제12장 - 평면 등거리변환

평면 등거리변환은 군 구조의 기하학적 실현이다. 추상적인 기호를 조작하는 대신, 유클리드 평면의 강체 운동(rigid motion)을 합성한다. 이 장이 중요한 까닭은, 대수가 어떻게 대칭성을 기록하는지를 보여 주고, 실제로 그림으로 그릴 수 있는 구체적인 비가환군을 제공하기 때문이다. 평면 등거리변환을 정확히 네 가지 유형으로 분류하는 정리는 초등 기하학에서 가장 깔끔한 정리 중 하나이며, 등거리변환군의 유한 부분군은 앞 장에서 다룬 순환군과 이면체군과 정확히 일치하는 것으로 드러난다.

§12.1 평면의 등거리변환

정의 12.1 (평면 등거리변환)

평면 등거리변환(plane isometry, 또는 강체 운동)이란 유클리드 거리를 보존하는 전단사 $\phi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$이다.

모든 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^2$에 대하여 성립한다.

정리 12.2. 모든 평면 등거리변환의 집합은 합성에 대하여 군을 이룬다.

증명

군의 공리를 확인한다.

닫힘성. $\phi$와 $\psi$이 거리를 보존하는 전단사이면, $\phi \circ \psi$도 전단사이고(전단사들의 합성), 또한

$$|(\phi \circ \psi)(\mathbf{x}) - (\phi \circ \psi)(\mathbf{y})| = |\phi(\psi(\mathbf{x})) - \phi(\psi(\mathbf{y}))| = |\psi(\mathbf{x}) - \psi(\mathbf{y})| = |\mathbf{x} - \mathbf{y}|.$$

따라서 $\phi \circ \psi$는 등거리변환이다.

결합법칙. 함수의 합성은 항상 결합적이다.

항등원. 항등사상 $\operatorname{id}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$은 자명하게 등거리변환이다.

역원. $\phi$이 전단사이므로 역사상 $\phi^{-1}$을 갖는다. 임의의 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^2$에 대하여, 점 $\phi^{-1}(\mathbf{x})$와 $\phi^{-1}(\mathbf{y})$에 $\phi$을 적용하면:

$$|\phi^{-1}(\mathbf{x}) - \phi^{-1}(\mathbf{y})| = |\phi(\phi^{-1}(\mathbf{x})) - \phi(\phi^{-1}(\mathbf{y}))| = |\mathbf{x} - \mathbf{y}|.$$

따라서 $\phi^{-1}$도 거리를 보존하므로 등거리변환이다. $\blacksquare$

이 군을 평면의 유클리드 군(Euclidean group), 또는 등거리변환군 $\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)$이라 한다.

정리 12.3 (등거리변환의 아핀 형태)

모든 평면 등거리변환은 다음 형태로 쓸 수 있다.

여기서 $A \in O(2)$은 직교 $2 \times 2$ 행렬($A^T A = I$을 만족)이고 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^2$이다.

증명 개요

1단계. 원점을 고정하는 등거리변환은 선형이다. $\phi(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$이고 $\phi$가 모든 거리를 보존하면, (편극 항등식 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \frac{1}{2}(|\mathbf{x}|^2 + |\mathbf{y}|^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^2)$에 의해) 모든 내적을 보존한다. 내적을 보존하는 선형 사상은 직교적이므로, $\phi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$이고 $A \in O(2)$이다.

2단계. 일반적인 등거리변환 $\phi$에 대하여 $\psi(\mathbf{x}) = \phi(\mathbf{x}) - \phi(\mathbf{0})$로 정의한다. 그러면 $\psi$은 원점을 고정하는 등거리변환이므로, 어떤 $A \in O(2)$에 대하여 $\psi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$이다. $\mathbf{b} = \phi(\mathbf{0})$로 두면 $\phi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$을 얻는다. $\blacksquare$

$A \in O(2)$이므로 $\det(A) = \pm 1$이다. 이 행렬식은 방향 보존 등거리변환과 방향 반전 등거리변환을 구분하는 핵심 불변량이다.

§12.2 네 가지 유형: 분류 정리

정리 12.4 (평면 등거리변환의 분류)

모든 평면 등거리변환은 다음 중 정확히 하나이다.

고정점 분석을 통한 증명 개요

$\phi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$를 평면 등거리변환이라 하자.

