8장 - 치환군

치환군은 이 강의가 계산적으로 정밀해지는 지점이다. 치환은 곱이 선언된 추상적 기호가 아니라 구체적인 전단사이며, 그 곱셈은 함수의 합성이다. 이 장이 중요한 이유는 군 계산을 명시적으로 만들어 주고, 케일리 정리(Cayley’s theorem)를 통해 모든 군이 대칭군 안에서 실현될 수 있음을 보여 주기 때문이다. 여기서 다루는 모든 것은 실제로 다룰 수 있어야 한다. 즉 이러한 계산을 손으로 빠르고 오류 없이 수행할 수 있어야 한다.

§8.1 치환과 대칭군

정의 8.1 (치환)

집합 $A$의 **치환(permutation)**은 전단사 $\sigma : A \to A$이다. $A$의 모든 치환의 집합에 합성을 부여한 것을 $S_A$로 표기하며, 이를 **$A$ 위의 대칭군(symmetric group)**이라 한다.

$A = \{1, 2, \ldots, n\}$일 때 $S_n$로 쓰고, 이를 $n$개의 문자 위의 대칭군이라 한다. 이때 $|S_n| = n!$이다.

정리 8.2. $S_A$는 합성에 대하여 군이다.

증명

군 공리를 확인한다.

닫힘. $\sigma, \tau : A \to A$가 전단사이면 $\sigma \circ \tau : A \to A$도 전단사이다 (전단사의 합성은 전단사이다).

결합법칙. 함수의 합성은 항상 결합적이다. 즉 모든 $x \in A$에 대하여

$$((\sigma \circ \tau) \circ \mu)(x) = (\sigma \circ \tau)(\mu(x)) = \sigma(\tau(\mu(x))) = \sigma((\tau \circ \mu)(x)) = (\sigma \circ (\tau \circ \mu))(x).$$

항등원. $\iota(x) = x$으로 정의된 항등함수 $\iota : A \to A$는 모든 $\sigma$에 대하여 $\sigma \circ \iota = \iota \circ \sigma = \sigma$를 만족한다.

역원. $\sigma$는 전단사이므로 역함수 $\sigma^{-1}$를 가지며 이 또한 전단사이고, $\sigma \circ \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \circ \sigma = \iota$이다. $\blacksquare$

비고 8.3 (비가환성)

$n \geq 3$일 때 군 $S_n$는 **비가환(non-abelian)**이다. 이는 아래의 풀이 예제에서 명시적으로 보여질 것이다. 가환성의 실패는 병적인 현상이 아니라 치환군에서 일반적으로 나타나는 상황이다.

약속 (합성 순서)

이 노트 전반에 걸쳐, 프레일리(Fraleigh)와 대부분의 대수학 교재에서와 같이 오른쪽에서 왼쪽으로 합성한다.

이는 $\tau$를 먼저 적용한 뒤 $\sigma$를 적용함을 의미한다. $\sigma\tau$를 계산할 때는 각 원소를 $\tau$에 통과시킨 뒤 $\sigma$에 통과시켜 무슨 일이 일어나는지 추적한다.

§8.2 두 줄 표기법

정의 8.4 (두 줄 표기법)

치환 $\sigma \in S_n$는 $2 \times n$ 배열

로 쓸 수 있는데, 여기서 윗줄은 $\{1, \ldots, n\}$의 원소들을 나열하고 아랫줄은 $\sigma$에 의한 그 상(image)을 나열한다.

직관: 왜 치환은 행렬처럼 보이는가?

치환 $\sigma$는 함수이며, 유한집합 위의 임의의 함수는 그 값들을 나열함으로써 결정된다. 두 줄 표기법은 다름 아닌 **참조표(lookup table)**이다. 각 열은 입력(위)을 출력(아래)과 짝지으므로, $k$번째 열은 "$k \mapsto \sigma(k)$"임을 말해 준다. 입력을 순서대로 배열하는 것은 순전히 편의를 위함이며, 이로써 $\sigma(k)$를 즉시 읽어 낼 수 있게 된다.

