제2장 - 이항연산

이항연산은 대수학이 정밀해지는 지점이다. “집합 위의 연산”이라는 표현은 반드시 진정한 함수 $S\times S\to S$를 뜻해야 하며, 이 한 문장만으로 이미 닫힘성이 포함된다. 이 장에서는 완전한 군 공리가 등장하기 전에 연산의 성질들을 따로 떼어 살펴본다.

§2.1 정의

정의 2.1 (이항연산)

집합 $S$ 위의 이항연산(binary operation)은 함수

이다. $(a,b)\in S\times S$에 대하여 그 출력은 $a\ast b$로 쓴다. $\ast$가 $S$ 안으로 사상한다는 요구 조건은 닫힘성이 정의 안에 내장되어 있음을 뜻한다. 즉 모든 $a,b\in S$에 대하여 $a\ast b\in S$이다.

비고 2.2 (닫힘성은 별도의 공리가 아니다)

“$\ast$는 $S$ 위의 이항연산이다”라고 말하는 순간, 우리는 이미 닫힘성을 주장한 것이다. 어떤 규칙이 특정 순서쌍을 $S$ 밖으로 보내거나 특정 순서쌍에서 정의되지 않는다면, 그것은 $S$ 위의 이항연산이 아니다. 그 이상의 성질을 점검하기 전에, 논의는 거기서 멈추어야 한다.

§2.2 이항연산의 성질

정의 2.3 (교환법칙)

$S$ 위의 이항연산 $\ast$가 다음을 만족하면 교환적(commutative)이라 한다.

정의 2.4 (결합법칙)

$S$ 위의 이항연산 $\ast$가 다음을 만족하면 결합적(associative)이라 한다.

그림: 결합법칙은 세 원소를 곱하는 두 가지 방식을 비교한다.

이 도식은, 앞의 두 항을 먼저 결합하든 뒤의 두 항을 먼저 결합하든 반드시 $S$의 동일한 원소에 도달해야 함을 말한다.

정의 2.5 (항등원)

원소 $e\in S$가 다음을 만족하면 $\ast$에 대한 항등원(identity)이라 한다.

정의 2.6 (역원)

$\ast$가 항등원 $e$를 가진다고 하자. 원소 $b\in S$가 다음을 만족하면 $a\in S$의 역원(inverse)이라 한다.

§2.3 예와 반례

예 2.7 (표준적인 이항연산들)

예 2.8 (뺄셈은 결합적이지 않다)

$\mathbb{Z}$ 위에서 뺄셈은 이항연산이다(닫혀 있음: $a-b\in \mathbb{Z}$). 그러나:

$1\ne 3$이므로 뺄셈은 결합적이지 않다. 또한 $0$은 우항등원($a-0=a$)이지만 좌항등원은 아니다($a\ne 0$에 대하여 $0-a=-a\ne a$). 따라서 양쪽 항등원은 존재하지 않는다.

예 2.9 (나눗셈은 $\mathbb{Z}$ 위의 이항연산이 아니다)

규칙 $a/b$는 $b=0$에서 정의되지 않으며, 정의되는 경우에도 $1/2\notin \mathbb{Z}$이다. 따라서 $/:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$는 함수가 아니다. 논의는 여기서 멈춘다.

예 2.10 (좌측 사영 연산)

임의의 공집합이 아닌 집합 $S$ 위에서 $a\ast b=a$로 정의하자. 이것은 이항연산이다.

• 닫힘성: $a\ast b=a\in S$. 성립.
• 결합적: $(a\ast b)\ast c=a\ast c=a$이고, $a\ast (b\ast c)=a\ast b=a$. 성립.
• 교환적: $a\ast b=a$ 대 $b\ast a=b$; $a=b$가 아니면 성립하지 않음. ($|S|\ge 2$이면) 교환적이지 않음.
• 항등원: 모든 $a$에 대하여 $e\ast a=a$가 필요하다. 그러나 $e\ast a=e$이므로 모든 $a$에 대하여 $e=a$가 되어야 하는데, $|S|\ge 2$이면 불가능하다. 항등원 없음.

이 예는 결합법칙만으로는 가역성에 관해 아무것도 강제하지 못함을 보여 준다.

예 2.11 ($\{0,1,2\}$ 위의 최댓값 연산)

$S=\{0,1,2\}$ 위에서 $a\ast b=\max \{a,b\}$로 정의하자. 이것은 결합적이고 교환적이며, $0$을 항등원으로 가진다($\max \{0,a\}=a$). 그러나 역원을 가지는 원소는 $0$뿐이며(그 자신), $\max \{a,b\}=0$이려면 $a=b=0$이어야 하기 때문이다. 군이 아니다.

§2.4 유한집합의 연산표

정의 2.12 (연산표 / 케일리 표)

이항연산 $\ast$를 가진 유한집합 $S=\{a_1,\dots ,a_n\}$에 대하여, 연산표(operation table) 또는 케일리 표(Cayley table)는 $(i,j)$-성분이 $a_i\ast a_j$인 $n\times n$ 배열이다.

예 2.13 (덧셈에 대한 ${\mathbb{Z}}_4$의 연산표)

표 읽기:

• 닫힘성: 자동으로 성립(모든 성분이 $\{0,1,2,3\}$ 안에 있음).
• 교환법칙: 표가 주대각선에 대하여 대칭이다.
• 항등원: $0$에 대한 행이 머리글을 재현하며, 열도 마찬가지다.
• 역원: 모든 원소가 모든 행에 나타난다(라틴 방진 성질).

예 2.14 (결합적이지 않은 연산표)

$\{a,b\}$ 위에서 $\ast$를 다음과 같이 정의하자: $a\ast a=a$, $a\ast b=b$, $b\ast a=b$, $b\ast b=a$.

