제2장 - 이항연산

이항연산은 대수학이 정밀해지는 지점이다. “집합 위의 연산”이라는 표현은 반드시 진정한 함수 $S \times S \to S$를 뜻해야 하며, 이 한 문장만으로 이미 닫힘성이 포함된다. 이 장에서는 완전한 군 공리가 등장하기 전에 연산의 성질들을 따로 떼어 살펴본다.

§2.1 정의

정의 2.1 (이항연산)

집합 $S$ 위의 이항연산(binary operation)은 함수

이다. $(a, b) \in S \times S$에 대하여 그 출력은 $a \ast b$로 쓴다. $\ast$가 $S$ 안으로 사상한다는 요구 조건은 닫힘성이 정의 안에 내장되어 있음을 뜻한다. 즉 모든 $a, b \in S$에 대하여 $a \ast b \in S$이다.

비고 2.2 (닫힘성은 별도의 공리가 아니다)

“$\ast$는 $S$ 위의 이항연산이다”라고 말하는 순간, 우리는 이미 닫힘성을 주장한 것이다. 어떤 규칙이 특정 순서쌍을 $S$ 밖으로 보내거나 특정 순서쌍에서 정의되지 않는다면, 그것은 $S$ 위의 이항연산이 아니다. 그 이상의 성질을 점검하기 전에, 논의는 거기서 멈추어야 한다.

§2.2 이항연산의 성질

정의 2.3 (교환법칙)

$S$ 위의 이항연산 $\ast$가 다음을 만족하면 교환적(commutative)이라 한다.

정의 2.4 (결합법칙)

$S$ 위의 이항연산 $\ast$가 다음을 만족하면 결합적(associative)이라 한다.

그림: 결합법칙은 세 원소를 곱하는 두 가지 방식을 비교한다.

이 도식은, 앞의 두 항을 먼저 결합하든 뒤의 두 항을 먼저 결합하든 반드시 $S$의 동일한 원소에 도달해야 함을 말한다.

정의 2.5 (항등원)

원소 $e \in S$가 다음을 만족하면 $\ast$에 대한 항등원(identity)이라 한다.

정의 2.6 (역원)

$\ast$가 항등원 $e$를 가진다고 하자. 원소 $b \in S$가 다음을 만족하면 $a \in S$의 역원(inverse)이라 한다.

§2.3 예와 반례

예 2.7 (표준적인 이항연산들)

예 2.8 (뺄셈은 결합적이지 않다)

$\mathbb{Z}$ 위에서 뺄셈은 이항연산이다(닫혀 있음: $a - b \in \mathbb{Z}$). 그러나:

$1 \neq 3$이므로 뺄셈은 결합적이지 않다. 또한 $0$은 우항등원($a - 0 = a$)이지만 좌항등원은 아니다($a \neq 0$에 대하여 $0 - a = -a \neq a$). 따라서 양쪽 항등원은 존재하지 않는다.

예 2.9 (나눗셈은 $\mathbb{Z}$ 위의 이항연산이 아니다)

규칙 $a / b$는 $b = 0$에서 정의되지 않으며, 정의되는 경우에도 $1/2 \notin \mathbb{Z}$이다. 따라서 $/ : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$는 함수가 아니다. 논의는 여기서 멈춘다.

예 2.10 (좌측 사영 연산)

임의의 공집합이 아닌 집합 $S$ 위에서 $a \ast b = a$로 정의하자. 이것은 이항연산이다.

• 닫힘성: $a \ast b = a \in S$. 성립.
• 결합적: $(a \ast b) \ast c = a \ast c = a$이고, $a \ast (b \ast c) = a \ast b = a$. 성립.
• 교환적: $a \ast b = a$ 대 $b \ast a = b$; $a = b$가 아니면 성립하지 않음. ($|S| \geq 2$이면) 교환적이지 않음.
• 항등원: 모든 $a$에 대하여 $e \ast a = a$가 필요하다. 그러나 $e \ast a = e$이므로 모든 $a$에 대하여 $e = a$가 되어야 하는데, $|S| \geq 2$이면 불가능하다. 항등원 없음.

이 예는 결합법칙만으로는 가역성에 관해 아무것도 강제하지 못함을 보여 준다.

예 2.11 ($\{0, 1, 2\}$ 위의 최댓값 연산)

$S = \{0, 1, 2\}$ 위에서 $a \ast b = \max\{a, b\}$로 정의하자. 이것은 결합적이고 교환적이며, $0$을 항등원으로 가진다($\max\{0, a\} = a$). 그러나 역원을 가지는 원소는 $0$뿐이며(그 자신), $\max\{a, b\} = 0$이려면 $a = b = 0$이어야 하기 때문이다. 군이 아니다.

§2.4 유한집합의 연산표

정의 2.12 (연산표 / 케일리 표)

이항연산 $\ast$를 가진 유한집합 $S = \{a_1, \ldots, a_n\}$에 대하여, 연산표(operation table) 또는 케일리 표(Cayley table)는 $(i, j)$-성분이 $a_i \ast a_j$인 $n \times n$ 배열이다.

예 2.13 (덧셈에 대한 $\mathbb{Z}_4$의 연산표)

표 읽기:

• 닫힘성: 자동으로 성립(모든 성분이 $\{0, 1, 2, 3\}$ 안에 있음).
• 교환법칙: 표가 주대각선에 대하여 대칭이다.
• 항등원: $0$에 대한 행이 머리글을 재현하며, 열도 마찬가지다.
• 역원: 모든 원소가 모든 행에 나타난다(라틴 방진 성질).