행렬과의 유사성은 우연이 아니다. 모든 $\sigma \in S_n$는 각 행과 열에 단 하나의 $1$을 배치함으로써 진정한 $n \times n$ 치환행렬(permutation matrix) $P_\sigma$를 정의한다. $(P_\sigma)_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } \sigma(j) = i, \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}$ 두 줄 배열은 $P_\sigma$의 압축된 부호화이다. 즉 $n^2$개의 성분(대부분 0)을 모두 적는 대신, $1$들의 $n$개의 위치만을 기록한다. 그리고 행렬 곱셈이 선형사상의 합성을 부호화하듯이, 치환행렬을 합성하는 것은 치환을 합성하는 것에 대응하므로 대수적 구조가 그대로 옮겨진다.

예제 8.5.

로 정의된 치환 $\sigma \in S_4$는 $\sigma(1) = 3$, $\sigma(2) = 1$, $\sigma(3) = 4$, $\sigma(4) = 2$를 의미한다.

두 줄 표기법에서 치환의 합성

$\sigma\tau$를 계산하려면, $\tau$를 먼저 적용한 뒤 $\sigma$를 적용함을 기억하라.

예제 8.6. 다음과 같이 두자.

$\sigma\tau$ 계산: 각 $x$에 대하여 $\sigma(\tau(x))$를 계산한다.

따라서 $\sigma\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \iota$로 항등원이다.

$\tau\sigma$ 계산: 각 $x$에 대하여 $\tau(\sigma(x))$를 계산한다.

따라서 $\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \iota$도 성립한다.

이 특정한 예제에서는 $\sigma\tau = \tau\sigma = \iota$이므로 $\tau = \sigma^{-1}$이다. 이는 특수한 경우이며, 일반적으로는 $\sigma\tau \neq \tau\sigma$이다.

예제 8.7. $\alpha, \beta \in S_4$를 다음과 같이 두자.

$\alpha\beta$: $\beta$를 먼저 적용한 뒤 $\alpha$를 적용한다.

따라서 $\alpha\beta = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$이다.

$\beta\alpha$: $\alpha$를 먼저 적용한 뒤 $\beta$를 적용한다.

따라서 $\beta\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$이다.

$\alpha\beta \neq \beta\alpha$이므로 $S_4$가 비가환임이 확인된다.

§8.3 순환 표기법

정의 8.8 (순환)

$k$-순환(cycle) (또는 길이 $k$의 순환)은 서로 다른 원소 $a_1, a_2, \ldots, a_k$가 존재하여

를 만족하고 $\sigma$가 다른 모든 원소를 고정하는 치환 $\sigma$이다. 이 순환을

로 쓴다.

$2$-순환은 **전위(transposition)**라 한다. $1$-순환 $(a)$은 $\{a\}$ 위에서 항등원이며 보통 생략한다.

예제 8.9. $S_5$에서 순환 $(1 \; 3 \; 5)$은 다음 치환이다.

두 줄 표기법으로는

두 줄 표기법에서 순환 표기법으로 변환하기

가장 작은 원소에서 시작한다. $\sigma$에 의한 그 궤도(orbit)를 시작점으로 돌아올 때까지 따라간다. 이를 하나의 순환으로 기록한다. 그런 다음 아직 처리되지 않은 가장 작은 원소를 택하여 반복한다.

예제 8.10. 다음을 순환 표기법으로 변환하라.

• $1$에서 시작한다: $1 \to 3 \to 1$. 순환: $(1\;3)$.

  잠깐 — 더 신중히 추적하자. $\sigma(1)=3$, $\sigma(3)=1$. 따라서 $1 \to 3 \to 1$. 이로부터 순환 $(1\;3)$을 얻는다.

• 사용되지 않은 가장 작은 원소: $2$. $\sigma(2)=5$, $\sigma(5)=2$. 순환: $(2\;5)$.

• 사용되지 않은 가장 작은 원소: $4$. $\sigma(4)=6$, $\sigma(6)=4$. 순환: $(4\;6)$.

따라서 $\sigma = (1\;3)(2\;5)(4\;6)$이다.