경우 1: $\det(A) = +1$이고 $A = I$. 그러면 $\phi(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathbf{b}$이고, 이는 평행이동이다.

경우 2: $\det(A) = +1$이고 $A \neq I$. 그러면 $A$은 자명하지 않은 회전 행렬 $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$이다. 고정점 방정식 $\mathbf{x} = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$은 $(I - A)\mathbf{x} = \mathbf{b}$이 된다. $A \neq I$이고 $\det(A) = 1$이므로, $\theta \not\equiv 0 \pmod{2\pi}$에 대하여 $\det(I - A) = 2 - 2\cos\theta \neq 0$임을 확인할 수 있다. 따라서 유일한 고정점이 존재하고, $\phi$은 그 점을 중심으로 하는 회전이다.

경우 3: $\det(A) = -1$이고 $\phi$이 고정점 $\mathbf{p}$을 갖는 경우. 평행이동 $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} - \mathbf{p}$로 켤레를 취하면 $\phi(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$이라 가정할 수 있으므로, $A \in O(2)$, $\det(A) = -1$인 $\phi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$이다. 이러한 $A$은 고윳값 $+1$과 $-1$를 가지므로, $\phi$은 $+1$에 대한 고유공간을 가로지르는 반사이다.

경우 4: $\det(A) = -1$이고 $\phi$이 고정점을 갖지 않는 경우. 그러면 $\phi$은 미끄럼 반사이다. 즉, 어떤 직선에 대한 반사에 이어 그 직선에 평행한 0이 아닌 평행이동을 합성한 것이다. (미끄럼 성분은 $\mathbf{b}$에서 반사축에 평행한 부분이다. 만약 그것이 0이라면 $\phi$은 고정점을 가질 것이다.) $\blacksquare$

이 분류는 빠짐없으면서 서로 배타적이다. 항등사상은 관례상 평행이동($\mathbf{v} = \mathbf{0}$)이나 회전($\theta = 0$)으로 묶는다. 두 관례 모두 무해하다.

§12.3 평행이동

정의 12.5 (평행이동)

$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$에 대하여, $\mathbf{v}$만큼의 평행이동은

정리 12.6. 평행이동의 집합은 $(\mathbb{R}^2, +)$과 동형인 부분군을 이룬다.

증명

$\mathcal{T} = \{T_{\mathbf{v}} : \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2\}$로 정의한다. 다음을 확인한다.

• 닫힘성: $T_{\mathbf{v}} \circ T_{\mathbf{w}}(\mathbf{x}) = (\mathbf{x} + \mathbf{w}) + \mathbf{v} = \mathbf{x} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = T_{\mathbf{v}+\mathbf{w}}(\mathbf{x})$.
• 항등원: $T_{\mathbf{0}} = \operatorname{id}$.
• 역원: $T_{\mathbf{v}}^{-1} = T_{-\mathbf{v}}$.

$T_{\mathbf{v}} \circ T_{\mathbf{w}} = T_{\mathbf{v}+\mathbf{w}}$이므로 사상 $\mathbf{v} \mapsto T_{\mathbf{v}}$은 군 동형사상 $(\mathbb{R}^2, +) \xrightarrow{\sim} \mathcal{T}$이다. $\blacksquare$

참고 12.7

평행이동의 군은 (벡터 덧셈이 가환적이므로) 가환적이며 $\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)$의 정규부분군이다. 임의의 등거리변환 $\phi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$에 대하여,

이는 다시 평행이동이다. 이 정규성은 유클리드 군의 반직접곱(semidirect product) 구조에 근본적이다(§12.10 참조).

§12.4 회전

정의 12.8 (회전)

점 $P$을 중심으로 각 $\theta$만큼의 회전은 등거리변환

이며, 여기서 $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$는 표준 회전 행렬이다. 특수한 경우 $P = \mathbf{0}$에서는:

정리 12.9. 원점을 중심으로 하는 회전들은 $SO(2) \cong S^1$과 동형인 군을 이룬다.

