만들어 내는 첫 번째 무대이다.

예제 4.14 ($\mathbb{Z}_4$의 Cayley 표)

법 $4$ 덧셈에 대한 $\mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\}$:

원소 $1$은 군 전체를 생성한다: $1, 1+1=2, 1+1+1=3, 1+1+1+1=0$. 따라서 $\mathbb{Z}_4$는 순환군이다. 원소 $2$는 위수 $2$이고($2 + 2 = 0$이므로), 원소 $3$은 위수 $4$이다(또 다른 생성원).

$\mathbb{Z}_4$에서의 원소 위수: $\operatorname{ord}(0) = 1$, $\operatorname{ord}(1) = 4$, $\operatorname{ord}(2) = 2$, $\operatorname{ord}(3) = 4$.

예제 4.15 (클라인 4원군 $V_4$의 Cayley 표)

$a^2 = b^2 = c^2 = e$, $ab = c$, $bc = a$, $ca = b$를 만족하는 $V_4 = \{e, a, b, c\}$:

항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2$이다. 어떤 원소도 군 전체를 생성하지 못하므로 $V_4$는 순환군이 아니다.

예제 4.16 (법 $8$의 $U(8) = \{1, 3, 5, 7\}$의 Cayley 표)

곱의 검증: $3 \cdot 3 = 9 \equiv 1$, $3 \cdot 5 = 15 \equiv 7$, $3 \cdot 7 = 21 \equiv 5$, $5 \cdot 5 = 25 \equiv 1$, $5 \cdot 7 = 35 \equiv 3$, $7 \cdot 7 = 49 \equiv 1$.

원소 위수: $\operatorname{ord}(1) = 1$, $\operatorname{ord}(3) = 2$, $\operatorname{ord}(5) = 2$, $\operatorname{ord}(7) = 2$.

$V_4$에서와 똑같이, 항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2$이다.

정리 4.17. $V_4 \cong U(8)$.

증명

$\varphi : V_4 \to U(8)$를 $\varphi(e) = 1$, $\varphi(a) = 3$, $\varphi(b) = 5$, $\varphi(c) = 7$로 정의한다. 이것은 전단사이다. 두 Cayley 표를 항목별로 비교하여 연산을 보존함을 확인한다.

핵심적인 구조적 사실은, 두 군 모두 항등원이 아닌 서로 다른 두 원소의 곱이 나머지 항등원 아닌 원소가 된다는 성질을 갖는다는 점이다:

• $V_4$에서: $ab = c$, $ac = b$, $bc = a$.
• $U(8)$에서: $3 \cdot 5 = 7$, $3 \cdot 7 = 5$, $5 \cdot 7 = 3$.

이 사실은 항등원 아닌 모든 원소에 대한 $x^2 = e$와 함께 군 연산을 완전히 결정한다. 따라서 두 표는 $\varphi$ 아래에서 일치하고, $\varphi$는 동형사상이다. $\blacksquare$

정리 4.18. $\mathbb{Z}_4 \not\cong V_4$.

증명

$\mathbb{Z}_4$에서 원소 $1$의 위수는 $4$이다. $V_4$에서는 항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2$이다. 동형사상은 원소의 위수를 보존하므로(만약 $\varphi(a) = b$이고 $\varphi$가 동형사상이면 $\operatorname{ord}(a) = \operatorname{ord}(b)$), 어떤 동형사상도 존재할 수 없다. $\blacksquare$

요약. 동형을 무시하면 위수 $4$인 군은 정확히 두 개가 있다: 순환군 $\mathbb{Z}_4$와 클라인 4원군 $V_4$.

§4.6 두 위수-4 군의 부분군 격자

부분군 구조는 원소의 위수와는 독립적으로 $\mathbb{Z}_4$와 $V_4$를 구별하는 깔끔한 불변량이다.

