제3장 - 동형 이항 구조

동형사상은 이 강의에서 처음으로 등장하는 진정한 구조적 개념이다. 이는 두 대수적 대상이 기호의 집합으로서는 서로 달라 보일 수 있으나 대수적 체계로서는 동일할 수 있다는 발상을 담아낸다. 이 개념을 일단 체득하고 나면, 대수학은 원소들의 우연한 이름이 아니라 연산의 패턴에 관한 학문이 된다.

§3.1 정의

정의 3.1 (이항 구조)

**이항 구조(binary structure)**란 순서쌍 $⟨S,\ast ⟩$로서, 여기서 $S$는 집합이고 $\ast$는 $S$ 위의 이항 연산이다.

정의 3.2 (이항 구조의 동형사상)

$⟨S,\ast ⟩$와 $⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$를 이항 구조라 하자. $⟨S,\ast ⟩$에서 $⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$로의 **동형사상(isomorphism)**이란 전단사

로서 다음의 **준동형 성질(homomorphism property)**을 만족하는 것이다:

그러한 $\varphi$가 존재하면, 두 구조가 **동형(isomorphic)**이라 말하고 $⟨S,\ast ⟩\cong ⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$로 쓴다.

비고 3.3 (정의가 요구하는 것)

동형사상은 다음을 만족해야 한다:

1. 함수일 것: $\varphi :S\to S^{\prime }$.
2. 단사일 것: $\varphi (a)=\varphi (b)⟹a=b$.
3. 전사일 것: $S^{\prime }$의 모든 원소가 $\varphi$의 상(image) 안에 있을 것.
4. 연산을 보존할 것: $\varphi (a\ast b)=\varphi (a){\ast }^{\prime }\varphi (b)$.

조건 (4)를 만족하지 못하는 전단사는 동형사상이 아니다. 농도가 같다는 것은 필요조건이지만 충분조건과는 거리가 멀다.

비고 3.4 (조건을 가환 도식으로 읽기)

준동형 성질은 두 절차가 일치함을 말한다:

• 위쪽 경로: 먼저 $S$에서 곱한 뒤($a\ast b$를 계산), $\varphi$로 이름을 바꾼다.
• 아래쪽 경로: 먼저 각 인자의 이름을 바꾼 뒤($\varphi (a)$와 $\varphi (b)$), $S^{\prime }$에서 곱한다.

그림: 동형사상은 연산 사각형을 가환이 되게 한다.

위쪽 경로는 먼저 곱한 뒤 이름을 바꾸고, 아래쪽 경로는 먼저 이름을 바꾼 뒤 곱한다. 동형사상이라는 것은 이 두 경로가 일치함을 의미한다.

이 사각형이 가환이라는 사실이 곧 정의의 구조적 내용이다.

§3.2 두 구조가 동형임을 증명하기

비고 3.5 (전략)

$⟨S,\ast ⟩\cong ⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$를 증명하려면:

1. 명시적인 사상 $\varphi :S\to S^{\prime }$을 정의한다.
2. $\varphi$가 단사임을 증명한다.
3. $\varphi$가 전사임을 증명한다.
4. 준동형 성질 $\varphi (a\ast b)=\varphi (a){\ast }^{\prime }\varphi (b)$을 확인한다.

예제 3.6 ($\exp$를 통한 $(\mathbb{R},+)\cong ({\mathbb{R}}^{+},\cdot )$)

$\varphi :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$를 $\varphi (x)=e^x$로 정의한다.

단사: $e^x=e^y$이면 $x=y$이다 ($\ln$이 잘 정의되므로).

전사: 임의의 $y\in {\mathbb{R}}^{+}=(0,\infty )$에 대하여 $\varphi (\ln y)=e^{\ln y}=y$이다.

준동형 성질:

따라서 $(\mathbb{R},+)\cong ({\mathbb{R}}^{+},\cdot )$이다. 역 동형사상은 ${\varphi }^{-1}=\ln$이다.

왜 중요한가: 이는 덧셈 문제를 곱셈 문제로 변환해 준다. 예를 들어 덧셈 방정식 $x+y=c$는 곱셈의 세계에서 $e^x\cdot e^y=e^c$이 된다.

예제 3.7 (두 배 사상을 통한 $(\mathbb{Z},+)\cong (2\mathbb{Z},+)$)

$\varphi :\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z}$를 $\varphi (n)=2n$으로 정의한다.

단사: $2m=2n⟹m=n$.

전사: 모든 $2k\in 2\mathbb{Z}$는 $\varphi (k)$이다.

준동형: $\varphi (m+n)=2(m+n)=2m+2n=\varphi (m)+\varphi (n)$.

따라서 $2\mathbb{Z}⊊\mathbb{Z}$임에도 $(\mathbb{Z},+)\cong (2\mathbb{Z},+)$이다.

