9장 - 궤도, 순환, 그리고 교대군

이 장은 치환 이론을 두 방향으로 심화한다. 첫째, 순환(cycle)을 궤도(orbit) 자료로 해석한다. 둘째, 치환을 우(even)와 기(odd)의 두 부류로 나누어 교대군(alternating group)으로 이어지는 패리티(parity)를 도입한다. 핵심 개념은 패리티가 단순한 계산상의 우연이 아니라 **구조적 불변량(structural invariant)**이라는 점이다. 마지막에 가서 $A_n$은 표준 준동형사상 $\operatorname{sgn}: S_n \to \mathbb{Z}_2$의 핵(kernel)으로 등장하며, 이는 자명한 경우를 넘어서는 몫군(quotient group)의 첫 번째 자연스러운 예를 제공한다.

§9.1 치환의 궤도

정의 9.1

$\sigma$을 유한집합 $X$의 치환이라 하자. **$\sigma$ 아래 $x$의 궤도(orbit)**는 다음과 같다.

$X$이 유한이고 $\sigma$이 전단사이므로, 반복 적용은 결국 $x$로 되돌아와야 한다. 즉 $\sigma^k(x) = x$을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $k$가 존재하며, 궤도는 $\{x, \sigma(x), \ldots, \sigma^{k-1}(x)\}$이다.

정리 9.2 (궤도는 집합을 분할한다)

$\sigma \in S_n$이라 하자. $\sigma$의 궤도들은 $\{1, 2, \ldots, n\}$을 분할한다.

증명

궤도들이 공집합이 아니고, 그 합집합이 $\{1,\ldots,n\}$ 전체이며, 서로 다른 궤도들이 서로소임을 보여야 한다.

공집합이 아니고 덮음. 모든 원소 $x \in \{1,\ldots,n\}$는 $\operatorname{Orb}_\sigma(x)$에 속한다($n=0$을 취하라, 즉 $\sigma^0(x) = x$). 따라서 모든 원소는 적어도 하나의 궤도에 들어간다.

서로소이거나 같음. $\operatorname{Orb}_\sigma(x) \cap \operatorname{Orb}_\sigma(y) \neq \varnothing$이라 가정하자. 그러면 $\sigma^r(x) = \sigma^s(y)$을 만족하는 정수 $r, s$가 존재한다. $\sigma$이 전단사이므로 $x = \sigma^{s-r}(y)$이다. 따라서 임의의 $t$에 대해,

$$\sigma^t(x) = \sigma^{t+s-r}(y) \in \operatorname{Orb}_\sigma(y).$$

이는 $\operatorname{Orb}_\sigma(x) \subseteq \operatorname{Orb}_\sigma(y)$임을 보인다. 대칭적인 논증에 의해 $\operatorname{Orb}_\sigma(y) \subseteq \operatorname{Orb}_\sigma(x)$이다. 그러므로 두 궤도는 같다.

따라서 궤도들은 서로 같거나 서로소이며, 그 합집합은 $\{1,\ldots,n\}$이다. $\blacksquare$

예. $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 1 & 6 & 2 & 4 \end{pmatrix} \in S_6$이라 하자.

궤도를 추적하면:

• $1$에서 시작: $1 \to 3 \to 1$. 궤도: $\{1, 3\}$.
• $2$에서 시작: $2 \to 5 \to 2$. 궤도: $\{2, 5\}$.
• $4$에서 시작: $4 \to 6 \to 4$. 궤도: $\{4, 6\}$.

분할: $\{1,3\} \sqcup \{2,5\} \sqcup \{4,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}$. 확인 완료.

§9.2 순환 구조와 궤도

정리 9.3 (궤도는 순환이다)

$\sigma$의 비자명한 궤도들(크기 $\geq 2$인 것들)은 $\sigma$의 서로소 순환 분해(disjoint cycle decomposition)에 나타나는 순환들과 정확히 대응한다. 고정점(크기 $1$인 궤도)은 $1$-순환에 대응하며, 이는 관례상 생략한다.

