제3장 - 동형 이항 구조

동형사상은 이 강의에서 처음으로 등장하는 진정한 구조적 개념이다. 이는 두 대수적 대상이 기호의 집합으로서는 서로 달라 보일 수 있으나 대수적 체계로서는 동일할 수 있다는 발상을 담아낸다. 이 개념을 일단 체득하고 나면, 대수학은 원소들의 우연한 이름이 아니라 연산의 패턴에 관한 학문이 된다.

§3.1 정의

정의 3.1 (이항 구조)

**이항 구조(binary structure)**란 순서쌍 $\langle S, \ast \rangle$로서, 여기서 $S$는 집합이고 $\ast$는 $S$ 위의 이항 연산이다.

정의 3.2 (이항 구조의 동형사상)

$\langle S, \ast \rangle$와 $\langle S', \ast' \rangle$를 이항 구조라 하자. $\langle S, \ast \rangle$에서 $\langle S', \ast' \rangle$로의 **동형사상(isomorphism)**이란 전단사

로서 다음의 **준동형 성질(homomorphism property)**을 만족하는 것이다:

그러한 $\phi$가 존재하면, 두 구조가 **동형(isomorphic)**이라 말하고 $\langle S, \ast \rangle \cong \langle S', \ast' \rangle$로 쓴다.

비고 3.3 (정의가 요구하는 것)

동형사상은 다음을 만족해야 한다:

1. 함수일 것: $\phi : S \to S'$.
2. 단사일 것: $\phi(a) = \phi(b) \implies a = b$.
3. 전사일 것: $S'$의 모든 원소가 $\phi$의 상(image) 안에 있을 것.
4. 연산을 보존할 것: $\phi(a \ast b) = \phi(a) \ast' \phi(b)$.

조건 (4)를 만족하지 못하는 전단사는 동형사상이 아니다. 농도가 같다는 것은 필요조건이지만 충분조건과는 거리가 멀다.

비고 3.4 (조건을 가환 도식으로 읽기)

준동형 성질은 두 절차가 일치함을 말한다:

• 위쪽 경로: 먼저 $S$에서 곱한 뒤($a \ast b$를 계산), $\phi$로 이름을 바꾼다.
• 아래쪽 경로: 먼저 각 인자의 이름을 바꾼 뒤($\phi(a)$와 $\phi(b)$), $S'$에서 곱한다.

그림: 동형사상은 연산 사각형을 가환이 되게 한다.

위쪽 경로는 먼저 곱한 뒤 이름을 바꾸고, 아래쪽 경로는 먼저 이름을 바꾼 뒤 곱한다. 동형사상이라는 것은 이 두 경로가 일치함을 의미한다.

이 사각형이 가환이라는 사실이 곧 정의의 구조적 내용이다.

§3.2 두 구조가 동형임을 증명하기

비고 3.5 (전략)

$\langle S, \ast \rangle \cong \langle S', \ast' \rangle$를 증명하려면:

1. 명시적인 사상 $\phi : S \to S'$을 정의한다.
2. $\phi$가 단사임을 증명한다.
3. $\phi$가 전사임을 증명한다.
4. 준동형 성질 $\phi(a \ast b) = \phi(a) \ast' \phi(b)$을 확인한다.

예제 3.6 ($\exp$를 통한 $(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \cdot)$)

$\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$를 $\phi(x) = e^x$로 정의한다.

단사: $e^x = e^y$이면 $x = y$이다 ($\ln$이 잘 정의되므로).

전사: 임의의 $y \in \mathbb{R}^+ = (0, \infty)$에 대하여 $\phi(\ln y) = e^{\ln y} = y$이다.

준동형 성질:

따라서 $(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \cdot)$이다. 역 동형사상은 $\phi^{-1} = \ln$이다.

왜 중요한가: 이는 덧셈 문제를 곱셈 문제로 변환해 준다. 예를 들어 덧셈 방정식 $x + y = c$는 곱셈의 세계에서 $e^x \cdot e^y = e^c$이 된다.

예제 3.7 (두 배 사상을 통한 $(\mathbb{Z}, +) \cong (2\mathbb{Z}, +)$)

$\phi : \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}$를 $\phi(n) = 2n$으로 정의한다.

단사: $2m = 2n \implies m = n$.

전사: 모든 $2k \in 2\mathbb{Z}$는 $\phi(k)$이다.

준동형: $\phi(m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = \phi(m) + \phi(n)$.

따라서 $2\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z}$임에도 $(\mathbb{Z}, +) \cong (2\mathbb{Z}, +)$이다.