예제 3.8 ($U_7\cong {\mathbb{Z}}_6$)

$U_7=\{1,2,3,4,5,6\}$을 $7$을 법으로 하는 곱셈에 대한 집합이라 하자. 원소 $3$은 $U_7$을 생성한다:

$\varphi :{\mathbb{Z}}_6\to U_7$를 $\varphi (\bar{k})=3^k\mathrm{mod}7$로 정의한다. 그러면:

$3$의 거듭제곱이 $U_7$의 모든 원소를 빠짐없이 취하고 $|{\mathbb{Z}}_6|=|U_7|=6$이므로, 이 사상은 전단사이다. 따라서 ${\mathbb{Z}}_6\cong U_7$이다.

§3.3 동형사상에 의해 보존되는 구조적 성질

정리 3.9 (동형사상은 구조적 성질을 보존한다)

$\varphi :⟨S,\ast ⟩\to ⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$를 동형사상이라 하자. 그러면:

1. $e$가 $\ast$에 대한 항등원이면, $\varphi (e)$는 ${\ast }^{\prime }$에 대한 항등원이다.
2. $b$가 $a$의 역원이면, $\varphi (b)$는 $\varphi (a)$의 역원이다.
3. $\ast$가 가환일 필요충분조건은 ${\ast }^{\prime }$가 가환인 것이다.
4. $\ast$가 결합적일 필요충분조건은 ${\ast }^{\prime }$가 결합적인 것이다.
5. (군의 맥락에서) 모든 $a$에 대하여 $\mathrm{ord}(a)=\mathrm{ord}(\varphi (a))$이다.

증명 (1번과 2번)

(1) 항등원. $e$를 $S$의 항등원이라 하자. 임의의 $a^{\prime }\in S^{\prime }$에 대하여, 전사성에 의해 어떤 $a\in S$에 대해 $a^{\prime }=\varphi (a)$이다. 그러면:

$$\varphi (e){\ast }^{\prime }{a}^{\prime }=\varphi (e){\ast }^{\prime }\varphi (a)=\varphi (e\ast a)=\varphi (a)=a^{\prime }.$$

마찬가지로 $a^{\prime }{\ast }^{\prime }\varphi (e)=a^{\prime }$이다. 따라서 $\varphi (e)$는 $S^{\prime }$의 항등원이다.

(2) 역원. $a\ast b=b\ast a=e$라 하자. 그러면:

$$\varphi (a){\ast }^{\prime }\varphi (b)=\varphi (a\ast b)=\varphi (e)=e^{\prime },$$

이고 마찬가지로 $\varphi (b){\ast }^{\prime }\varphi (a)=e^{\prime }$이다. 따라서 $\varphi (b)$는 $\varphi (a)$의 역원이다. $■$

증명 (5번: 위수 보존)

$\varphi (a)=a^{\prime }$라 하자. $\mathrm{ord}(a)=\mathrm{ord}(a^{\prime })$임을 보인다.

준동형 성질에 의해, 모든 $n\ge 1$에 대하여 $\varphi (a^n)=\varphi (a{)}^n=(a^{\prime }{)}^n$이다 ($n$에 대한 귀납법으로).

만약 $a^m=e$이면 $(a^{\prime }{)}^m=\varphi (a^m)=\varphi (e)=e^{\prime }$이므로 $\mathrm{ord}(a^{\prime })\mid m$이고, 따라서 $\mathrm{ord}(a^{\prime })\le \mathrm{ord}(a)$이다.

역으로, 만약 $(a^{\prime }{)}^m=e^{\prime }$이면 $\varphi (a^m)=e^{\prime }=\varphi (e)$이다. $\varphi$가 단사이므로 $a^m=e$이고, 따라서 $\mathrm{ord}(a)\le \mathrm{ord}(a^{\prime })$이다.

그러므로 $\mathrm{ord}(a)=\mathrm{ord}(a^{\prime })$이다. $■$

§3.4 두 구조가 동형이 아님을 증명하기

비고 3.10 (불변량 방법)

$⟨S,\ast ⟩\ncong ⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$를 증명하기 위해 가능한 모든 전단사를 검사하지는 않는다. 대신, 한 구조는 가지고 있으나 다른 구조는 가지고 있지 않은 구조적 불변량(structural invariant), 즉 모든 동형사상에 의해 보존되는 성질을 찾는다.

흔히 쓰이는 불변량:

예제 3.11 (${\mathbb{Z}}_4\ncong V_4$)

두 군 모두 위수가 $4$이다. ${\mathbb{Z}}_4$에서는 원소 $\bar{1}$의 위수가 $4$이다. $V_4={\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$에서는 항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2$이다:

${\mathbb{Z}}_4\ncong V_4$의 증명

모든 동형사상은 원소의 위수를 보존한다 (정리 3.9의 5번). ${\mathbb{Z}}_4$에서는 원소 $\bar{1}$의 위수가 $4$이다. $V_4$에서는 어떤 원소도 위수가 $4$가 아니다 (최대 위수는 $2$이다). 따라서 동형사상은 존재할 수 없다. $■$

사용한 불변량: 위수가 $4$인 원소의 존재.

