제5장 - 부분군

군이 정의되고 나면, 다음으로 떠오르는 구조적 질문은 이것이다. 주어진 군 안에 이미 들어 있는 더 작은 군은 무엇인가? 부분군이 그 답이며, 이는 군론의 기본적인 내부 구조이다. 이후의 모든 구성 — 잉여류(coset), 정규부분군(normal subgroup), 몫군(quotient), 군의 작용(group action) — 은 부분군에 대한 숙달에 의존한다.

§5.1 부분군의 정의

정의 5.1 (부분군)

$(G,\ast )$를 군이라 하자. 부분집합 $H\subseteq G$가 다음을 만족하면 $G$의 **부분군(subgroup)**이라 하고, $H\le G$로 표기한다.

1. $H\ne \varnothing$,
2. $H$가 동일한 연산 $\ast$ 아래에서 그 자체로 군을 이룬다.

조건 (2)가 뜻하는 바는 다음과 같다. 연산 $\ast$를 $H\times H$로 제한하면 그 값이 $H$ 안에 있고(닫혀 있음, closure), $H$가 결합법칙을 만족하며, 항등원을 가지고, $H$의 모든 원소가 $H$ 안에 역원을 가진다.

참고. 결합법칙은 $G$로부터 거저 물려받으므로, 이를 따로 확인하는 일은 결코 없다. 실제로 해야 할 일은 공집합이 아님, 닫혀 있음, 항등원, 역원이다.

명제 5.2 (항등원과 역원이 일치함)

$H\le G$이면 다음이 성립한다.

• $H$의 항등원은 $G$의 항등원과 같다.
• 각 $a\in H$에 대하여, $H$에서의 $a$의 역원은 $G$에서의 $a$의 역원과 같다.

증명

$e_H$을 $H$의 항등원, $e$을 $G$의 항등원이라 하자. 그러면 $H$에서 $e_H{e}_H=e_H$이지만, 또한 $G$에서 $e\cdot e_H=e_H$이다. $G$에서 $e_H$를 왼쪽 소거하면 $e_H=e$을 얻는다.

역원에 대해서는, $a\in H$이고 $b$가 $H$에서의 $a$의 역원이라면 $ab=e_H=e$이다. 그런데 $G$에서의 $a$의 역원은 $ac=e$를 만족하는 유일한 원소이므로 $b=a^{-1}$이다. $■$

이 명제가 중요한 이유는, 새로운 항등원이나 새로운 역원을 “발견”할 필요가 없음을 뜻하기 때문이다. $H$의 군 구조는 전적으로 $G$로부터 물려받은 것이다.

§5.2 2단계 부분군 판정법

모든 군의 공리를 확인하는 것은 낭비다. 다음 판정법이 표준적으로 쓰이는 일꾼이다.

정리 5.3 (2단계 부분군 판정법)

공집합이 아닌 부분집합 $H\subseteq G$가 $G$의 부분군일 필요충분조건은 다음과 같다.

1. 연산에 대해 닫혀 있음: 모든 $a,b\in H$에 대하여 $ab\in H$;
2. 역원에 대해 닫혀 있음: 모든 $a\in H$에 대하여 $a^{-1}\in H$.

증명

$(\Rightarrow )$ $H\le G$이면 $H$가 군이므로 곱과 역원에 대해 닫혀 있다.

$(\Leftarrow )$ $H\ne \varnothing$이고 (1)과 (2)를 만족한다고 하자. $H$에 대하여 군의 공리를 확인한다.

닫혀 있음. (1)에 의해 성립한다.

결합법칙. 임의의 $a,b,c\in H$에 대하여 $(ab)c=a(bc)$인데, 이는 $G$에서 성립하고 모든 원소가 $G$ 안에 있기 때문이다.

항등원. $H\ne \varnothing$이므로 임의의 $a\in H$를 택한다. (2)에 의해 $a^{-1}\in H$이다. (1)에 의해 $a{a}^{-1}=e\in H$이다.

역원. (2)에 의해 성립한다.

따라서 $H$는 동일한 연산 아래에서 군이므로 $H\le G$이다. $■$

예제 5.4. $H=\{0,\pm 3,\pm 6,\pm 9,\dots \}=3\mathbb{Z}$가 $(\mathbb{Z},+)$의 부분군임을 보여라.