증명

$O = \{x, \sigma(x), \sigma^2(x), \ldots, \sigma^{k-1}(x)\}$을 크기 $k$인 궤도라 하자. 그러면 $O$로 제한된 $\sigma$은 순환 $(x\;\sigma(x)\;\sigma^2(x)\;\cdots\;\sigma^{k-1}(x))$으로 작용한다. 즉 각 원소를 다음 원소로 보내고, 마지막 원소는 $x$로 되돌린다.

역으로, $(a_1\,a_2\,\cdots\,a_k)$이 서로소 순환 분해에 나타나는 순환이면, $i < k$에 대해 $\sigma(a_i) = a_{i+1}$이고 $\sigma(a_k) = a_1$이므로, $\{a_1, \ldots, a_k\}$은 정확히 $a_1$의 궤도이다.

궤도들이 $\{1,\ldots,n\}$을 분할하고 서로소 순환들이 고정되지 않은 원소들을 분할하므로, 이 대응은 전단사이다. $\blacksquare$

예 (계속). 위의 치환 $\sigma$은 궤도 $\{1,3\}$, $\{2,5\}$, $\{4,6\}$을 가진다. 서로소 순환 분해는 다음과 같다.

크기 $2$인 각 궤도는 $2$-순환을 준다. 궤도와 순환은 같은 정보를 담는다.

그림: 동일한 치환에 대한 궤도 분할과 서로소 순환 표기.

왼쪽의 각 궤도 고리는 오른쪽의 서로소 순환 하나가 된다. 이 정리는 새로운 자료를 더하는 것이 아니라, 순환 표기가 궤도 분할과 각 궤도 위에서의 $\sigma$의 작용을 함께 기록하는 압축된 방식일 뿐임을 말해준다.

§9.3 호환

정의 9.4

**호환(transposition)**은 $2$-순환 $(a\;b)$로서, $a$와 $b$을 맞바꾸고 나머지는 모두 고정한다.

정리 9.5 (호환 분해)

모든 치환 $\sigma \in S_n$는 호환들의 곱으로 쓸 수 있다.

증명

서로소 순환 분해 정리(8장)에 의해 모든 치환은 서로소 순환들의 곱이다. 따라서 각 $k$-순환을 호환들의 곱으로 쓰면 충분하다.

$$(a_1\;a_2\;\cdots\;a_k) = (a_1\;a_k)(a_1\;a_{k-1})\cdots(a_1\;a_3)(a_1\;a_2).$$

검증: 우변을 $a_1$에 적용하면, $(a_1\;a_2)$이 $a_1 \mapsto a_2$을 보내고, 이후의 어떤 호환도 $a_2$을 움직이지 않는다(뒤에 나타나지 않으므로). 따라서 $a_1 \mapsto a_2$이다. $2 \leq j \leq k-1$에 대해 $a_j$에 적용하면: $(a_1\;a_2)$은 $a_j$을 고정하고, 이어서 $i > j$에 대한 각 $(a_1\;a_i)$은 $a_j$을 고정하며, 호환 $(a_1\;a_j)$은 $a_j \mapsto a_1$을 보내고, 그 다음 $(a_1\;a_{j+1})$은 $a_1 \mapsto a_{j+1}$을 보내며, 이후의 호환들은 $a_{j+1}$을 고정한다. 따라서 $a_j \mapsto a_{j+1}$이다. $a_k$에 적용하면: $(a_1\;a_k)$은 $a_k \mapsto a_1$을 보내고, 이후의 어떤 호환도 $a_1$을 움직이지 않는다. 따라서 $a_k \mapsto a_1$이다. 이는 순환과 일치한다. $\blacksquare$

주의. 호환 분해는 유일하지 않다. 예를 들어:

마지막 표현은 두 개 대신 네 개의 호환을 사용한다. 그러나 주목하라: $2$과 $4$은 모두 짝수이다. 이는 우연이 아니다.

§9.4 우치환과 기치환 --- 패리티 정리

이것은 이 장에서 가장 어려운 정리이다. 핵심은 $\sigma$의 호환 분해가 유일하지 않더라도, 패리티(호환 개수의 짝/홀)는 항상 동일하다는 것이다.