$\mathbb{Z}_4$의 격자

$\mathbb{Z}_4$의 부분군은 다음과 같다:

• $\{0\}$ (위수 $1$)
• $\{0, 2\}$ (위수 $2$, $2$가 생성)
• $\{0, 1, 2, 3\} = \mathbb{Z}_4$ (위수 $4$)

이 격자는 사슬(chain)이다: $\{0\} \subset \{0, 2\} \subset \mathbb{Z}_4$. 위수 $2$인 부분군은 정확히 하나이다.

$U_4 = \mu_4 = \{1, i, -1, -i\}$는 순환군이고 $\mathbb{Z}_4$와 동형이므로, 그 부분군 격자 또한 사슬이다: $\{1\} \subset \{1, -1\} \subset U_4$.

그림: $U_4 \cong \mathbb{Z}_4$의 부분군 격자.

이 그림에서 읽어 낼 것: 위수 $4$인 순환군은 진성 비자명 부분군을 정확히 하나 갖는다.

$V_4$의 격자

$V_4 = \{e, a, b, c\}$의 부분군은 다음과 같다:

• $\{e\}$ (위수 $1$)
• $\{e, a\}$ (위수 $2$)
• $\{e, b\}$ (위수 $2$)
• $\{e, c\}$ (위수 $2$)
• $V_4$ (위수 $4$)

위수 $2$인 부분군이 세 개 있고, 격자는 “다이아몬드” 모양이다:

그림: $V_4$의 부분군 격자.

이 그림에서 읽어 낼 것: $\mathbb{Z}_4$와 달리 클라인 4원군은 위수 $2$인 서로 다른 부분군을 세 개 갖는다.

격자가 다른 이유

동형사상 $\varphi : G \to H$는 $G$의 부분군을 $H$의 부분군으로 전단사적으로 보내며, 포함 관계와 위수를 보존한다. $\mathbb{Z}_4$는 위수 $2$인 부분군이 하나이고 $V_4$는 셋이므로, 그러한 전단사는 존재할 수 없다. 이는 원소의 위수와는 독립적으로 $\mathbb{Z}_4 \not\cong V_4$임을 보이는 두 번째 증명을 제공한다.

§4.7 첫 번째 정리들: 유일성 결과

정리 4.19 (항등원의 유일성)

군 $G$에서 항등원은 유일하다.

증명

$e$와 $f$가 모두 $G$의 항등원이라 하자. 그러면:

$$e = e \ast f = f.$$

여기서 흔히 처음 헛디디는 부분은 어느 항등법칙이 어느 등식을 주는지 헷갈리는 것이다. 올바른 정리는 다음과 같다:

• $e$가 항등원이므로: $e \ast f = f$.
• $f$가 항등원이므로: $e \ast f = e$.

따라서 $e = e \ast f = f$. $\blacksquare$

정리 4.20 (역원의 유일성)

군 $G$에서 각 원소는 유일한 역원을 갖는다.

증명

$b$와 $c$가 모두 $a$의 역원이라 하자. 그러면 $ba = e$이고 $ac = e$이다. 계산하면:

$$b = b \ast e = b \ast (a \ast c) = (b \ast a) \ast c = e \ast c = c.$$

핵심 단계는 결합법칙을 사용한다: $b(ac) = (ba)c$. 따라서 역원은 유일하다. $\blacksquare$

§4.8 첫 번째 정리들: 소거와 방정식 풀이

정리 4.21 (좌·우 소거법칙)

군 $G$에서:

• 좌소거: $ax = ay$이면 $x = y$.
• 우소거: $xa = ya$이면 $x = y$.

증명

좌소거. $ax = ay$라 하자. 왼쪽에 $a^{-1}$을 곱한다:

$$a^{-1}(ax) = a^{-1}(ay).$$

결합법칙에 의해:

$$(a^{-1}a)x = (a^{-1}a)y,$$

따라서 $ex = ey$이고, 그러므로 $x = y$.