확인. $0\in H$이므로 $H\ne \varnothing$이다.

• 닫혀 있음: $3k,3l\in H$이면 $3k+3l=3(k+l)\in H$이다. $✓$
• 역원: $3k\in H$이면 $-(3k)=3(-k)\in H$이다. $✓$

2단계 판정법에 의해 $H\le \mathbb{Z}$이다. $\square$

§5.3 1단계 부분군 판정법

정리 5.3의 두 조건은 하나의 조건으로 합칠 수 있다.

정리 5.5 (1단계 부분군 판정법)

공집합이 아닌 부분집합 $H\subseteq G$가 $G$의 부분군일 필요충분조건은 다음과 같다.

증명

$(\Rightarrow )$ $H\le G$이면 임의의 $b\in H$에 대하여 $b^{-1}\in H$이고, 닫혀 있음에 의해 $a{b}^{-1}\in H$이다.

$(\Leftarrow )$ $H\ne \varnothing$이고 모든 $a,b\in H$에 대하여 $a{b}^{-1}\in H$라고 하자. 정리 5.3의 두 조건을 유도한다.

항등원. 임의의 $h\in H$를 택한다($H\ne \varnothing$이므로 가능하다). $a=b=h$로 두면 $h{h}^{-1}=e\in H$을 얻는다.

역원. $x\in H$이라 하자. $e\in H$이므로(방금 증명함) $a=e,b=x$로 두면 $e{x}^{-1}=x^{-1}\in H$을 얻는다.

닫혀 있음. $x,y\in H$라 하자. $y^{-1}\in H$이므로(방금 증명함) $a=x,b=y^{-1}$으로 두면 $x(y^{-1}{)}^{-1}=xy\in H$을 얻는다.

정리 5.3에 의해 $H\le G$이다. $■$

이 증명은 되풀이되는 대수적 기법을 보여 주므로 체득해 둘 가치가 있다. 즉, 보편적인 조건에서 입력값을 교묘하게 선택하여 항등원, 역원, 곱을 차례로 만들어 내는 기법이다.

예제 5.6. ${\text{SL}}_n(\mathbb{R})=\{A\in {\text{GL}}_n(\mathbb{R}):\det A=1\}$가 ${\text{GL}}_n(\mathbb{R})$의 부분군임을 보여라.

확인. $\det I_n=1$이므로 $I_n\in {\text{SL}}_n(\mathbb{R})$이고, 따라서 이 집합은 공집합이 아니다. $A,B\in {\text{SL}}_n(\mathbb{R})$에 대하여:

따라서 $A{B}^{-1}\in {\text{SL}}_n(\mathbb{R})$이다. 1단계 판정법에 의해 ${\text{SL}}_n(\mathbb{R})\le {\text{GL}}_n(\mathbb{R})$이다. $\square$

§5.4 유한 부분군 판정법

유한 부분집합의 경우 역원을 확인할 필요가 없다 — 비둘기집 원리(pigeonhole principle)가 그 일을 대신한다.

정리 5.7 (유한 부분군 판정법)

$H$를 군 $G$의 공집합이 아닌 유한 부분집합이라 하자. $H$가 군 연산에 대해 닫혀 있으면(즉, 모든 $a,b\in H$에 대하여 $ab\in H$), $H\le G$이다.

증명

$H$가 항등원과 모든 역원을 포함함을 보여야 한다. 임의의 $a\in H$를 고정한다.

1단계: $e\in H$. 거듭제곱의 수열

$$a,a^2,a^3,\dots$$

을 생각하자. 닫혀 있음에 의해 각 항은 $H$ 안에 있다(귀납법: $a^{k+1}=a^k\cdot a$이고 두 인수 모두 $H$ 안에 있다). $H$가 유한하므로 이 거듭제곱들이 모두 서로 다를 수는 없다. 따라서 $a^m=a^n$를 만족하는 정수 $m>n\ge 1$가 존재한다. ($G$에서) 왼쪽 소거하면

$$a^{m-n}=e.$$

을 얻는다. $m-n\ge 1$이고 $a^{m-n}$는 $H$의 원소들의 곱이므로 $e\in H$이다.