정의 9.6 (역위)

$\sigma \in S_n$에 대해, **역위(inversion)**란 $i < j$이고 $\sigma(i) > \sigma(j)$인 쌍 $(i,j)$이다. **역위수(inversion number)**는 다음과 같다.

예. $\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&4&2 \end{pmatrix} \in S_4$이라 하자. $i < j$인 모든 쌍 $(i,j)$을 나열하면:

따라서 $\operatorname{inv}(\sigma) = 3$이며, 이는 홀수이다.

그림: 음영 칸으로 표시한 역위 쌍.

음영 칸은 정확히 역위 쌍 $(1,2)$, $(1,4)$, $(3,4)$이다. 이를 천천히 살펴볼 가치가 있다. 여기서 패리티는 임의의 부호 약속이 아니라, 순서가 어긋난 쌍의 개수의 패리티이다. 인접 호환이 이 개수를 $2$을 법으로 하여 1만큼 바꾸기 때문에 보조정리 9.7이 성립한다.

보조정리 9.7 (인접 호환과 역위)

$\tau_k = (k\;\;k{+}1)$이 인접 호환이면, 임의의 $\sigma \in S_n$에 대해:

특히, $\operatorname{inv}(\sigma\tau_k) \equiv \operatorname{inv}(\sigma) + 1 \pmod{2}$이다.

증명

호환 $\tau_k$은 위치 $k$와 $k+1$의 값을 맞바꾸고, 다른 모든 위치는 그대로 둔다. $i < j$인 쌍 $(i,j)$을 생각하자:

• $i$과 $j$ 모두 $\{k, k+1\}$에 속하지 않는 경우: 그 쌍은 $\operatorname{inv}(\sigma)$과 $\operatorname{inv}(\sigma\tau_k)$에 동일하게 기여한다.
• $i,j$ 중 정확히 하나만 $\{k, k+1\}$에 속하는 경우: 가령 $j = k$이고 $i < k$이라 하자. 그러면 $\sigma\tau_k(i) = \sigma(i)$이고 $\sigma\tau_k(k) = \sigma(k+1)$이다. $\sigma(i)$ vs $\sigma(k)$의 상대적 순서는 $\sigma(i)$ vs $\sigma(k+1)$와 다를 수 있으나, 특히 쌍 $(k, k+1)$에 대해서는 이것이 바뀌는 부분이다.
• 역위 여부가 반드시 뒤집히는 유일한 쌍은 $(k, k+1)$ 자신이다. 즉 $\sigma(k) < \sigma(k+1)$이면(역위가 아님) $\sigma\tau_k(k) = \sigma(k+1) > \sigma(k) = \sigma\tau_k(k+1)$이고(역위), 그 역도 성립한다.

더 정확히는: $f(i,j)$을 쌍 $(i,j)$이 역위 개수에 기여하는 값으로 정의하자. $(k, k+1)$을 제외한 모든 쌍에 대해 그 효과를 생각해 보자. $i < k$인 쌍 $(i, k)$에 대해: $\sigma\tau_k(i) = \sigma(i)$이고 $\sigma\tau_k(k) = \sigma(k+1)$이다. 쌍 $(i, k+1)$에 대해: $\sigma\tau_k(i) = \sigma(i)$이고 $\sigma\tau_k(k+1) = \sigma(k)$이다. 따라서 쌍 $(i,k)$과 $(i,k+1)$은 $\{\sigma(k), \sigma(k+1)\}$에서 $\{\sigma(k+1), \sigma(k)\}$으로 역위 기여를 통째로 맞바꾸며, 이는 한쪽이 잃은 만큼 다른 쪽이 얻는다는 뜻이다. 이 쌍들로부터의 순변화는 0이다. $j > k+1$인 쌍 $(k, j)$과 $(k+1, j)$에 대해서도 마찬가지이다.