증명

집합 $\{R_\theta : \theta \in \mathbb{R}\}$은 합성에 대하여 닫혀 있고($R_\theta \circ R_\varphi = R_{\theta + \varphi}$), 항등원 $R_0 = I$과 역원 $R_\theta^{-1} = R_{-\theta}$을 갖는다. 사상 $\theta \mapsto R_\theta$는 핵 $2\pi\mathbb{Z}$를 갖는 전사 준동형사상 $\mathbb{R} \to SO(2)$이므로,

$$SO(2) \cong \mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z} \cong S^1$$

여기서 $S^1$는 원군(circle group, 곱셈에 대한 단위 복소수)이다. $\blacksquare$

참고 12.10

회전 $R_{\theta, P}$은 유일한 고정점, 즉 $P$을 갖는다. $SO(2)$에서 $R_{\theta, \mathbf{0}}$의 위수는 $\theta / (2\pi)$이 유리수일 때 그리고 오직 그때만 유한하다. 구체적으로, $R_{2\pi/n}$는 위수 $n$을 가지며 순환 부분군 $C_n \leq SO(2)$를 생성한다.

§12.5 반사

정의 12.11 (반사)

직선 $\ell$에 대한 반사는 각 점 $\mathbf{x}$을 $\ell$에 대한 거울상으로 보내는 등거리변환 $\sigma_\ell$이다. 좌표로 나타내어, $\ell$이 $x$-축으로부터 각 $\alpha$을 이루며 원점을 지난다면,

정리 12.12. 모든 반사는 위수 $2$을 갖는다.

증명

$M_\alpha^2 = I$ (직접 계산하거나, 같은 직선에 대해 두 번 반사하면 모든 점이 원래 위치로 돌아온다는 사실로부터). 따라서 $\sigma_\ell^2 = \operatorname{id}$이고 $\sigma_\ell \neq \operatorname{id}$이므로($\ell$ 위에 있지 않은 점을 움직인다), $\operatorname{ord}(\sigma_\ell) = 2$이다. $\blacksquare$

반사의 고정점 집합은 정확히 직선 $\ell$이다.

정리 12.13 (두 반사: 두 가지 핵심 경우)

두 반사의 합성은 반사축이 평행한지 교차하는지에 따라 평행이동 또는 회전을 준다.

경우 1: 평행한 직선은 평행이동을 준다

두 평행선이 $\ell_1: x = 0$과 $\ell_2: x = a$이 되도록 좌표를 택한다. 그러면:

$$\sigma_{\ell_1}(x, y) = (-x, y), \qquad \sigma_{\ell_2}(x, y) = (2a - x, y).$$

이들의 합성은

$$\sigma_{\ell_2} \circ \sigma_{\ell_1}(x, y) = \sigma_{\ell_2}(-x, y) = (2a + x, y) = (x, y) + (2a, 0).$$

이는 $\mathbf{v} = (2a, 0)$만큼의 평행이동이며, 이 벡터는 직선들에 수직이고 크기는 두 직선 사이 거리의 두 배이다. $\blacksquare$

경우 2: 교차하는 직선은 회전을 준다

두 직선 $\ell_1$과 $\ell_2$이 점 $P$에서 만나며 그 사이의 각이 $\alpha$이라 하자. $P$을 중심으로 하고 $\ell_1$이 $x$-축을 따르도록 한 좌표에서:

$$\sigma_{\ell_1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \sigma_{\ell_2} = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}.$$

이들의 합성은:

$$\sigma_{\ell_2} \circ \sigma_{\ell_1} = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & -\sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{pmatrix} = R_{2\alpha}.$$

이는 교점 $P$을 중심으로 하는 $2\alpha$만큼의 회전이다. $\blacksquare$

따름정리 12.14

모든 평면 등거리변환은 많아야 세 개의 반사의 곱이다.

증명 개요

• 반사는 그 자체로 하나의 반사이다.
• 회전은 (교차하는 직선에서의) 두 반사의 합성이다.
• 평행이동은 (평행한 직선에서의) 두 반사의 합성이다.
• 미끄럼 반사는 세 반사의 합성이다(반사 더하기 평행이동, 후자는 그 자체로 두 반사이다). $\blacksquare$

§12.6 미끄럼 반사

정의 12.15 (미끄럼 반사)

미끄럼 반사는 직선 $\ell$에 대한 반사 $\sigma_\ell$와, $\mathbf{v}$이 $\ell$에 평행한 0이 아닌 평행이동 $T_{\mathbf{v}}$의 합성이다.