검산: $(1\;3)(2\;5)(4\;6)$은 $1\to 3$, $2\to 5$, $3\to 1$, $4\to 6$, $5\to 2$, $6\to 4$로 보낸다. 이는 두 줄 표기법과 일치한다. $\checkmark$

예제 8.11. 순환 표기법으로 변환하라.

• $1$에서 시작한다: $1 \to 4 \to 1$. 순환: $(1\;4)$.
• 사용되지 않은 가장 작은 원소: $2$. $\sigma(2) = 2$이므로 $2$은 고정점이다 (생략).
• 사용되지 않은 가장 작은 원소: $3$. $3 \to 5 \to 3$. 순환: $(3\;5)$.

따라서 $\tau = (1\;4)(3\;5)$이다.

§8.4 서로소 순환 분해

정의 8.12 (서로소 순환)

두 순환 $(a_1\;\cdots\;a_j)$과 $(b_1\;\cdots\;b_k)$이 **서로소(disjoint)**라는 것은 $\{a_1,\ldots,a_j\} \cap \{b_1,\ldots,b_k\} = \emptyset$임을, 즉 어떤 원소도 두 순환 모두에 나타나지 않음을 뜻한다.

정리 8.13 (서로소 순환 분해)

모든 치환 $\sigma \in S_n$는 서로소 순환의 곱으로 쓸 수 있다. 이 분해는 순환이 나열되는 순서를 무시하면 (그리고 $1$-순환의 생략을 무시하면) 유일하다.

증명

존재성. $\sigma \in S_n$라 하자. $\sigma$에 의한 $x$의 궤도를

$$\operatorname{Orb}_\sigma(x) = \{x, \sigma(x), \sigma^2(x), \ldots\}.$$

로 정의한다. $\{1,\ldots,n\}$가 유한하고 $\sigma$가 단사이므로, $x$에서 시작하여 $\sigma$를 반복 적용하면 결국 어떤 값을 다시 방문하게 된다. 처음으로 반복되는 값은 반드시 $x$ 자신이어야 한다. 만약 $\sigma^i(x) = \sigma^j(x)$이고 $i < j$이면 단사성에 의해 $x = \sigma^{j-i}(x)$이기 때문이다. 따라서 $x$의 궤도는 어떤 $m \geq 1$에 대하여

$$\{x, \sigma(x), \sigma^2(x), \ldots, \sigma^{m-1}(x)\}$$

이고, $\sigma$는 이 집합 위에서 순환 $(x\;\sigma(x)\;\sigma^2(x)\;\cdots\;\sigma^{m-1}(x))$로 작용한다.

$\sigma$의 궤도들은 $\{1,\ldots,n\}$을 분할한다 (이는 동치관계에 관한 일반적 사실이다: 어떤 정수 $k$에 대하여 $y = \sigma^k(x)$일 때 $x \sim y$로 정의한다). 각 궤도 위에서 $\sigma$는 하나의 순환으로 작용한다. 이 순환들을 (어떤 순서로든 — 그것들은 서로소이다) 곱하면 $\sigma$가 복원된다.

유일성. $\sigma = \gamma_1 \gamma_2 \cdots \gamma_r = \delta_1 \delta_2 \cdots \delta_s$이 두 개의 서로소 순환 분해라 하자. 임의의 $a \in \{1,\ldots,n\}$에 대하여, 왼쪽 변에서 $a$를 포함하는 순환은 오른쪽 변에서 $a$을 포함하는 순환과 같은 궤도를 만들어 내야 한다 (두 변이 모두 $\sigma$와 같으므로 모든 원소에서 일치한다). 따라서 순환들은 $\sigma$의 궤도들에 의해 결정되며, 이는 $\sigma$ 자체에 의해 결정된다. 두 분해는 같은 순환들로 이루어지며, 다만 다른 순서로 나열되었을 수 있다. $\blacksquare$

§8.5 순환의 대수

정리 8.14 (순환의 역원)

$\sigma = (a_1\;a_2\;\cdots\;a_k)$이면

이다.