예제 3.8 ($U_7 \cong \mathbb{Z}_6$)

$U_7 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$을 $7$을 법으로 하는 곱셈에 대한 집합이라 하자. 원소 $3$은 $U_7$을 생성한다:

$\phi : \mathbb{Z}_6 \to U_7$를 $\phi(\bar{k}) = 3^k \bmod 7$로 정의한다. 그러면:

$3$의 거듭제곱이 $U_7$의 모든 원소를 빠짐없이 취하고 $|\mathbb{Z}_6| = |U_7| = 6$이므로, 이 사상은 전단사이다. 따라서 $\mathbb{Z}_6 \cong U_7$이다.

§3.3 동형사상에 의해 보존되는 구조적 성질

정리 3.9 (동형사상은 구조적 성질을 보존한다)

$\phi : \langle S, \ast \rangle \to \langle S', \ast' \rangle$를 동형사상이라 하자. 그러면:

1. $e$가 $\ast$에 대한 항등원이면, $\phi(e)$는 $\ast'$에 대한 항등원이다.
2. $b$가 $a$의 역원이면, $\phi(b)$는 $\phi(a)$의 역원이다.
3. $\ast$가 가환일 필요충분조건은 $\ast'$가 가환인 것이다.
4. $\ast$가 결합적일 필요충분조건은 $\ast'$가 결합적인 것이다.
5. (군의 맥락에서) 모든 $a$에 대하여 $\operatorname{ord}(a) = \operatorname{ord}(\phi(a))$이다.

증명 (1번과 2번)

(1) 항등원. $e$를 $S$의 항등원이라 하자. 임의의 $a' \in S'$에 대하여, 전사성에 의해 어떤 $a \in S$에 대해 $a' = \phi(a)$이다. 그러면:

$$\phi(e) \ast' a' = \phi(e) \ast' \phi(a) = \phi(e \ast a) = \phi(a) = a'.$$

마찬가지로 $a' \ast' \phi(e) = a'$이다. 따라서 $\phi(e)$는 $S'$의 항등원이다.

(2) 역원. $a \ast b = b \ast a = e$라 하자. 그러면:

$$\phi(a) \ast' \phi(b) = \phi(a \ast b) = \phi(e) = e',$$

이고 마찬가지로 $\phi(b) \ast' \phi(a) = e'$이다. 따라서 $\phi(b)$는 $\phi(a)$의 역원이다. $\blacksquare$

증명 (5번: 위수 보존)

$\phi(a) = a'$라 하자. $\operatorname{ord}(a) = \operatorname{ord}(a')$임을 보인다.

준동형 성질에 의해, 모든 $n \geq 1$에 대하여 $\phi(a^n) = \phi(a)^n = (a')^n$이다 ($n$에 대한 귀납법으로).

만약 $a^m = e$이면 $(a')^m = \phi(a^m) = \phi(e) = e'$이므로 $\operatorname{ord}(a') \mid m$이고, 따라서 $\operatorname{ord}(a') \leq \operatorname{ord}(a)$이다.

역으로, 만약 $(a')^m = e'$이면 $\phi(a^m) = e' = \phi(e)$이다. $\phi$가 단사이므로 $a^m = e$이고, 따라서 $\operatorname{ord}(a) \leq \operatorname{ord}(a')$이다.

그러므로 $\operatorname{ord}(a) = \operatorname{ord}(a')$이다. $\blacksquare$

§3.4 두 구조가 동형이 아님을 증명하기

비고 3.10 (불변량 방법)

$\langle S, \ast \rangle \not\cong \langle S', \ast' \rangle$를 증명하기 위해 가능한 모든 전단사를 검사하지는 않는다. 대신, 한 구조는 가지고 있으나 다른 구조는 가지고 있지 않은 구조적 불변량(structural invariant), 즉 모든 동형사상에 의해 보존되는 성질을 찾는다.

흔히 쓰이는 불변량:

예제 3.11 ($\mathbb{Z}_4 \not\cong V_4$)

두 군 모두 위수가 $4$이다. $\mathbb{Z}_4$에서는 원소 $\bar{1}$의 위수가 $4$이다. $V_4 = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$에서는 항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2$이다:

$\mathbb{Z}_4 \not\cong V_4$의 증명

모든 동형사상은 원소의 위수를 보존한다 (정리 3.9의 5번). $\mathbb{Z}_4$에서는 원소 $\bar{1}$의 위수가 $4$이다. $V_4$에서는 어떤 원소도 위수가 $4$가 아니다 (최대 위수는 $2$이다). 따라서 동형사상은 존재할 수 없다. $\blacksquare$

사용한 불변량: 위수가 $4$인 원소의 존재.