따라서 역위 개수의 전체 변화는 오직 쌍 $(k, k+1)$에서만 비롯되며, 이는 정확히 한 번 뒤집힌다. 그러므로 $\operatorname{inv}(\sigma\tau_k) = \operatorname{inv}(\sigma) \pm 1$이다. $\blacksquare$

보조정리 9.8 (임의의 호환은 홀수 개의 인접 호환의 곱이다)

$i < j$에 대해, 호환 $(i\;j)$은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이는 $2(j-i) - 1$개의 인접 호환(홀수 개)으로 이루어진다.

증명

위치 $i, i+1, \ldots, j$에 있는 원소들을 생각하자. 호환 $(i\;j)$은 $j-i$개의 인접 교환을 통해 $i$를 위치 $j$로 “거품처럼 밀어 올린” 다음, (이제 밀려난) $j$를 $j-i-1$개의 교환으로 되돌린다. 총합: $(j-i) + (j-i-1) = 2(j-i)-1$이며, 이는 홀수이다.

명시적으로: 먼저 $(j{-}1\;\;j)$을 적용하고, 그 다음 $(j{-}2\;\;j{-}1)$, …, 그리고 $(i\;\;i{+}1)$을 적용하여 $j$을 위치 $i$로 가져오고 $i, i+1, \ldots, j-1$을 각각 한 칸씩 오른쪽으로 이동시킨다. 그런 다음 $(i{+}1\;\;i{+}2)$, …, $(j{-}1\;\;j)$을 적용하여 원소 $i+1, \ldots, j-1$을 원래 위치로 복원한다. 순효과는 오직 위치 $i$과 $j$만 맞바뀌는 것이다. $\blacksquare$

정리 9.9 (패리티 정리 --- 이 장의 핵심 정리)

$\sigma \in S_n$이 $r$개의 호환의 곱으로도 쓰일 수 있고 $s$개의 호환의 곱으로도 쓰일 수 있으면, $r \equiv s \pmod{2}$이다.

증명 (역위 세기를 통해)

$\sigma = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_r$로 쓰자. 여기서 각 $\tau_i$는 호환이다. $\operatorname{inv}(e) = 0$(짝수)인 항등치환 $e$에서 시작한다.

보조정리 9.8에 의해, 각 호환 $\tau_i$은 홀수 개의 인접 호환의 곱이다. 보조정리 9.7에 의해, 각 인접 호환은 $\operatorname{inv}$의 패리티를 바꾼다. 패리티 변화가 홀수 번 일어나면 순패리티 변화가 생긴다. 따라서 각 호환 $\tau_i$은 $\operatorname{inv}$의 패리티를 뒤집는다.

$e$에 $r$개의 호환을 적용하면:

$$\operatorname{inv}(\sigma) \equiv \operatorname{inv}(e) + r \equiv r \pmod{2}.$$

마찬가지로, 다른 분해로부터:

$$\operatorname{inv}(\sigma) \equiv s \pmod{2}.$$

따라서 $r \equiv s \pmod{2}$이다. $\blacksquare$

정의 9.10 (우치환과 기치환)

치환 $\sigma \in S_n$가 짝수 개의 호환의 곱으로 쓰일 수 있으면 **우치환(even)**이고, 홀수 개의 곱으로 쓰일 수 있으면 **기치환(odd)**이다. 패리티 정리에 의해 이 분류는 잘 정의된다. 즉 $\sigma$가 둘 다일 수는 없다.

동치로, $\sigma$가 우치환일 필요충분조건은 $\operatorname{inv}(\sigma)$가 짝수인 것이다.

§9.5 부호 준동형사상

정의 9.11 (치환의 부호)

$\operatorname{sgn}: S_n \to \{+1, -1\}$을 다음으로 정의한다.

동치로, $\sigma = \tau_1\cdots\tau_r$이 임의의 호환 분해이면 $\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^r$이다.

정리 9.12 (sgn은 군 준동형사상이다)

사상 $\operatorname{sgn}: S_n \to (\{+1,-1\}, \cdot)$은 잘 정의된 전사 군 준동형사상이다.

증명

잘 정의됨: 패리티 정리(정리 9.9)에 의해 $(-1)^r$는 호환 분해의 선택이 아니라 오직 $\sigma$에만 의존한다.