증명

$\tau = (a_k\;a_{k-1}\;\cdots\;a_1)$라 하자. $\sigma\tau = \iota$임을 보여야 한다. 순환에 속한 임의의 $a_i$ (여기서 $1 \leq i \leq k$)에 대하여:

• $\tau$은 $a_i$을 수열 $a_k, a_{k-1}, \ldots, a_1$에서 $a_i$의 바로 앞 원소로 보낸다. $(a_k\;a_{k-1}\;\cdots\;a_1)$에서 $a_i$의 다음 원소는 $a_{i-1}$이다 (지수는 $k$을 법으로 하며, 약속 $a_0 = a_k$을 따른다). 따라서 $\tau(a_i) = a_{i-1}$이다.
• 그러면 $\sigma(a_{i-1}) = a_i$이다.

따라서 $(\sigma\tau)(a_i) = \sigma(\tau(a_i)) = \sigma(a_{i-1}) = a_i$이다.

순환에 속하지 않는 원소에 대해서는 $\sigma$과 $\tau$ 모두 그것을 고정한다. 따라서 $\sigma\tau = \iota$이다. $\blacksquare$

예제 8.15. $(1\;3\;5\;2)^{-1} = (2\;5\;3\;1) = (1\;2\;5\;3)$ (같은 순환, 다른 시작점).

정리 8.16 (서로소 순환은 가환이다)

$\alpha$과 $\beta$가 서로소 순환이면 $\alpha\beta = \beta\alpha$이다.

증명

$\alpha = (a_1\;\cdots\;a_j)$와 $\beta = (b_1\;\cdots\;b_k)$가 서로소라 하자. 모든 $x$에 대하여 $(\alpha\beta)(x) = (\beta\alpha)(x)$임을 확인한다.

경우 1: 어떤 $i$에 대하여 $x = a_i$ (즉 $x$가 $\alpha$의 순환 안에 있는 경우). $\alpha$와 $\beta$가 서로소이므로 $\beta$는 $a_i$을 고정하며, 따라서 $\beta(a_i) = a_i$이다. 또한 $\alpha(a_i) = a_{i+1}$이고 (지수는 $j$을 법으로 한다), $\beta$는 $a_{i+1}$도 고정한다. 그러면:

$$(\alpha\beta)(a_i) = \alpha(\beta(a_i)) = \alpha(a_i) = a_{i+1},$$ $$(\beta\alpha)(a_i) = \beta(\alpha(a_i)) = \beta(a_{i+1}) = a_{i+1}.$$

경우 2: 어떤 $i$에 대하여 $x = b_i$ (대칭적인 논증). 양변 모두 $b_{i+1}$를 준다.

경우 3: $x$이 두 순환 중 어디에도 속하지 않는 경우. $\alpha$과 $\beta$ 모두 $x$를 고정하므로 두 합성 모두 $x$을 고정한다.

모든 경우에 $(\alpha\beta)(x) = (\beta\alpha)(x)$이다. $\blacksquare$

정리 8.17 (순환의 위수)

$k$-순환의 위수는 $k$이다.

증명

$\sigma = (a_1\;a_2\;\cdots\;a_k)$라 하자. 그러면 $\sigma^t(a_1) = a_{1+t \bmod k}$이다. (여기서 지수를 순환적으로 매긴다: $a_{k+1} = a_1$ 등.) 이것이 $a_1$과 같을 필요충분조건은 $k \mid t$이다. 이를 만족하는 가장 작은 양의 $t$은 $k$이다. $\blacksquare$

정리 8.18 (치환의 위수)

$\sigma = \gamma_1 \gamma_2 \cdots \gamma_r$이 서로소 순환 분해이고 순환들의 길이가 $m_1, m_2, \ldots, m_r$이면

이다.

증명

$\gamma_i$들이 서로소이므로 가환이다 (정리 8.16). 따라서

$$\sigma^t = \gamma_1^t \gamma_2^t \cdots \gamma_r^t.$$

이다. 이제 $\sigma^t = \iota$일 필요충분조건은 각 $i$에 대하여 $\gamma_i^t = \iota$인 것이다 (순환들이 서로소인 원소 집합 위에서 작용하기 때문이다: $\gamma_i^t$가 $\gamma_i$의 받침(support) 위에서 항등원일 필요충분조건은 치환으로서 $\gamma_i^t = \iota$인 것이고, $\gamma_i$들은 서로소인 받침을 가진다).