참고 12.16

미끄럼 반사는 고정점을 갖지 않는다: 만약 $G(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$이면 $\sigma_\ell(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - \mathbf{v}$이다. 그런데 $\sigma_\ell$은 $\ell$을 $\ell$로 보내고 $\ell$ 밖의 점을 반대편으로 옮기므로, $\mathbf{x}$은 $\ell$ 위에 놓이면서 동시에 $\mathbf{x} = \mathbf{x} + \mathbf{v}$을 만족해야 하는데, 이는 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$에 모순된다.

$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$이라는 조건은 본질적이다. $\mathbf{v} = \mathbf{0}$이면 그 사상은 반사로 환원된다.

예제 12.17. 사상 $(x, y) \mapsto (x + 3, -y)$은 미끄럼 반사이다. 이는 $x$-축에 대해 반사한 다음 $(3, 0)$만큼 평행이동한다.

§12.7 방향

정의 12.18 (등거리변환의 방향)

등거리변환 $\phi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$을 다음과 같이 부른다.

• $\det(A) = +1$이면 방향 보존(orientation-preserving).
• $\det(A) = -1$이면 방향 반전(orientation-reversing).

정리 12.19. 방향 보존 등거리변환은 $\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)$에서 지수 $2$인 정규부분군을 이룬다.

증명

사상 $\phi \mapsto \det(A_\phi)$은 ($\det(A_\phi A_\psi) = \det(A_\phi)\det(A_\psi)$이므로) 군 준동형사상 $\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2) \to \{+1, -1\}$이다. 그 핵은 방향 보존 등거리변환의 집합이므로 정규부분군이다. 그 상은 $\{+1, -1\}$이므로 지수는 $2$이다. $\blacksquare$

요약 표

§12.8 등거리변환군의 유한 부분군

정리 12.20 (레오나르도의 정리)

$\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)$의 모든 유한 부분군은 다음 중 하나와 동형이다.

• 순환군 $C_n$ (공통 중심을 둘러싼 $n$개의 회전으로 이루어짐), 또는
• 이면체군 $D_n$ ($n$개의 회전과 $n$개의 반사로 이루어짐).

증명 개요

$G$를 $\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)$의 유한 부분군이라 하자.

1단계. $G$는 (항등원 이외의) 평행이동도, 미끄럼 반사도 포함하지 않는다. 항등이 아닌 평행이동은 무한 위수를 가지므로($T_{\mathbf{v}}$을 반복 적용해도 결코 항등원으로 돌아오지 않는다) 유한군에 속할 수 없다. 마찬가지로 미끄럼 반사 $G_{\mathbf{v},\ell}$은 $G_{\mathbf{v},\ell}^2 = T_{2\mathbf{v}}$을 만족하므로 역시 무한 부분군을 생성한다.

2단계. 따라서 $G$는 회전과 반사로만 이루어진다. $G$의 모든 회전은 공통 고정점(중심)을 공유하며, 모든 반사축은 이 점을 지난다. (두 회전이 서로 다른 중심을 갖는다면, 그 합성은 평행이동을 만들어 낼 것이다.)

3단계. $G$에서 회전들의 부분군은 $SO(2) \cong S^1$의 유한 부분군이므로 순환적이다: 어떤 $n$에 대하여 $\langle R_{2\pi/n} \rangle \cong C_n$이다.

4단계. $G$가 반사를 포함하지 않으면 $G \cong C_n$이다. $G$가 적어도 하나의 반사 $\sigma$를 포함하면, $G = \langle R_{2\pi/n}, \sigma \rangle$이고 관계식 $\sigma R_{2\pi/n} \sigma = R_{-2\pi/n}$은 $D_n$의 표시(presentation)를 준다. $\blacksquare$

정의 12.21 (이면체군, 기하학적 정의)

이면체군 $D_n$은 정 $n$각형의 모든 대칭의 군이다. 위수 $2n$을 가지며, 다음을 만족하는 회전 $r = R_{2\pi/n}$와 반사 $s$으로 생성된다.

원소들은 $\{e, r, r^2, \ldots, r^{n-1}, s, sr, sr^2, \ldots, sr^{n-1}\}$이다.

예제 12.22 (친숙한 도형들의 대칭군)

정 $n$각형의 방향 보존 대칭은 순환 부분군 $C_n = \langle r \rangle \leq D_n$을 이루며, 이는 지수 $2$을 가지므로 정규이다.