준동형사상: $\sigma = \tau_1\cdots\tau_r$과 $\rho = \mu_1\cdots\mu_s$을 호환 분해라 하자. 그러면

$$\sigma\rho = \tau_1\cdots\tau_r\mu_1\cdots\mu_s$$

은 $r + s$개의 호환의 곱이다. 따라서

$$\operatorname{sgn}(\sigma\rho) = (-1)^{r+s} = (-1)^r \cdot (-1)^s = \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \operatorname{sgn}(\rho).$$

전사: $n \geq 2$에 대해, 호환 $(1\;2)$은 $\operatorname{sgn}(1\;2) = -1$을 가지고, 항등치환은 $\operatorname{sgn}(e) = +1$를 가진다. 따라서 $\{+1,-1\}$의 두 원소가 모두 상으로 나온다. $\blacksquare$

따름정리 9.13

모든 $\sigma, \tau \in S_n$에 대해:

1. $\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$.
2. $\operatorname{sgn}(\sigma^{-1}) = \operatorname{sgn}(\sigma)$.
3. $\operatorname{sgn}(e) = +1$.

증명

(1)은 준동형사상 성질이다. (2)의 경우: $\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\sigma^{-1}) = \operatorname{sgn}(\sigma\sigma^{-1}) = \operatorname{sgn}(e) = (-1)^0 = 1$이므로, $(\pm 1)^{-1} = \pm 1$에서 $\operatorname{sgn}(\sigma^{-1}) = \operatorname{sgn}(\sigma)^{-1} = \operatorname{sgn}(\sigma)$이다. (3)은 빈 곱으로부터 즉시 따른다. $\blacksquare$

§9.6 $k$-순환의 패리티

정리 9.14 (순환의 부호)

$k$-순환은 정확히 $k-1$개의 호환의 곱이다. 따라서:

$k$-순환은 $k$이 홀수일 필요충분조건으로 우치환이다.

증명

호환 분해는 다음과 같다.

$$(a_1\;a_2\;\cdots\;a_k) = (a_1\;a_k)(a_1\;a_{k-1})\cdots(a_1\;a_3)(a_1\;a_2).$$

이는 $k-1$개의 호환의 곱이다. (검증은 정리 9.5에서 주어졌다.)

따라서 $\operatorname{sgn}(a_1\;\cdots\;a_k) = (-1)^{k-1}$이다.

이제 $(-1)^{k-1} = +1$일 필요충분조건은 $k-1$이 짝수인 것이고, 이는 $k$가 홀수인 것과 동치이다. $\blacksquare$

빠른 참조표:

정리 9.15 (순환형으로부터의 부호)

$\sigma$이 순환 길이 $k_1, k_2, \ldots, k_r$(고정점에 대한 $1$-순환을 포함하여, 즉 $k_1 + k_2 + \cdots + k_r = n$)을 갖는 서로소 순환 분해를 가지면,

여기서 $c(\sigma)$은 고정점을 포함한 순환의 총 개수이다.

증명

서로소 순환들이 교환되므로, $\operatorname{sgn}$은 다음과 같이 인수분해된다.

$$\operatorname{sgn}(\sigma) = \prod_{i=1}^r \operatorname{sgn}(\text{$k_i$-cycle}) = \prod_{i=1}^r (-1)^{k_i - 1} = (-1)^{\sum(k_i - 1)} = (-1)^{(\sum k_i) - r} = (-1)^{n - r}. \quad \blacksquare$$

예. 치환 $\sigma = (1\;3\;5)(2\;4) \in S_5$는 순환 길이 $3, 2$을 가진다(명시적으로 나열할 고정점은 없으나, $S_5$에서 생각하면 전체 순환형은 $3, 2$이고 $n = 5$이다). 여기서 “순환”의 개수는 약속에 따라 달라진다. 비자명한 순환만 사용하는 공식으로: $\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{3-1} \cdot (-1)^{2-1} = (+1)(-1) = -1$. 또는: 암묵적 항등치환을 포함하면 $c(\sigma) = 2$개의 비자명한 순환이지만, $n - c(\sigma)$은 고정점을 세는 것을 요구한다. $S_5$에서는 고정점이 없으므로 $c(\sigma) = 2$이고 $\operatorname{sgn} = (-1)^{5-2} = (-1)^3 = -1$이다. 둘 다 일치한다.