정리 8.17에 의해 $\gamma_i^t = \iota$일 필요충분조건은 $m_i \mid t$이다. 모든 $m_i$으로 나누어지는 가장 작은 양의 $t$은 $\operatorname{lcm}(m_1, \ldots, m_r)$이다. $\blacksquare$

예제 8.19. 치환 $\sigma = (1\;2\;3)(4\;5)(6\;7\;8\;9) \in S_9$는 서로소 순환 길이가 $3, 2, 4$이다. 따라서

예제 8.20. 치환 $\tau = (1\;2)(3\;4\;5\;6\;7) \in S_7$은 순환 길이가 $2, 5$이다. 따라서

§8.6 모든 치환은 전위의 곱이다

정리 8.21 (순환의 전위 분해)

모든 $k$-순환은 전위의 곱으로 쓸 수 있다.

증명

양변이 모든 원소에서 일치함을 확인하여 이를 증명한다.

$\sigma = (a_1\;a_2\;\cdots\;a_k)$라 하고 $\rho = (a_1\;a_k)(a_1\;a_{k-1})\cdots(a_1\;a_2)$라 하자.

$a_1$에서: 가장 오른쪽 전위 $(a_1\;a_2)$은 $a_1 \mapsto a_2$로 보낸다. $a_2 \neq a_1$이고 $a_2$은 나머지 전위 $(a_1\;a_3), \ldots, (a_1\;a_k)$ 중 어느 것의 두 번째 성분으로도 나타나지 않으므로 (이들 각각은 $a_1$과, $j \geq 3$인 다른 원소 $a_j$만을 움직인다), 나머지 전위들은 모두 $a_2$을 고정한다. 따라서 $\rho(a_1) = a_2 = \sigma(a_1)$이다. $\checkmark$

$2 \leq i \leq k-1$인 $a_i$에서: 가장 오른쪽 전위 $(a_1\;a_2)$은 $a_i$을 고정한다 ($i \geq 2$이고 $a_i \neq a_1$이므로). 마찬가지로 $(a_1\;a_3), \ldots, (a_1\;a_{i-1})$도 모두 $a_i$을 고정한다. 그러면 $(a_1\;a_i)$은 $a_i \mapsto a_1$로 보낸다. 그런 다음 $(a_1\;a_{i+1})$은 $a_1 \mapsto a_{i+1}$로 보낸다. 나머지 전위 $(a_1\;a_{i+2}), \ldots, (a_1\;a_k)$은 모두 $a_{i+1}$을 고정한다. 따라서 $\rho(a_i) = a_{i+1} = \sigma(a_i)$이다. $\checkmark$

$a_k$에서: 전위 $(a_1\;a_2), \ldots, (a_1\;a_{k-1})$은 모두 $a_k$을 고정한다. 그런 다음 $(a_1\;a_k)$은 $a_k \mapsto a_1$로 보낸다. 왼쪽에는 전위가 없다. 따라서 $\rho(a_k) = a_1 = \sigma(a_k)$이다. $\checkmark$

순환에 속하지 않는 원소에서: 모든 전위가 그러한 원소를 고정하므로 $\rho$도 그것들을 고정한다. $\checkmark$

$\sigma$와 $\rho$가 모든 원소에서 일치하므로 $\sigma = \rho$이다. $\blacksquare$

따름정리 8.22

$S_n$ ($n \geq 2$)의 모든 치환은 전위의 곱으로 쓸 수 있다.

증명

치환을 서로소 순환의 곱으로 쓴다 (정리 8.13). 각 순환에 정리 8.21을 적용한다. 그 결과로 얻은 전위의 곱은 원래 치환과 같다. $\blacksquare$

예제 8.23. $(1\;3\;5\;2\;4)$을 전위의 곱으로 표현하라.

정리 8.21에 의해:

검산. 각 원소에 오른쪽에서 왼쪽으로 적용한다.