§12.9 제8장과의 연결: 순열군으로서의 $D_n$

정 $n$각형의 꼭짓점에 $1, 2, \ldots, n$로 이름을 붙인다. 각 대칭은 이 꼭짓점들을 순열하여 충실한 작용 $D_n \hookrightarrow S_n$을 준다. 이는 $D_n$를 $S_n$의 부분군으로 매장한다.

예제 12.23 ($D_3 \hookrightarrow S_3$)

삼각형의 꼭짓점에 $1, 2, 3$로 이름을 붙인다(시계 방향). 그러면:

$|D_3| = 6 = |S_3|$이고 $D_3 \hookrightarrow S_3$이 단사이므로 $D_3 \cong S_3$이다.

예제 12.24 ($D_4 \hookrightarrow S_4$)

정사각형의 꼭짓점에 $1, 2, 3, 4$로 이름을 붙인다(시계 방향). 그러면 회전 $r = (1\;2\;3\;4)$과 반사 $s = (2\;4)$(꼭짓점 $1$과 $3$을 지나는 수직축에 대한)이 $D_4$를 생성한다. $|D_4| = 8 < 24 = |S_4|$이므로 매장 $D_4 \hookrightarrow S_4$은 진부분(proper)이다. $D_4$는 $S_4$의 부분군이지만 군 전체는 아니다.

관계식 $sr = r^{-1}s$는 순환 표기법으로 확인할 수 있다:

§12.10 랭의 관점: 유클리드 군

랭의 관점에서 이 장은 자연스럽게 등장하는 자명하지 않은 반직접곱을 무시할 수 없게 되는 첫 지점이다.

정의 12.25 (반직접곱)

$N$과 $H$을 군이라 하고,

을 $H$가 $N$에 자기동형사상으로 작용함을 기술하는 준동형사상이라 하자. 반직접곱 $N \rtimes_\alpha H$는 집합 $N \times H$에 다음 곱셈을 부여한 것이다.

작용이 자명하여 모든 $h$에 대하여 $\alpha(h)=\operatorname{id}_N$이면, 이는 직접곱으로 환원된다:

따라서 반직접곱은 한 인자가 켤레에 의해 다른 인자를 비틀 때 직접곱을 올바르게 일반화한 것이다.

정리 12.26. $\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2) \cong \mathbb{R}^2 \rtimes O(2)$.

여기서 $O(2)$가 $\mathbb{R}^2$에 작용하는 방식은 자명한 선형 작용이다:

그림: 반직접곱으로서의 유클리드 군.

평행이동은 정규부분군을 이루고, 직교 사상은 선형 부분을 공급하며, 작용 화살표는 회전과 반사가 켤레에 의해 평행이동을 어떻게 비트는지를 기록한다.

정리 12.26의 증명

정리 12.3에 의해, 모든 등거리변환은 유일한 아핀 형태

$$\phi(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{v}$$

를 가지며, $A\in O(2)$이고 $\mathbf{v}\in \mathbb{R}^2$이다.

다음과 같이 정의한다.

$$\Phi:\mathbb{R}^2\rtimes O(2)\to \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2),\qquad \Phi(\mathbf{v},A)(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{v}.$$

준동형사상. 계산하면:

$$\Phi(\mathbf{v}_1,A_1)\bigl(\Phi(\mathbf{v}_2,A_2)(\mathbf{x})\bigr) =A_1(A_2\mathbf{x}+\mathbf{v}_2)+\mathbf{v}_1 =(A_1A_2)\mathbf{x}+(A_1\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1).$$

이는 정확히

$$\Phi(\mathbf{v}_1+A_1\mathbf{v}_2,\ A_1A_2)(\mathbf{x}),$$

이므로, 반직접곱에서의 곱셈 법칙은

$$(\mathbf{v}_1,A_1)(\mathbf{v}_2,A_2)=\bigl(\mathbf{v}_1+A_1\mathbf{v}_2,\ A_1A_2\bigr).$$

단사. $\Phi(\mathbf{v},A)$가 항등 등거리변환이면,

$$A\mathbf{x}+\mathbf{v}=\mathbf{x}\qquad\text{for all }\mathbf{x}.$$

$\mathbf{x}=\mathbf{0}$로 두면 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$을 얻고, 따라서 모든 $\mathbf{x}$에 대하여 $A\mathbf{x}=\mathbf{x}$이므로 $A=I$이다.