§9.7 교대군 $A_n$

정의 9.16

**교대군(alternating group)**은 다음과 같다.

정리 9.17 ($A_n$의 성질)

1. $A_n$은 $S_n$의 **정규부분군(normal subgroup)**이다(준동형사상의 핵이다).
2. $n \geq 2$에 대해 $|A_n| = \dfrac{n!}{2}$.
3. $S_n / A_n \cong \mathbb{Z}_2$.

증명

(1) 임의의 군 준동형사상의 핵은 정규부분군이다. $\operatorname{sgn}: S_n \to \{+1,-1\}$이 준동형사상이므로, $A_n = \ker(\operatorname{sgn})$은 $S_n$에서 정규이다.

(2) 제1동형정리에 의해 $S_n / \ker(\operatorname{sgn}) \cong \operatorname{im}(\operatorname{sgn})$이다. $n \geq 2$에 대해 $\operatorname{sgn}$은 전사이므로(정리 9.12), $\operatorname{im}(\operatorname{sgn}) = \{+1,-1\}$이고, 이는 위수 $2$을 가진다. 따라서

$$[S_n : A_n] = |S_n / A_n| = 2, \qquad \text{so} \qquad |A_n| = \frac{|S_n|}{2} = \frac{n!}{2}.$$

(3) $S_n / A_n \cong \operatorname{im}(\operatorname{sgn}) = \{+1,-1\} \cong \mathbb{Z}_2$이다. 곱셈에 대한 $\{+1,-1\}$이 위수 $2$의 순환군이기 때문이다. $\blacksquare$

정리 9.18 ($n \geq 3$에 대해 $A_n$은 $3$-순환으로 생성된다)

$A_n$의 모든 원소는 $3$-순환들의 곱으로 쓸 수 있다.

증명

우치환은 정의상 짝수 개의 호환의 곱이다. 따라서 임의의 두 호환의 곱이 $3$-순환들의 곱으로 쓰일 수 있음을 보이면 충분하다. 두 가지 경우가 있다.

경우 1: 두 호환이 한 원소를 공유한다. $b \neq c$일 때 $\sigma = (a\;b)(a\;c)$이라 하자. 그러면:

• $a \mapsto c \mapsto c$ (먼저 $(a\;c)$ 아래에서, 그 다음 $c \neq b$이면 $(a\;b)$가 $c$을 고정하는데, 실제로 그렇다). 잠깐, 신중하게 계산해 보자.
• 먼저 $(a\;c)$를 적용: $a \mapsto c$. 그 다음 $(a\;b)$: $c \mapsto c$ ($c \neq a, b$이므로). 따라서 $a \mapsto c$.
• 먼저 $(a\;c)$을 적용: $c \mapsto a$. 그 다음 $(a\;b)$: $a \mapsto b$. 따라서 $c \mapsto b$.
• 먼저 $(a\;c)$을 적용: $b \mapsto b$. 그 다음 $(a\;b)$: $b \mapsto a$. 따라서 $b \mapsto a$.

따라서 $(a\;b)(a\;c) = (a\;c\;b)$이며, 이는 $3$-순환이다.

경우 2: 두 호환이 서로소이다. $\{a,b\} \cap \{c,d\} = \varnothing$일 때 $\sigma = (a\;b)(c\;d)$이라 하자. “다리(bridge)” 원소를 도입한다. 다음을 검증할 수 있다.

$$(a\;b)(c\;d) = (a\;c\;b)(a\;c\;d).$$

확인: 먼저 $(a\;c\;d)$를 적용하고, 그 다음 $(a\;c\;b)$을 적용한다.