2단계: $a^{-1}\in H$. $m-n=1$이면 $a=e$이므로 $a^{-1}=e\in H$이다. $m-n\ge 2$이면

$$a^{-1}=a^{m-n-1},$$

인데, 이는 $a$를 $m-n-1\ge 1$개 곱한 것이므로 $H$ 안에 있다.

$a$가 임의의 원소였으므로, $H$의 모든 원소는 그 역원을 $H$ 안에 가진다. 닫혀 있음 및 공집합이 아님과 결합하면, 정리 5.3에 의해 $H\le G$이다. $■$

무한집합에 대해서는 이것이 성립하지 않는 이유. 음이 아닌 정수 ${\mathbb{Z}}_{\ge 0}$은 덧셈에 대해 닫혀 있는 $(\mathbb{Z},+)$의 공집합이 아닌 부분집합이다. 그러나 $-1\notin {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$이므로 ${\mathbb{Z}}_{\ge 0}$은 부분군이 아니다. 비둘기집 논증이 유한성을 요구하므로 증명이 깨진다.

§5.5 표준적인 부분군: 자명한 부분군, 진부분군이 아닌 부분군, 중심, 그리고 순환 부분군

모든 군 $G$는 적어도 두 개의 부분군을 가진다.

• 자명한 부분군(trivial subgroup): $\{e\}\le G$.
• 전체 부분군(improper subgroup): $G\le G$.

$\{e\}\ne H\ne G$인 부분군 $H$를 **진 비자명 부분군(proper nontrivial subgroup)**이라 한다.

정의 5.8 (군의 중심)

군 $G$의 **중심(center)**은 다음과 같다.

말로 풀면, $Z(G)$은 $G$의 모든 원소와 가환인 원소들로 정확히 이루어진다.

정리 5.9. $Z(G)\le G$.

증명

공집합이 아님. 항등원 $e$는 모든 $x\in G$에 대하여 $ex=xe$를 만족하므로 $e\in Z(G)$이다.

1단계 판정법. $a,b\in Z(G)$이라 하고 $x\in G$을 임의의 원소라 하자. $a{b}^{-1}\in Z(G)$, 즉 $(a{b}^{-1})x=x(a{b}^{-1})$임을 보여야 한다.

$b\in Z(G)$이므로 모든 $x$에 대하여 $bx=xb$이다. 양변의 역원을 취하면(또는 동등하게, 왼쪽에 $b^{-1}$를, 오른쪽에 $b^{-1}$를 곱하면) 모든 $x$에 대하여 $b^{-1}x=x{b}^{-1}$을 얻는다. 따라서 $b^{-1}\in Z(G)$이다.

이제 계산하면:

$$(a{b}^{-1})x=a(b^{-1}x)=a(x{b}^{-1})=(ax)b^{-1}=(xa)b^{-1}=x(a{b}^{-1}).$$

두 번째 단계에서 $b^{-1}\in Z(G)$을, 네 번째 단계에서 $a\in Z(G)$을 사용하였다.

따라서 $a{b}^{-1}\in Z(G)$이고, 정리 5.5에 의해 $Z(G)\le G$이다. $■$

예제 5.10. $Z(S_3)$

$S_3=\{e,(12),(13),(23),(123),(132)\}$의 중심을 계산한다.

원소 $\sigma \in Z(S_3)$은 모든 원소와 가환이어야 한다. $(12)$을 확인하면:

$(13)\ne (23)$이므로 호환(transposition) $(12)$은 $(123)$과 가환이 아니고, 따라서 $(12)\notin Z(S_3)$이다. 비슷한 계산을 통해 항등원이 아닌 모든 원소가 적어도 하나의 다른 원소와 가환이 아님을 알 수 있다.

$Z(G)=\{e\}$인 군을 중심이 자명한(centerless) 군이라 한다. $S_3$는 가장 작은 비가환군이며, 중심이 자명하다.

예제 5.11. $Z(G{L}_n(\mathbb{R}))$

$Z(G{L}_n(\mathbb{R}))=\{\lambda I_n:\lambda \in {\mathbb{R}}^{\times }\}$, 즉 스칼라 행렬임을 주장한다.

$A=\lambda I_n$이면 모든 $B$에 대하여 $AB=\lambda B=B\lambda =BA$이므로 스칼라 행렬은 중심에 속한다.