전위 분해는 유일하지 않다

같은 치환을 서로 다른 전위의 곱으로 표현할 수 있다. 예를 들어 $(1\;2\;3) = (1\;3)(1\;2) = (2\;3)(1\;3)$이다. 유일한 것은 홀짝성(parity) (전위의 개수가 짝수인지 홀수인지)이다. 이는 9장에서 전개될 것이다.

§8.7 케일리 정리

정리 8.24 (케일리 정리)

모든 군 $G$는 어떤 대칭군의 부분군과 동형이다. 더 정확히는, $G$는 $S_G$ ($G$의 바탕집합의 모든 치환으로 이루어진 군)의 부분군과 동형이다. $G$가 $|G| = n$인 유한군이면 $G$는 $S_n$의 부분군과 동형이다.

증명 (왼쪽 정칙 표현을 통하여)

각 $g \in G$에 대하여 왼쪽 곱셈 사상(left multiplication map) $\lambda_g : G \to G$을

$$\lambda_g(x) = gx.$$

로 정의한다.

1단계. $\lambda_g$은 $G$의 치환이다.

단사: $\lambda_g(x) = \lambda_g(y)$이면 $gx = gy$이므로 왼쪽 소거에 의해 $x = y$이다.

전사: 임의의 $y \in G$에 대하여 $\lambda_g(g^{-1}y) = g(g^{-1}y) = y$이다.

따라서 $\lambda_g \in S_G$이다.

2단계. $\Phi : G \to S_G$을 $\Phi(g) = \lambda_g$로 정의한다.

3단계. $\Phi$는 준동형사상이다. 모든 $g, h \in G$과 모든 $x \in G$에 대하여:

$$\lambda_{gh}(x) = (gh)x = g(hx) = \lambda_g(\lambda_h(x)) = (\lambda_g \circ \lambda_h)(x).$$

따라서 $\Phi(gh) = \lambda_{gh} = \lambda_g \circ \lambda_h = \Phi(g) \circ \Phi(h)$이다.

4단계. $\Phi$는 단사이다. $\Phi(g) = \Phi(h)$, 즉 $\lambda_g = \lambda_h$이라 하자. 그러면 모든 $x \in G$에 대하여 $gx = hx$이다. $x = e$로 두면 $g = h$를 얻는다.

결론. $\Phi$는 단사 준동형사상이므로 $G \cong \Phi(G) \leq S_G$이다. $|G| = n$이면 $G$의 원소들을 $\{1, \ldots, n\}$로 표시하여 $\Phi(G) \leq S_n$을 실현할 수 있다. $\blacksquare$

예제 8.25. $\mathbb{Z}_3 = \{0, 1, 2\}$의 왼쪽 정칙 표현.

따라서 $\Phi(\mathbb{Z}_3) = \{\iota,\;(0\;1\;2),\;(0\;2\;1)\} \leq S_3$이고, 실제로 $\mathbb{Z}_3 \cong \langle (0\;1\;2) \rangle$이다.

§8.8 $S_4$과 $S_5$에서의 풀이 계산

계산 8.26 ($S_4$에서의 곱, 양쪽 순서)

$\alpha = (1\;2\;3)$과 $\beta = (2\;4)$을 $S_4$에서 택하자.

$\alpha\beta$: $\beta$를 먼저 적용한 뒤 $\alpha$을 적용한다.

따라서 $\alpha\beta = (1\;2\;4\;3)$이다.

$\beta\alpha$: $\alpha$을 먼저 적용한 뒤 $\beta$를 적용한다.

따라서 $\beta\alpha = (1\;4\;2\;3)$이다.

관찰:

• $\alpha\beta \neq \beta\alpha$이며, 비가환성을 확인해 준다.
• $\operatorname{ord}(\alpha\beta) = 4$ (이는 $4$-순환이다).
• $\operatorname{ord}(\beta\alpha) = 4$ (역시 $4$-순환이다).
• $(\alpha\beta)^{-1} = (3\;4\;2\;1) = (1\;3\;4\;2)$.