• $a$: $(a\;c\;d)$이 $a \mapsto c$을 보내고, $(a\;c\;b)$이 $c \mapsto b$을 보낸다. 따라서 $a \mapsto b$. $\checkmark$
• $b$: $(a\;c\;d)$가 $b$을 고정하고, $(a\;c\;b)$이 $b \mapsto a$을 보낸다. 따라서 $b \mapsto a$. $\checkmark$
• $c$: $(a\;c\;d)$가 $c \mapsto d$을 보내고, $(a\;c\;b)$이 $d$을 고정한다. 따라서 $c \mapsto d$. $\checkmark$
• $d$: $(a\;c\;d)$가 $d \mapsto a$을 보내고, $(a\;c\;b)$이 $a \mapsto c$를 보낸다. 따라서 $d \mapsto c$. $\checkmark$

두 경우 모두 $3$-순환들의 곱을 만든다. 호환 쌍의 개수에 대한 귀납법에 의해, 모든 우치환은 $3$-순환들의 곱이다. $\blacksquare$

§9.8 명시적인 작은 경우들

$A_3$

$|A_3| = 3!/2 = 3$. $S_3$의 원소들과 그 부호:

따라서

이는 순환군이며, 어느 $3$-순환으로든 생성된다: $(1\;2\;3)^2 = (1\;3\;2)$이고 $(1\;2\;3)^3 = e$이다.

$A_4$

$|A_4| = 24/2 = 12$. 우치환을 순환형으로 분류하면:

항등치환 (원소 1개):

$3$-순환 (원소 8개): $3$-순환은 부호 $(-1)^2 = +1$을 가지므로, $S_4$의 모든 $3$-순환은 $A_4$에 속한다. $\{1,2,3,4\}$에서 $3$개의 원소를 골라 순환을 만든다: $\binom{4}{3} \cdot 2 = 8$개의 3-순환(각 $3$개 원소 집합이 $2$개의 서로 다른 순환을 준다).

서로소인 두 호환의 곱 (원소 3개): 단일 호환은 기치환이지만, 서로소인 두 호환의 곱은 부호 $(-1)(-1) = +1$을 가진다.

총합: $1 + 8 + 3 = 12 = |A_4|$. $\checkmark$

클라인 4원군 $V_4 \trianglelefteq A_4$

집합

은 $A_4$의 부분군으로 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$(클라인 4원군, Klein four-group)과 동형이다. 닫힘을 검증할 수 있다.

모든 비항등 원소는 위수 $2$를 가지며, 이 군은 가환이다. 이것이 클라인 4원군이다.

$V_4$은 $A_4$에서 정규이다(그리고 사실 $S_4$에서도): 이중 호환들의 집합은 $S_4$에서 켤레변환에 대해 닫혀 있는데, 켤레변환은 순환형을 보존하기 때문이다. $V_4$이 항등치환과 $S_4$에서 순환형 $(2,2)$인 모든 원소의 합집합이므로, 켤레변환에 대해 불변이다. 특히 $A_4$에서 정규이다.

이는 주목할 만하다: $A_4$은 위수 $12$인 군으로, $6 \mid 12$임에도 불구하고 위수 $6$인 부분군을 갖지 않는다. 라그랑주 정리의 역은 이미 $A_4$에서 성립하지 않는다. 그림: $A_4$의 정규부분군 격자.

$V_4$은 위수 $4$인 유일한 정규부분군이며, 위수 $3$인 순환부분군이 네 개 있다(그 중 어느 것도 정규가 아니다).

§9.9 순환의 거듭제곱과 과제와의 연결

정리 9.19 (순환의 거듭제곱의 구조)

$\sigma = (a_1\;a_2\;\cdots\;a_k)$를 $k$-순환이라 하고, $m$를 양의 정수라 하자. $d = \gcd(m, k)$로 두자. 그러면 $\sigma^m$은 각각 길이 $k/d$인 $d$개의 서로소 순환으로 이루어진다.

증명

원소 $\{a_1, a_2, \ldots, a_k\}$(첨자는 $k$을 법으로 함) 위에서의 $\sigma^m$의 작용을 생각하자. $\sigma^m(a_i) = a_{i+m}$이다(첨자는 $k$을 법으로 함). $\sigma^m$ 아래 $a_i$의 궤도는

$$\{a_i, a_{i+m}, a_{i+2m}, \ldots\}$$

이며, 여기서 첨자는 $k$을 법으로 한다. 이 궤도의 크기는 $tm \equiv 0 \pmod{k}$을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $t$과 같다. 즉 $t = k/\gcd(m,k) = k/d$이다.