전사. 정리 12.3에 의해 모든 등거리변환은 $A\mathbf{x}+\mathbf{v}$ 형태이므로, 모든 등거리변환은 $\Phi$의 상에 놓인다.

따라서 $\Phi$은 동형사상이다. $\blacksquare$

이것이 직접곱이 아닌 이유

이 구별은 중요하다. $R=R_{90^\circ}$을 원점을 중심으로 $90^\circ$만큼의 회전, $T=T_{(1,0)}$를 $(1,0)$만큼의 평행이동이라 하자.

그러면

인 반면

이다. 이들은 서로 다른 등거리변환이다. 따라서 회전 부분군과 평행이동 부분군은 원소별로 가환하지 않으며, 이는 직접곱 분해를 배제한다.

이것이 반직접곱 법칙에서 비틀림 항 $A_1\mathbf{v}_2$의 구체적인 내용이다.

정규부분군과 몫

를 평행이동 부분군이라 하자. 참고 12.7로부터 이미 $\mathcal{T}\trianglelefteq E(2)$임을 알고 있다.

평행이동에 의한 몫은

인데, 이는 몫이 선형 부분 $A$만 기억하기 때문이다. 따라서 유클리드 군은 짧은 완전열

에 놓인다. 반직접곱 기술은 이 열이 분할됨(splits)을 말한다: $E(2)$ 안에 $O(2)$과 동형인 실제 부분군, 즉 원점을 고정하는 등거리변환들이 존재한다.

방향 보존 등거리변환

행렬식은 완전한 유클리드 군을 두 개의 큰 조각으로 분리한다.

• $\det(A)=+1$: 평행이동과 회전;
• $\det(A)=-1$: 반사와 미끄럼 반사.

따라서 방향 보존 부분군은

이다. 이는 다음 형태의 모든 등거리변환의 부분군이다.

이 관점을 유지할 가치가 있는 이유

반직접곱 구조는 앞서 다룬 여러 사실을 한꺼번에 설명한다.

• $A T_{\mathbf{v}} A^{-1}=T_{A\mathbf{v}}$이므로 평행이동은 정규적이다;
• 원점을 중심으로 하는 회전들은 보충 부분군 $SO(2)$를 이룬다;
• 유한 이면체군도 같은 양식에 들어맞는다: $$D_n \cong C_n \rtimes C_2,$$ 여기서 $C_2$의 자명하지 않은 원소는 $C_n$에 역원 취하기로 작용한다;
• 제15장의 확대(extension) 언어는 이를 분할 완전열로 다시 포장한다.

따라서 랭이 여기서 주는 교훈은 평면 등거리변환이 분류될 수 있다는 것만이 아니다. 자연스러운 기하학적 군이 이미 내부 구조를 갖추고 있다는 것이다:

제15장으로의 다리 — 반직접곱이 분할 완전열이 되다

제12장은 이 노트에서 반직접곱이 인위적인 구성이 아니라 자연스럽게 등장하는 답이 되는 첫 지점이다.

두 가지 길잡이 예는 다음과 같다.

• 유클리드 군 $$1\to \mathbb{R}^2 \to E(2)\to O(2)\to 1,$$ 과 더불어 $$E(2)\cong \mathbb{R}^2\rtimes O(2);$$
• 이면체군 $$1\to C_n\to D_n\to C_2\to 1,$$ 과 더불어 $$D_n\cong C_n\rtimes C_2.$$

핵심 구조적 요점은 두 몫 사상 모두 절단(section)을 허용한다는 것이다.

• $E(2)$ 내부의 원점을 고정하는 직교 사상의 부분군;
• $D_n$ 내부의 반사 부분군.

이것이 바로 제15장 - 몫군 계산과 단순군이 분할 짧은 완전열(split short exact sequence)이라 다시 이름 붙일 현상이다.

따라서 다리는 다음과 같다.

• 제12장: 기하학이 반직접곱을 만들어 낸다;
• 제15장: 완전열 언어가 그러한 반직접곱이 왜 일어나는지를 설명한다.

이 다리를 염두에 두면, 제15장은 갑작스러운 새로운 추상화라기보다 제12장의 명료화처럼 느껴질 것이다.

