제1장 - 도입과 예시

이 장은 추상대수학의 핵심 발상을 정립한다. 곧, 연산이 부여된 집합과 그 사이의 구조 보존 사상을 연구하는 것이다. 목표는 용어를 암기하는 것이 아니라, 연산을 대상의 일부로 다루는 습관을 체득하는 데 있다.

§1.1 대수학이 다루는 것

비고 1.1 (핵심 발상)

추상대수학은 연산이 부여된 집합과 그 사이의 구조 보존 사상(준동형사상, 동형사상)을 연구한다. 핵심 통찰은 다음과 같다. 동일한 바탕 집합이라도 어떤 연산을 부여하느냐에 따라 서로 다른 대수적 구조를 가질 수 있다.

예시: 덧셈을 부여한 집합 $\mathbb{Z}$, 즉 $(\mathbb{Z},+)$는 군이지만, 곱셈을 부여한 $\mathbb{Z}$, 즉 $(\mathbb{Z},\cdot )$는 군이 아니다(대부분의 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖지 못한다). 같은 집합이지만 구조가 다르고, 따라서 그 거동이 근본적으로 다르다.

그림: 동일한 바탕 집합이 서로 다른 대수적 구조를 떠받칠 수 있다.

이 그림의 요점은 연산이 자료의 일부라는 것이다. 연산을 바꾸면 대상이 바뀐다.

비고 1.2 (추상화가 중요한 이유)

추상화는 추상화 그 자체를 위한 일반화가 아니다. 추상화는 세 가지 목적에 봉사한다.

1. 통합. 겉보기에 무관해 보이는 대상들(정사각형의 회전, $n$을 법으로 하는 잉여류, 집합의 순열)이 동일한 공리를 만족함이 드러나며, 그리하여 하나의 증명이 모든 경우를 포괄한다.
2. 구조적 불변량. 특정 원소로 계산하는 대신, 동형사상 아래에서 보존되는 성질(원소의 위수나 부분군 격자 같은 것)을 가지고 추론한다.
3. 문제의 전이. $\exp$를 통한 동형사상 $(\mathbb{R},+)\cong ({\mathbb{R}}^{+},\cdot )$ 덕분에 덧셈에 관한 문제를 곱셈에 관한 문제로, 또 그 반대로 바꿀 수 있다.

§1.2 동기로서의 대칭

정의 1.3 (기하적 대상의 대칭)

기하적 도형의 대칭이란 그 도형을 자기 자신 위로 옮기는 평면의 강체 운동(거리를 보존하는 변환)이다. 모든 대칭의 집합은 합성에 대하여 군을 이룬다.

예시 1.4 (정삼각형의 대칭)

정삼각형은 $6$개의 대칭을 갖는다.

• $3$개의 회전: 중심에 대한 $0°$, $120°$, $240°$ 회전.
• $3$개의 반사: 각 수선에 대한 반사.

이들은 위수 $6$인 이면체군 $D_3$($3$개 원소에 대한 대칭군 $S_3$이라고도 부른다)를 이룬다. 이것은 자연스럽게 마주치는 가장 간단한 비가환군이다.

§1.3 이면체군 $D_4$: 정사각형의 대칭

정의 1.5 (이면체군 $D_4$)

정사각형의 이면체군은 $D_4$로 표기하며, 정사각형의 모든 대칭으로 이루어진 군이다. 이 군은 $8$개의 원소를 갖는다.

정사각형의 꼭짓점을 $1,2,3,4$(시계 방향)로 이름 붙이자. 원소들은 다음과 같다.

군 구조: 이 군은 $r$($90°$ 회전)와 $s$(반사 하나)로 생성되며, 다음 관계식을 만족한다.

관계식 $srs=r^{-1}$은 회전을 반사로 켤레 취하면 회전 방향이 뒤집힌다는 뜻이다. 이것이 이면체군을 규정하는 특징이다.

비고 1.6 ($D_4$는 가환이 아니다)

$sr\ne rs$이므로(실제로 $rs=s{r}^3$이다), 군 $D_4$는 비가환이다. 이는 기하로부터 눈에 보인다. 곧, 회전한 뒤 반사하는 것은 반사한 뒤 회전하는 것과 같지 않다.