각 궤도는 크기 $k/d$을 가지며, 총 $k$개의 원소가 있으므로 궤도의 개수는 $k/(k/d) = d$이다.

따라서 $\sigma^m$은 각각 길이 $k/d$인 $d = \gcd(m,k)$개의 서로소 순환으로 분해된다. $\blacksquare$

따름정리. $\sigma^m$이 그 자체로 순환(즉 단일 순환에 고정점을 더한 것)일 필요충분조건은 $\gcd(m, k) = 1$이다.

응용: 과제 1 문제 2 --- $\sigma^2$도 순환인 $S_5$의 순환

문제 (과제 1, 문제 2). $\sigma^2$도 순환이 되는 $S_5$의 순환 $\sigma$의 개수를 세라. (항등치환도 순환으로 간주한다.)

풀이. 핵심 제약은 $\sigma$가 그 자체로 단일 순환이어야 한다는 것이다(서로소 순환들의 곱이 아니라). $S_5$에서 단일 순환의 가능한 순환 길이는 $k = 1, 2, 3, 4, 5$이다.

정리 9.19에 의해, $k$-순환 $\sigma$에 대해 치환 $\sigma^2$는 길이 $k/\gcd(2,k)$인 $\gcd(2,k)$개의 서로소 순환으로 이루어진다. 따라서 $\sigma^2$가 단일 순환일 필요충분조건은 $\gcd(2,k) = 1$이거나(즉 $k$가 홀수) 또는 $k \leq 2$인 것이다(여기서 $\sigma^2 = e$이며, 이를 순환으로 센다).

총합: $1 + 10 + 20 + 0 + 24 = \boxed{55}$.

이 문제의 흔한 오독

솔깃한 실수는 “$\sigma^2$이 순환이 되는 $S_5$의 순환 $\sigma$“을 “$\sigma^2$이 순환이 되는 $S_5$의 치환 $\sigma$“로 해석하는 것이다. 이들은 서로 다른 문제이다.

만약 $\sigma$이 (단일 순환이 아니라) 임의의 치환이 될 수 있다면, 다음도 고려해야 한다:

• $\sigma = (a\;b\;c)(d\;e)$ (3-순환과 서로소인 호환의 곱). 여기서 $\sigma^2 = (a\;c\;b)$은 순환이다. 이러한 치환은 $\binom{5}{3} \cdot 2 \cdot 1 = 20$개 있다. 그러나 $\sigma$ 자체는 순환이 아니다 — 두 서로소 순환의 곱이다. 따라서 이들은 세지 말아야 한다.

• $\sigma = (a\;b)(c\;d)$ (서로소인 두 호환). 여기서 $\sigma^2 = e$이고, 항등치환은 순환이다. 그러나 다시, $\sigma$은 단일 순환이 아니다.

두 번째 실수는 반대 방향이다: “$\sigma^2 = e$이 자명하다”는 이유로 항등치환과 호환을 제외하는 것이다. 그러나 문제는 항등치환이 순환으로 간주된다고 명시하므로, $\sigma^2 = e$은 자격이 있다.

올바른 독법은: $\sigma$은 단일 순환이어야 하며(항등치환을 1-순환으로 포함), $\sigma^2$도 단일 순환이어야 한다는 것이다.

오산	오류	효과
$(abc)(de)$ 유형 포함	$\sigma$는 순환이 아님	$20$만큼 과다 계수
$e$과 호환 제외	$\sigma^2 = e$은 여전히 순환	$11$만큼 과소 계수
두 오류 동시	$55 + 20 - 11 = 64$	틀린 답 $64$

교훈: 대수학에서는 한정사를 신중히 읽어라. “순환 $\sigma$“은 정의역을 제한하고, “$\sigma^2$가 순환이 되는”은 공역을 제한한다.