우소거. $xa = ya$라 하자. 오른쪽에 $a^{-1}$을 곱한다:

$$(xa)a^{-1} = (ya)a^{-1}.$$

결합법칙에 의해:

$$x(aa^{-1}) = y(aa^{-1}),$$

따라서 $xe = ye$이고, 그러므로 $x = y$. $\blacksquare$

정리 4.22 (일차방정식의 유일가해성)

군 $G$에서 임의의 $a, b \in G$에 대하여:

• 방정식 $ax = b$는 유일한 해 $x = a^{-1}b$를 갖는다.
• 방정식 $ya = b$는 유일한 해 $y = ba^{-1}$를 갖는다.

증명

$ax = b$의 존재성. $x = a^{-1}b$로 두자. 그러면 $a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = eb = b$. 따라서 $x = a^{-1}b$가 해이다.

$ax = b$의 유일성. $x_1$과 $x_2$가 모두 해이면 $ax_1 = b = ax_2$이고, 좌소거에 의해 $x_1 = x_2$.

$ya = b$의 존재성. $y = ba^{-1}$로 두자. 그러면 $(ba^{-1})a = b(a^{-1}a) = be = b$.

$ya = b$의 유일성. $y_1 a = y_2 a$이면 우소거에 의해 $y_1 = y_2$. $\blacksquare$

비고. 비아벨군에서는 일반적으로 $a^{-1}b \neq ba^{-1}$이다. 따라서 $ax = b$와 $ya = b$의 해는 (일반적으로) 답이 다른 서로 다른 방정식이다.

§4.9 첫 번째 정리들: 곱의 역원과 이중 역원

정리 4.23 (양말과 신발: $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$)

군 $G$에서 임의의 $a, b \in G$에 대하여:

증명

$b^{-1}a^{-1}$이 $ab$의 역원의 정의를 만족함을 보인다.

왼쪽 곱:

$$(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}eb = b^{-1}b = e.$$

오른쪽 곱:

$$(ab)(b^{-1}a^{-1}) = a(bb^{-1})a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e.$$

$b^{-1}a^{-1}$이 $ab$의 왼쪽 역원이자 오른쪽 역원이고 역원은 유일하므로(정리 4.20), $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$이다. $\blacksquare$

왜 “양말과 신발”인가? “양말을 신고, 그다음 신발을 신는” 동작을 되돌리려면 순서를 뒤집어 “신발을 벗고, 그다음 양말을 벗는다”. 일련의 동작의 역은 역순으로 수행된다.

일반화. 귀납법에 의해 $(a_1 a_2 \cdots a_n)^{-1} = a_n^{-1} \cdots a_2^{-1} a_1^{-1}$.

정리 4.24 (이중 역원: $(a^{-1})^{-1} = a$)

군 $G$의 임의의 $a$에 대하여 $(a^{-1})^{-1} = a$이다.

증명

정의에 의해 $a^{-1}$은 $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$를 만족하는 유일한 원소이다. 그런데 바로 이 등식들은 $a$가 $a^{-1}$의 역원임을 말한다. 역원의 유일성(정리 4.20)에 의해 $(a^{-1})^{-1} = a$이다. $\blacksquare$

§4.10 정리: 모든 $a$에 대해 $a^2 = e$이면 아벨군이다

이 결과는 과제 1의 문제 1의 맥락에서 등장했다.

정리 4.25

군 $G$가 모든 $a \in G$에 대해 $a^2 = e$를 만족하면 $G$는 아벨군이다.

증명

가정 $a^2 = e$는 모든 원소가 자기 자신의 역원임을 뜻한다: 모든 $a \in G$에 대해 $a^{-1} = a$.