예제 3.12 ($(\mathbb{Z},+)\ncong (\mathbb{Q},+)$)

둘 다 무한 아벨군이다. 불변량은 순환성이다. $(\mathbb{Z},+)$는 ($1$이 생성하는) 순환군이다. $(\mathbb{Q},+)$는 순환군이 아니다: 임의의 $q\in \mathbb{Q}$에 대하여 부분군 $⟨q⟩=\{nq:n\in \mathbb{Z}\}$은 $q/2$를 (또는 대부분의 유리수를) 놓친다. 순환성은 동형사상에 의해 보존되므로 $\mathbb{Z}\ncong \mathbb{Q}$이다.

예제 3.13 ($(\mathbb{R},+)\ncong (\mathbb{R},\cdot )$)

$(\mathbb{R},\cdot )$는 애초에 군조차 아니다 ($0$에는 곱셈에 대한 역원이 없다). 따라서 군 구조의 비교는 적용되지 않는다.

대신 $(\mathbb{R},+)$와 ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$인 $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$를 비교한다면: $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$에서는 방정식 $x^2=1$이 두 개의 해($x=\pm 1$)를 갖는다. $(\mathbb{R},+)$에서는 방정식 $x+x=0$ (즉 $2x=0$)이 정확히 하나의 해($x=0$)를 갖는다. 동형사상은 $x^2=e$의 해의 개수를 보존하므로 $(\mathbb{R},+)\ncong ({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$를 얻는다.

(참고: $(\mathbb{R},+)\cong ({\mathbb{R}}^{+},\cdot )$이지만 $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$와는 동형이 아니다.)

§3.5 동형은 동치관계이다

정리 3.14

이항 구조 위의 관계 "$\cong$"는 동치관계이다:

1. 반사적: ${\mathrm{id}}_S$를 통해 $⟨S,\ast ⟩\cong ⟨S,\ast ⟩$.
2. 대칭적: $\varphi :S\to S^{\prime }$가 동형사상이면 ${\varphi }^{-1}:S^{\prime }\to S$도 동형사상이다.
3. 추이적: $\varphi :S\to S^{\prime }$와 $\psi :S^{\prime }\to S^{\prime \prime }$가 동형사상이면 $\psi \circ \varphi :S\to S^{\prime \prime }$도 동형사상이다.

증명

(1) 항등 사상 ${\mathrm{id}}_S(a)=a$는 전단사이고, ${\mathrm{id}}_S(a\ast b)=a\ast b={\mathrm{id}}_S(a)\ast {\mathrm{id}}_S(b)$이다.

(2) ${\varphi }^{-1}$은 전단사이다. $a^{\prime },b^{\prime }\in S^{\prime }$에 대하여 $a={\varphi }^{-1}(a^{\prime })$, $b={\varphi }^{-1}(b^{\prime })$라 하자. 그러면 $\varphi (a\ast b)=\varphi (a){\ast }^{\prime }\varphi (b)=a^{\prime }{\ast }^{\prime }{b}^{\prime }$이므로 $a\ast b={\varphi }^{-1}(a^{\prime }{\ast }^{\prime }{b}^{\prime })$이다. 즉, ${\varphi }^{-1}(a^{\prime })\ast {\varphi }^{-1}(b^{\prime })={\varphi }^{-1}(a^{\prime }{\ast }^{\prime }{b}^{\prime })$이다.

(3) $\psi \circ \varphi$는 전단사이다 (전단사들의 합성). $a,b\in S$에 대하여:

$$(\psi \circ \varphi )(a\ast b)=\psi (\varphi (a\ast b))=\psi (\varphi (a){\ast }^{\prime }\varphi (b))=\psi (\varphi (a)){\ast }^{\prime \prime }\psi (\varphi (b))=(\psi \circ \varphi )(a){\ast }^{\prime \prime }(\psi \circ \varphi )(b).$$

$■$

§3.6 반례: 연산을 보존하지 않는 전단사

예제 3.15 (동형사상이 아닌 전단사)

$\varphi :(\mathbb{Z},+)\to (\mathbb{Z},+)$를 다음으로 정의한다:

이는 전단사이다 ($\varphi$는 모든 정수를 $1$만큼 평행이동시키며, 역사상은 ${\varphi }^{-1}(n)=n-1$이다). 그러나:

$a+b+1\ne a+b+2$이므로 준동형 성질이 성립하지 않는다. 따라서 $\varphi$는 전단사이지만 동형사상은 아니다.

교훈: 농도가 같다는 것은 (심지어 명시적인 전단사가 있더라도) 동형을 함의하지 않는다. 연산이 보존되어야만 한다.

숙달 점검표

• 전단사성과 준동형 성질을 모두 포함하여 동형사상의 정의를 정확히 진술한다.
• 모든 조건을 확인하면서 $\exp$를 통해 $(\mathbb{R},+)\cong ({\mathbb{R}}^{+},\cdot )$를 증명한다.
• 불변량 논증으로 비동형성을 증명한다 (예: ${\mathbb{Z}}_4\ncong V_4$).
• 연산을 보존하지 않는 전단사가 동형사상이 아닌 이유를 설명한다.
• 동형사상에 의해 보존되는 구조적 성질을 적어도 네 가지 나열한다.
• $\cong$가 이항 구조 위의 동치관계임을 확인한다.
• ${\mathbb{Z}}_n$과 위수가 같은 순환 곱셈군 사이의 명시적인 동형사상을 구성한다.