§12.11 풀이 예제

예제 12.27 (평행한 직선에서의 두 반사 합성)

$\sigma_1$을 직선 $y = 1$에 대한 반사, $\sigma_2$를 직선 $y = 4$에 대한 반사라 하자.

$\sigma_1(x, y) = (x, 2 - y)$이고 $\sigma_2(x, y) = (x, 8 - y)$이다.

이들의 합성:

이는 $(0, 6)$만큼의 평행이동이다. $6 = 2 \times 3$은 두 직선 사이 거리의 두 배임에 주목하라. $\checkmark$

예제 12.28 (교차하는 직선에서의 두 반사 합성)

$\sigma_x$를 $x$-축에 대한 반사, $\sigma_{45}$을 직선 $y = x$($x$-축과 $45°$을 이루는)에 대한 반사라 하자.

$\sigma_x(x, y) = (x, -y)$이고 $\sigma_{45}(x, y) = (y, x)$이다.

이들의 합성:

실제로 $2 \times 45° = 90°$이다. $\checkmark$

예제 12.29 (등거리변환의 식별)

사상 $\phi(x, y) = (-y + 2, x - 3)$은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 $A = R_{90°}$이므로 $\det(A) = +1$이고 $A \neq I$이다. 분류에 의해 $\phi$은 회전이다. 중심은 고정점이며, $(I - A)\mathbf{x} = \mathbf{b}$을 풀어서 구한다:

따라서 $\phi$은 $\left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}\right)$을 중심으로 하는 $90°$만큼의 회전이다.

§12.13 플래시카드용 요약

암기해야 할 핵심 사실

1. 등거리변환: 거리를 보존하는 전단사 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$; 항상 $A \in O(2)$을 갖는 $\phi(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$ 형태이다.
2. 분류: 모든 평면 등거리변환은 평행이동, 회전, 반사, 미끄럼 반사 중 정확히 하나이다.
3. 방향: $\det(A) = +1$ (평행이동, 회전) 또는 $\det(A) = -1$ (반사, 미끄럼 반사).
4. 두 평행 반사 $\to$ 평행이동 (두 직선 사이 거리의 두 배만큼).
5. 두 교차 반사 $\to$ 회전 (두 직선 사이 각의 두 배만큼).
6. 모든 등거리변환 = 많아야 3개의 반사의 곱.
7. 반사는 위수 2를 갖는다. 미끄럼 반사는 무한 위수를 갖는다.
8. 평행이동은 정규부분군 $\cong (\mathbb{R}^2, +)$을 이룬다.
9. 원점을 중심으로 하는 회전: $SO(2) \cong S^1 \cong \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$.
10. 레오나르도의 정리: $\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)$의 모든 유한 부분군은 $C_n$ 또는 $D_n$이다.
11. $D_n$: 정 $n$각형의 대칭군, 위수 $2n$, 관계식 $r^n = s^2 = e$, $sr = r^{-1}s$.
12. 꼭짓점에 이름을 붙임으로써 $D_3 \cong S_3$ 그리고 $D_n \hookrightarrow S_n$.
13. 유클리드 군: $E(2) = \mathbb{R}^2 \rtimes O(2)$ (반직접곱).

제12장을 떠나기 전에 숙달해야 할 것

• 평면 등거리변환의 정의와 그 아핀 형태 $A\mathbf{x} + \mathbf{b}$을 진술한다
• 주어진 등거리변환을 평행이동, 회전, 반사, 미끄럼 반사로 분류한다
• 방향($\det = \pm 1$)과 고정점 개수를 사용해 유형을 결정한다
• 두 핵심 경우(평행 / 교차) 모두에서 두 반사의 합성을 계산한다
• 모든 등거리변환이 많아야 세 개의 반사로 분해됨을 안다
• 정 $n$각형의 대칭군을 $D_n$로, 그 회전 부분군을 $C_n$로 식별한다
• 레오나르도의 정리(유한 부분군은 $C_n$ 또는 $D_n$)를 진술하고 정당화한다
• 꼭짓점에 이름을 붙여 $D_n$의 원소를 $S_n$의 순열로 쓴다
• 반직접곱 구조 $E(2) = \mathbb{R}^2 \rtimes O(2)$을 설명한다
• 좌표에서 분류 및 합성 문제를 푼다