이것은 군의 표처럼 보인다(실제로 ${\mathbb{Z}}_2$이다). $a\mapsto 0$, $b\mapsto 1$의 대응 아래에서 연산 $\ast$는 $2$를 법으로 하는 덧셈이다. 군 공리도 표에서 직접 읽어 낼 수 있다: $a$가 항등원이며(그 행과 열이 머리글을 재현한다), 모든 원소가 자기 자신의 역원이다($a\ast a=a$, $b\ast b=a$).

그러나 한 성분을 바꾸어 보자: $b\ast a=a$로 두자.

이제 확인해 보면: $(b{\ast }^{\prime }b){\ast }^{\prime }b=a{\ast }^{\prime }b=b$이지만, $b{\ast }^{\prime }(b{\ast }^{\prime }b)=b{\ast }^{\prime }a=a$이다. 결합적이지 않다. 그럴듯해 보이는 표라고 해서 결합법칙이 보장되는 것은 아니다.

비고 2.15 (결합법칙은 표를 한눈에 봐서는 읽어 낼 수 없다)

닫힘성, 항등원, 역원, 교환법칙은 모두 케일리 표에서 직접 확인할 수 있다. 그러나 결합법칙은 그렇지 않다: $n^3$개의 삼중쌍을 점검해야 한다. 작은 표에서는 손으로 확인하지만, 더 큰 구조에서는 이미 알려진 결합적 모태 연산으로부터 결합법칙을 물려받는다.

§2.5 항등원과 역원의 유일성

정리 2.16 (항등원의 유일성)

$S$ 위의 이항연산 $\ast$가 양쪽 항등원을 가지면, 그것은 유일하다.

증명

$e$와 $f$가 모두 양쪽 항등원이라 하자. 그러면:

$$e=e\ast f=f,$$

여기서 첫 번째 등식은 “$f$가 우항등원”임을, 두 번째 등식은 “$e$가 좌항등원”임을 사용한다. 따라서 $e=f$. $■$

정리 2.17 (결합적 구조에서 역원의 유일성)

$\ast$가 항등원 $e$를 가지고 결합적이며, $a\in S$가 양쪽 역원을 가지면, 그 역원은 유일하다.

증명

$b$와 $c$가 모두 $a$의 양쪽 역원이라 하자:

$$a\ast b=b\ast a=e,a\ast c=c\ast a=e.$$

그러면:

$$b=b\ast e=b\ast (a\ast c)=(b\ast a)\ast c=e\ast c=c.$$

가운데 단계가 결합법칙을 사용한다. 따라서 $b=c$. $■$

비고 2.18 (역원의 유일성에는 결합법칙이 본질적이다)

결합법칙이 없으면 역원이 유일할 필요가 없다. 위 증명은 정확히 한 곳에서 결합법칙을 사용한다: 재결합 $b\ast (a\ast c)=(b\ast a)\ast c$. 이것이 성립하지 않으면 논증은 무너진다.

§2.6 한쪽 자료가 양쪽 자료를 강제할 수 있다

정리 2.19 (좌항등원 + 좌역원 $⟹$ 군)

$(S,\ast )$가 좌항등원 $e$(즉 모든 $x$에 대하여 $e\ast x=x$)와 좌역원(각 $a$에 대하여 $\ell \ast a=e$인 $\ell$이 존재)을 가지는 결합적 이항 구조라 하자. 그러면 $e$는 양쪽 항등원이고 모든 좌역원은 양쪽 역원이다.

증명

좌역원 $\ell$($\ell \ast a=e$)을 가지는 $a\in S$를 고정하자. $m$을 $\ell$의 좌역원($m\ast \ell =e$)이라 하자. 그러면:

$$a=e\ast a=(m\ast \ell )\ast a=m\ast (\ell \ast a)=m\ast e=m.$$

이 논증은 너무 성급하다. 이 단계에서 우리는 아직 $e$가 우항등원임을 증명하지 않았기 때문이다. 그래서 주어진 가설만을 사용하는 계산으로 다시 시작한다.

$\ell \ast a=e$이고 $m\ast \ell =e$이다. 계산하면:

$$a\ast \ell =(e)\ast (a\ast \ell )=(m\ast \ell )\ast (a\ast \ell )=m\ast (\ell \ast a)\ast \ell =m\ast e\ast \ell =m\ast (e\ast \ell )=m\ast \ell =e.$$

따라서 $\ell$은 $a$의 우역원이기도 하다. 이제:

$$a\ast e=a\ast (\ell \ast a)=(a\ast \ell )\ast a=e\ast a=a.$$

따라서 $e$는 우항등원이기도 하다. $■$

이 정리는 결합법칙이 대수를 얼마나 통제하는지 보여 준다: 순전히 한쪽뿐인 가설이 양쪽으로 확장된다.

숙달 점검표

• 이항연산의 정의를 진술하고, 왜 닫힘성이 별도의 공리가 아니라 정의의 일부인지 설명한다.
• 한쪽은 성립하지만 다른 쪽은 성립하지 않는 예를 들어 결합법칙과 교환법칙을 구별한다.
• 제안된 규칙이 이항연산이 되지 못하는(닫힘성이 깨지는) 반례를 제시한다.
• 항등원의 유일성을 증명한다.
• 결합법칙이 있을 때 역원의 유일성을 증명한다.
• 케일리 표를 읽어 항등원, 역원, 교환법칙을 추출하고, 왜 결합법칙은 읽어 낼 수 없는지 설명한다.
• “좌항등원 + 좌역원” 정리(정리 2.19)를 진술하고 설명한다.