예제 3.12 ($(\mathbb{Z}, +) \not\cong (\mathbb{Q}, +)$)

둘 다 무한 아벨군이다. 불변량은 순환성이다. $(\mathbb{Z}, +)$는 ($1$이 생성하는) 순환군이다. $(\mathbb{Q}, +)$는 순환군이 아니다: 임의의 $q \in \mathbb{Q}$에 대하여 부분군 $\langle q \rangle = \{nq : n \in \mathbb{Z}\}$은 $q/2$를 (또는 대부분의 유리수를) 놓친다. 순환성은 동형사상에 의해 보존되므로 $\mathbb{Z} \not\cong \mathbb{Q}$이다.

예제 3.13 ($(\mathbb{R}, +) \not\cong (\mathbb{R}, \cdot)$)

$(\mathbb{R}, \cdot)$는 애초에 군조차 아니다 ($0$에는 곱셈에 대한 역원이 없다). 따라서 군 구조의 비교는 적용되지 않는다.

대신 $(\mathbb{R}, +)$와 $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$인 $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$를 비교한다면: $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$에서는 방정식 $x^2 = 1$이 두 개의 해($x = \pm 1$)를 갖는다. $(\mathbb{R}, +)$에서는 방정식 $x + x = 0$ (즉 $2x = 0$)이 정확히 하나의 해($x = 0$)를 갖는다. 동형사상은 $x^2 = e$의 해의 개수를 보존하므로 $(\mathbb{R}, +) \not\cong (\mathbb{R}^{*}, \cdot)$를 얻는다.

(참고: $(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \cdot)$이지만 $(\mathbb{R}^{*}, \cdot)$와는 동형이 아니다.)

§3.5 동형은 동치관계이다

정리 3.14

이항 구조 위의 관계 "$\cong$"는 동치관계이다:

1. 반사적: $\mathrm{id}_S$를 통해 $\langle S, \ast \rangle \cong \langle S, \ast \rangle$.
2. 대칭적: $\phi : S \to S'$가 동형사상이면 $\phi^{-1} : S' \to S$도 동형사상이다.
3. 추이적: $\phi : S \to S'$와 $\psi : S' \to S''$가 동형사상이면 $\psi \circ \phi : S \to S''$도 동형사상이다.

증명

(1) 항등 사상 $\mathrm{id}_S(a) = a$는 전단사이고, $\mathrm{id}_S(a \ast b) = a \ast b = \mathrm{id}_S(a) \ast \mathrm{id}_S(b)$이다.

(2) $\phi^{-1}$은 전단사이다. $a', b' \in S'$에 대하여 $a = \phi^{-1}(a')$, $b = \phi^{-1}(b')$라 하자. 그러면 $\phi(a \ast b) = \phi(a) \ast' \phi(b) = a' \ast' b'$이므로 $a \ast b = \phi^{-1}(a' \ast' b')$이다. 즉, $\phi^{-1}(a') \ast \phi^{-1}(b') = \phi^{-1}(a' \ast' b')$이다.

(3) $\psi \circ \phi$는 전단사이다 (전단사들의 합성). $a, b \in S$에 대하여:

$$(\psi \circ \phi)(a \ast b) = \psi(\phi(a \ast b)) = \psi(\phi(a) \ast' \phi(b)) = \psi(\phi(a)) \ast'' \psi(\phi(b)) = (\psi \circ \phi)(a) \ast'' (\psi \circ \phi)(b).$$

$\blacksquare$

§3.6 반례: 연산을 보존하지 않는 전단사

예제 3.15 (동형사상이 아닌 전단사)

$\phi : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +)$를 다음으로 정의한다:

이는 전단사이다 ($\phi$는 모든 정수를 $1$만큼 평행이동시키며, 역사상은 $\phi^{-1}(n) = n - 1$이다). 그러나:

$a + b + 1 \neq a + b + 2$이므로 준동형 성질이 성립하지 않는다. 따라서 $\phi$는 전단사이지만 동형사상은 아니다.

교훈: 농도가 같다는 것은 (심지어 명시적인 전단사가 있더라도) 동형을 함의하지 않는다. 연산이 보존되어야만 한다.

숙달 점검표

• 전단사성과 준동형 성질을 모두 포함하여 동형사상의 정의를 정확히 진술한다.
• 모든 조건을 확인하면서 $\exp$를 통해 $(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \cdot)$를 증명한다.
• 불변량 논증으로 비동형성을 증명한다 (예: $\mathbb{Z}_4 \not\cong V_4$).
• 연산을 보존하지 않는 전단사가 동형사상이 아닌 이유를 설명한다.
• 동형사상에 의해 보존되는 구조적 성질을 적어도 네 가지 나열한다.
• $\cong$가 이항 구조 위의 동치관계임을 확인한다.
• $\mathbb{Z}_n$과 위수가 같은 순환 곱셈군 사이의 명시적인 동형사상을 구성한다.