계산 8.27 ($S_5$에서의 역원)

$\sigma = (1\;3\;5)(2\;4) \in S_5$라 하자.

그러면 $\sigma^{-1} = (1\;5\;3)(2\;4)$이다 (각 순환을 뒤집는다; 전위의 역원은 자기 자신이다).

검산: $\sigma\sigma^{-1}$:

잠깐 — 신중해야 한다. $\sigma = (1\;3\;5)(2\;4)$은 $(2\;4)$을 먼저 적용한 뒤 $(1\;3\;5)$를 적용함을 의미한다. 따라서 $\sigma^{-1} = (2\;4)^{-1}(1\;3\;5)^{-1} = (2\;4)(1\;5\;3)$이다.

그러나 $(1\;3\;5)$과 $(2\;4)$가 서로소이므로 가환이다. 따라서

위수: $\operatorname{ord}(\sigma) = \operatorname{lcm}(3, 2) = 6$.

계산 8.28 ($S_5$에서의 더 긴 예제)

$\sigma = (1\;2\;4)$과 $\tau = (1\;3)(2\;5)$를 $S_5$에서 택하자.

$\sigma\tau$: $\tau$를 먼저 적용한 뒤 $\sigma$을 적용한다.

따라서 $\sigma\tau = (1\;3\;2\;5\;4)$로 $5$-순환이다.

$\operatorname{ord}(\sigma\tau) = 5$.

$\tau\sigma$: $\sigma$을 먼저 적용한 뒤 $\tau$를 적용한다.

따라서 $\tau\sigma = (1\;5\;2\;4\;3)$로 역시 $5$-순환이다. 다시 $\operatorname{ord}(\tau\sigma) = 5$이다.

계산 8.29 ($S_5$에서 표기법 변환)

두 줄 형태에서 시작한다.

순환 표기법으로 변환한다.

• $1 \to 2 \to 5 \to 1$. 순환: $(1\;2\;5)$.
• $3 \to 4 \to 3$. 순환: $(3\;4)$.

따라서 $\sigma = (1\;2\;5)(3\;4)$이다.

위수: $\operatorname{lcm}(3, 2) = 6$.

역원: $\sigma^{-1} = (1\;5\;2)(3\;4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$.

§8.9 $S_n$에서의 켤레

정리 8.30 (켤레는 순환을 재표시한다)

임의의 $\tau \in S_n$와 임의의 순환 $(a_1\;a_2\;\cdots\;a_k) \in S_n$에 대하여

이다.

증명

$\sigma = (a_1\;a_2\;\cdots\;a_k)$라 하자. $\tau\sigma\tau^{-1}$와 $(\tau(a_1)\;\tau(a_2)\;\cdots\;\tau(a_k))$가 모든 원소에서 일치함을 보여야 한다.

경우 1: 어떤 $1 \leq i \leq k$에 대하여 $x = \tau(a_i)$. 그러면

$$(\tau\sigma\tau^{-1})(\tau(a_i)) = \tau(\sigma(a_i)) = \tau(a_{i+1}),$$

이고, 여기서 지수는 $k$을 법으로 한다 (따라서 $a_{k+1} = a_1$). 한편,

$$(\tau(a_1)\;\cdots\;\tau(a_k)) \text{ sends } \tau(a_i) \mapsto \tau(a_{i+1}).$$

이다. 이들은 일치한다. $\checkmark$

경우 2: $x \notin \{\tau(a_1), \ldots, \tau(a_k)\}$. 그러면 $\tau^{-1}(x) \notin \{a_1, \ldots, a_k\}$이다 ($\tau$이 전단사이므로). 따라서 $\sigma$는 $\tau^{-1}(x)$을 고정하며, 그러므로

$$(\tau\sigma\tau^{-1})(x) = \tau(\sigma(\tau^{-1}(x))) = \tau(\tau^{-1}(x)) = x.$$

이다. 순환 $(\tau(a_1)\;\cdots\;\tau(a_k))$도 $x$를 고정한다. $\checkmark$

양변이 모든 $x \in \{1, \ldots, n\}$에서 일치하므로 그것들은 같다. $\blacksquare$