예시 1.7 ($D_4$에서의 계산)

$D_4$에서 $r^2\cdot sr$을 계산하라.

관계식 $sr=r^{-1}s=r^{3}s$를 이용하면,

따라서 $r^2\cdot sr=s{r}^3$이다. 위의 표에 비추어 보면, $180°$ 회전과 대각선 반사의 합성은 다른 쪽 대각선 반사를 준다.

§1.4 예고편으로서의 합동 산술

정의 1.8 ($n$을 법으로 하는 정수)

양의 정수 $n$에 대하여, 집합

을 $n$을 법으로 하는 덧셈 $\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b\mathrm{mod}n}$과 함께 정의한다.

예시 1.9 (${\mathbb{Z}}_6$의 덧셈표, 일부)

${\mathbb{Z}}_6$에서: $\bar{4}+\bar{5}=\overline{9}=\bar{3}$이다($9=1\cdot 6+3$이므로).

핵심 관찰:

• 항등원: $\bar{0}$.
• 역원: $\bar{a}$의 역원은 $\overline{n-a}$이다. 예컨대 ${\mathbb{Z}}_6$에서 $\bar{4}$의 역원은 $\bar{2}$이다.
• 순환성: $\bar{1}$은 반복하여 더함으로써 ${\mathbb{Z}}_n$ 전체를 생성한다.

비고 1.10 (합동 산술이 대수학에서 중요한 이유)

${\mathbb{Z}}_n$은 유한군의 가장 간단한 족이다. 이는 이 강의의 모든 정의와 정리에 대한 시험 사례를 제공한다. 부분군, 순환군, 준동형사상, 몫, 직접곱 모두가 ${\mathbb{Z}}_n$에서 깔끔하고 구체적인 모습으로 나타난다.

§1.5 같은 집합, 다른 구조

예시 1.11 ($\mathbb{Z}$ 위의 비표준 연산)

$\mathbb{Z}$ 위에서 $a\star b=a+b+1$로 정의하자. 그러면 $(\mathbb{Z},\star )$는 군이다.

• 닫힘: $a,b\in \mathbb{Z}$에 대하여 $a+b+1\in \mathbb{Z}$이다.
• 결합법칙: $(a\star b)\star c=(a+b+1)+c+1=a+b+c+2=a+(b+c+1)+1=a\star (b\star c)$.
• 항등원: $a\star (-1)=a+(-1)+1=a$이고 $(-1)\star a=-1+a+1=a$이므로 $e=-1$이다.
• 역원: $a\star (-a-2)=a+(-a-2)+1=-1=e$이므로 $a$의 역원은 $-a-2$이다.

게다가 $\phi (n)=n+1$로 정의되는 $\phi :(\mathbb{Z},\star )\to (\mathbb{Z},+)$는 동형사상이다.

따라서 $(\mathbb{Z},\star )$는 사실 평범한 덧셈 정수를 위장한 것에 지나지 않는다. 이는 대수학이 특정 원소의 이름이 아니라 동형사상을 법으로 하여 구조를 연구하는 까닭을 잘 보여준다.

§1.6 공리 실패 진단

비고 1.12 (첫 번째 실패를 짚어라)

제안된 대수적 구조가 공리를 만족하지 못할 때에는, 논리적 순서상 첫 번째로 실패하는 공리를 가려내야 한다. (1) 닫힘, (2) 결합법칙, (3) 항등원, (4) 역원.

숙달 점검표

• 대수적 구조를 헐벗은 집합과 구별 짓는 추가 자료가 무엇인지 설명한다.
• $D_4$의 $8$개 원소를 모두 나열하고, $r^4=s^2=e$와 $srs=r^{-1}$을 이용하여 계산을 수행한다.
• 정$n$각형의 대칭과 그것이 군을 이루는 이유를 기술한다.
• ${\mathbb{Z}}_n$에서 계산한다(덧셈, 역원, 원소의 위수).
• 동일한 바탕 집합 위의 서로 다른 두 군 구조의 예를 든다.
• 제안된 구조가 군이 되지 못하는 이유를 정확히 진단한다(첫 번째로 실패하는 공리를 짚는다).