예 2.14 (결합적이지 않은 연산표)

$\{a, b\}$ 위에서 $\ast$를 다음과 같이 정의하자: $a \ast a = a$, $a \ast b = b$, $b \ast a = b$, $b \ast b = a$.

이것은 군의 표처럼 보인다(실제로 $\mathbb{Z}_2$이다). $a \mapsto 0$, $b \mapsto 1$의 대응 아래에서 연산 $\ast$는 $2$를 법으로 하는 덧셈이다. 군 공리도 표에서 직접 읽어 낼 수 있다: $a$가 항등원이며(그 행과 열이 머리글을 재현한다), 모든 원소가 자기 자신의 역원이다($a \ast a = a$, $b \ast b = a$).

그러나 한 성분을 바꾸어 보자: $b \ast a = a$로 두자.

이제 확인해 보면: $(b \ast' b) \ast' b = a \ast' b = b$이지만, $b \ast' (b \ast' b) = b \ast' a = a$이다. 결합적이지 않다. 그럴듯해 보이는 표라고 해서 결합법칙이 보장되는 것은 아니다.

비고 2.15 (결합법칙은 표를 한눈에 봐서는 읽어 낼 수 없다)

닫힘성, 항등원, 역원, 교환법칙은 모두 케일리 표에서 직접 확인할 수 있다. 그러나 결합법칙은 그렇지 않다: $n^3$개의 삼중쌍을 점검해야 한다. 작은 표에서는 손으로 확인하지만, 더 큰 구조에서는 이미 알려진 결합적 모태 연산으로부터 결합법칙을 물려받는다.

§2.5 항등원과 역원의 유일성

정리 2.16 (항등원의 유일성)

$S$ 위의 이항연산 $\ast$가 양쪽 항등원을 가지면, 그것은 유일하다.

증명

$e$와 $f$가 모두 양쪽 항등원이라 하자. 그러면:

$$e = e \ast f = f,$$

여기서 첫 번째 등식은 “$f$가 우항등원”임을, 두 번째 등식은 “$e$가 좌항등원”임을 사용한다. 따라서 $e = f$. $\blacksquare$

정리 2.17 (결합적 구조에서 역원의 유일성)

$\ast$가 항등원 $e$를 가지고 결합적이며, $a \in S$가 양쪽 역원을 가지면, 그 역원은 유일하다.

증명

$b$와 $c$가 모두 $a$의 양쪽 역원이라 하자:

$$a \ast b = b \ast a = e, \qquad a \ast c = c \ast a = e.$$

그러면:

$$b = b \ast e = b \ast (a \ast c) = (b \ast a) \ast c = e \ast c = c.$$

가운데 단계가 결합법칙을 사용한다. 따라서 $b = c$. $\blacksquare$

비고 2.18 (역원의 유일성에는 결합법칙이 본질적이다)

결합법칙이 없으면 역원이 유일할 필요가 없다. 위 증명은 정확히 한 곳에서 결합법칙을 사용한다: 재결합 $b \ast (a \ast c) = (b \ast a) \ast c$. 이것이 성립하지 않으면 논증은 무너진다.

§2.6 한쪽 자료가 양쪽 자료를 강제할 수 있다

정리 2.19 (좌항등원 + 좌역원 $\implies$ 군)

$(S, \ast)$가 좌항등원 $e$(즉 모든 $x$에 대하여 $e \ast x = x$)와 좌역원(각 $a$에 대하여 $\ell \ast a = e$인 $\ell$이 존재)을 가지는 결합적 이항 구조라 하자. 그러면 $e$는 양쪽 항등원이고 모든 좌역원은 양쪽 역원이다.

증명

좌역원 $\ell$($\ell \ast a = e$)을 가지는 $a \in S$를 고정하자. $m$을 $\ell$의 좌역원($m \ast \ell = e$)이라 하자. 그러면:

$$a = e \ast a = (m \ast \ell) \ast a = m \ast (\ell \ast a) = m \ast e = m.$$

이 논증은 너무 성급하다. 이 단계에서 우리는 아직 $e$가 우항등원임을 증명하지 않았기 때문이다. 그래서 주어진 가설만을 사용하는 계산으로 다시 시작한다.

$\ell \ast a = e$이고 $m \ast \ell = e$이다. 계산하면:

$$a \ast \ell = (e) \ast (a \ast \ell) = (m \ast \ell) \ast (a \ast \ell) = m \ast (\ell \ast a) \ast \ell = m \ast e \ast \ell = m \ast (e \ast \ell) = m \ast \ell = e.$$

따라서 $\ell$은 $a$의 우역원이기도 하다. 이제:

$$a \ast e = a \ast (\ell \ast a) = (a \ast \ell) \ast a = e \ast a = a.$$

따라서 $e$는 우항등원이기도 하다. $\blacksquare$

이 정리는 결합법칙이 대수를 얼마나 통제하는지 보여 준다: 순전히 한쪽뿐인 가설이 양쪽으로 확장된다.

숙달 점검표

• 이항연산의 정의를 진술하고, 왜 닫힘성이 별도의 공리가 아니라 정의의 일부인지 설명한다.
• 한쪽은 성립하지만 다른 쪽은 성립하지 않는 예를 들어 결합법칙과 교환법칙을 구별한다.
• 제안된 규칙이 이항연산이 되지 못하는(닫힘성이 깨지는) 반례를 제시한다.
• 항등원의 유일성을 증명한다.
• 결합법칙이 있을 때 역원의 유일성을 증명한다.
• 케일리 표를 읽어 항등원, 역원, 교환법칙을 추출하고, 왜 결합법칙은 읽어 낼 수 없는지 설명한다.
• “좌항등원 + 좌역원” 정리(정리 2.19)를 진술하고 설명한다.