임의의 $a, b \in G$에 대해 원소 $ab$ 또한 $(ab)^2 = e$를 만족하므로 $(ab)^{-1} = ab$이다. 그런데 양말과 신발 규칙(정리 4.23)에 의해:

$$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = ba.$$

따라서 모든 $a, b \in G$에 대해 $ab = ba$이고, $G$는 아벨군이다. $\blacksquare$

비고. 클라인 4원군 유형의 행동을 알아보는 방법이 바로 이것이다: 유한군이 모든 원소가 항등원으로 제곱된다는 성질을 가지면 반드시 아벨군이다(그리고 사실 유한생성 아벨군의 기본정리가 결국 확인해 주듯이, $\mathbb{Z}_2$의 여러 사본의 직접곱과 동형이다).

§4.11 정리 모음으로서의 Cayley 표

표에서 구조 읽기

유한군 $G = \{g_1, g_2, \ldots, g_n\}$에 대해 Cayley 표는 $(i, j)$-항목이 $g_i \ast g_j$인 $n \times n$ 격자이다. 다음을 뽑아낼 수 있다:

• 항등원: 헤더를 그대로 재현하는 행과 열(즉 $e$의 행은 차례로 $g_1, g_2, \ldots, g_n$이다).
• 역원: 한 행에서 $e$가 나타나는 곳을 찾는다. $g_i \ast g_j = e$이면 $g_j = g_i^{-1}$이다.
• 가환성: 군이 아벨군일 필요충분조건은 표가 주대각선에 대해 대칭인 것이다.
• 라틴방진 성질: 각 원소가 각 행과 각 열에 정확히 한 번씩 나타난다. (정리 4.26 참조.)

정리 4.26 (라틴방진 성질)

유한군 $G$의 Cayley 표에서 각 행과 각 열은 $G$의 순열이다.

증명

$a \in G$를 고정하고 $a$로 표지된 행을 생각하자: 그것은 원소들 $\{a g_1, a g_2, \ldots, a g_n\}$으로 이루어진다.

중복 없음(단사성). $ag_i = ag_j$이면 좌소거(정리 4.21)에 의해 $g_i = g_j$이다. 따라서 그 행의 모든 항목은 서로 다르다.

완비성(전사성). $G$가 유한이고 우리에게 $G$의 서로 다른 $|G|$개의 원소가 있으므로, 그 행은 $G$의 모든 원소를 정확히 한 번씩 포함한다.

형식적으로, $L_a(x) = ax$로 정의되는 사상 $L_a : G \to G$는 소거에 의해 단사이다. $G$가 유한이므로 유한집합에서 자기 자신으로의 단사 사상은 전사이기도 하다. 따라서 $a$의 행은 $G$의 순열이다.

같은 논증을 우소거와 사상 $R_a(x) = xa$를 사용하여 적용하면 열에 대해서도 그 결과가 증명된다. $\blacksquare$

비고. 역은 성립하지 않는다: 항등원 행/열을 갖는 모든 라틴방진이 군에서 나오는 것은 아니다. 라틴방진 성질은 소거를 보장하지만 결합법칙은 여전히 검증해야 한다.

§4.12 유한군과 위수

정의 4.27 (군의 위수)

군 $G$의 위수(order)는 $|G|$로 쓰며, ($G$가 유한이면) $G$의 원소의 개수이다.

정의 4.28 (원소의 위수)

$G$가 군이고 $a \in G$라 하자. $a$의 위수는 $\operatorname{ord}(a)$ 또는 $|a|$로 쓰며, $a^n = e$를 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n$이다. 그러한 $n$이 존재하지 않으면 $a$는 무한 위수를 갖는다.

원소 위수의 풀이 계산:

§4.13 Lang의 구조적 관점: 범주로서의 군

군은 모든 사상이 가역인, 대상이 하나뿐인 범주(대상을 $\ast$라 부르자)로 재해석될 수 있다:

공리가 들어맞는다: 사상의 합성은 결합적이고, 항등사상이 존재하며, 모든 사상의 가역성이 역원 공리를 준다.

이 관점이 설명해 주는 것:

• 준동형사상(homomorphism) $\varphi : G \to H$는 대응하는 일대상 범주 사이의 함자이다(단일 대상을 단일 대상으로 보내고 합성을 존중한다).
• 군 공리는 정확히 가역 합성에 필요한 구조를 부호화하며, 이것이 바로 동일한 패턴(결합법칙 + 항등원 + 역원)이 선형대수($GL_n$), 위상수학(기본군), 기하학(등거리변환군)에서 나타나는 이유이다.
• 이후의 구성들 — 직접곱, 몫군, 군 작용 — 은 모두 범주 $\mathbf{Grp}$로 제한된 범주론적 구성(곱, 공동등화자, $\mathbf{Set}$으로의 함자)이다.

지금으로서는 범주론적 관점을 위의 구체적인 증명을 대체하는 것이 아니라, 공리가 왜 그러한 형태인지를 밝혀 주는 구조적 번역으로 기능하게 두는 것이 좋다.

§4.15 플래시카드용 요약

제4장의 핵심 사실

1. 군 공리(확인 순서대로): 닫힘성(이항연산으로부터), 결합법칙, 항등원, 역원.
2. 아벨군 = 가환: 모든 원소에 대해 $ab = ba$.
3. 표준 군: $(\mathbb{Z}, +)$, $(\mathbb{Q}^{*}, \cdot)$, $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$, $(\mathbb{Z}_n, +)$, $GL_n(\mathbb{R})$, $U(n)$, $\mu_n$.
4. 첫 번째 비아벨 예제: $GL_2(\mathbb{R})$.
5. 위수 4인 두 군: $\mathbb{Z}_4$(순환군, 위수 4인 원소를 가짐)와 $V_4$(항등원 아닌 모든 원소의 위수가 2).
6. $U(8) \cong V_4 \cong U(12)$ (모든 원소가 항등원으로 제곱된다).
7. 항등원은 유일하고, 역원도 유일하다.
8. 소거: $ax = ay \Rightarrow x = y$; $xa = ya \Rightarrow x = y$.
9. 방정식 풀이: $ax = b$는 유일한 해 $x = a^{-1}b$를 갖는다.
10. 양말과 신발: $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.
11. 이중 역원: $(a^{-1})^{-1} = a$.
12. 모든 $a \in G$에 대해 $a^2 = e$ $\Longrightarrow$ $G$는 아벨군이다.
13. Cayley 표의 행/열은 $G$의 순열이다(라틴방진 성질, 소거로 증명됨).
14. Lang의 렌즈: 군은 모든 사상이 가역인 일대상 범주이다.

제4장을 떠나기 전에 숙달해야 할 것

• 군의 정의를 깔끔하게 진술한다(네 공리, 아벨 변형).
• 제안된 군 구조를 체계적으로 검증한다: 닫힘성, 결합법칙, 항등원, 역원.
• 표준 예제를 즉시 알아본다: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}^{*}$, $\mathbb{R}^{*}$, $\mathbb{Z}_n$, $GL_n(\mathbb{R})$, $U(n)$, $\mu_n$.
• 비예제에서 처음 무너지는 공리를 진단한다.
• 작은 군의 Cayley 표를 작성하고 항등원, 역원, 가환성을 읽어 낸다.
• 원소의 위수로, 그리고 부분군 구조로 $\mathbb{Z}_4$와 $V_4$를 구별한다.
• 표를 통해 $V_4 \cong U(8)$임을 보인다.
• 항등원과 역원의 유일성을 노트 없이 증명한다.
• 소거법칙과 $ax = b$, $ya = b$의 유일가해성을 증명한다.
• 양말과 신발 규칙 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$과 이중 역원 $(a^{-1})^{-1} = a$를 증명한다.
• 모든 $a$에 대해 $a^2 = e$이면 $G$가 아벨군임을 증명한다.
• Cayley 표의 라틴방진 성질을 증명한다.
• $\mathbb{Z}_n$과 $U(n)$에서 원소의 위수를 계산한다.
• 군을 일대상 범주로 설명한다(Lang의 관점).