역으로, $A$이 모든 가역 행렬과 가환이라고 하자. 특히 $A$은 모든 기본 행렬(elementary matrix) $E_{ij}(\alpha )$과 가환인데, 이 행렬은 $i$행에 $j$행의 $\alpha$배를 더하는 것이다. 표준적인 선형대수 논증에 의해 이는 $A$이 스칼라일 수밖에 없도록 강제한다. $\square$

예제 5.12. 가환군의 중심

$G$가 가환이면 모든 $g,x\in G$에 대하여 $gx=xg$이므로 모든 원소가 중심에 속한다.

역으로, $G$가 가환일 필요충분조건은 $Z(G)=G$이다.

§5.6 순환 부분군

정의 5.13 (원소가 생성하는 순환 부분군)

$a\in G$에 대하여, **$a$가 생성하는 순환 부분군(cyclic subgroup)**은 다음과 같다.

(덧셈 표기로는: $⟨a⟩=\{na:n\in \mathbb{Z}\}$.)

정리 5.14. 모든 $a\in G$에 대하여 $⟨a⟩\le G$이다.

증명

공집합이 아님. $a^0=e\in ⟨a⟩$.

1단계 판정법. $a^m,a^n\in ⟨a⟩$이라 하자. 그러면

$$a^m(a^n{)}^{-1}=a^m{a}^{-n}=a^{m-n}\in ⟨a⟩,$$

인데, $m-n\in \mathbb{Z}$이기 때문이다.

정리 5.5에 의해 $⟨a⟩\le G$이다. $■$

명제 5.15 (최소성)

$⟨a⟩$은 $a$를 포함하는 $G$의 가장 작은 부분군이다. 즉, $H\le G$이고 $a\in H$이면 $⟨a⟩\subseteq H$이다.

증명

$H\le G$이고 $a\in H$이면, 연산에 대해 닫혀 있음에 의해 $a^2=a\cdot a\in H$, $a^3\in H$이고, 귀납법에 의해 모든 $n\ge 1$에 대하여 $a^n\in H$이다. $a^{-1}\in H$이므로(역원에 대해 닫혀 있음) 같은 논증으로 모든 $n\ge 1$에 대하여 $a^{-n}\in H$을 얻는다. 또한 $e=a^0\in H$이다. 따라서 $\{a^n:n\in \mathbb{Z}\}=⟨a⟩\subseteq H$이다. $■$

순환군과의 연결. 군 $G$가 어떤 $a\in G$에 대하여 $G=⟨a⟩$이면 순환군(cyclic)이다. 따라서 순환 부분군은 군으로서 순환인 부분군과 정확히 일치한다. 모든 군의 모든 원소는 하나의 순환 부분군을 생성한다. 이것이 추상적 개념인 “순환군”(제6장)과 여기서 다루는 내부 구조 사이를 잇는 다리이다.

예제 5.16. $(\mathbb{Z},+)$에서: $⟨3⟩=3\mathbb{Z}=\{0,\pm 3,\pm 6,\dots \}$.

예제 5.17. $({\mathbb{Z}}_{12},+)$에서: $⟨\bar{3}⟩=\{\bar{0},\bar{3},\bar{6},\bar{9}\}$ (위수 4) 및 $⟨\bar{4}⟩=\{\bar{0},\bar{4},\bar{8}\}$ (위수 3).

예제 5.18. $S_3$에서: $⟨(123)⟩=\{e,(123),(132)\}$ (위수 3) 및 $⟨(12)⟩=\{e,(12)\}$ (위수 2).

§5.7 부분군 격자

정의 5.19 (부분군 격자)

군 $G$의 **부분군 격자(subgroup lattice)**는 포함 관계 $\le$로 순서를 준 $G$의 모든 부분군의 부분순서집합(poset)이다. 이는 하세 도형(Hasse diagram)으로 그려진다. 즉, 도형에서 위쪽에 있는 부분군이 아래쪽의 부분군을 포함하고, 변(edge)은 포함 관계가 한 “단계” 차이가 나는 부분군들을 잇는다.

예제 5.20. ${\mathbb{Z}}_6$의 격자

${\mathbb{Z}}_6$의 부분군은 다음과 같다.

• $⟨\bar{1}⟩={\mathbb{Z}}_6$ (위수 6)
• $⟨\bar{2}⟩=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4}\}$ (위수 3)
• $⟨\bar{3}⟩=\{\bar{0},\bar{3}\}$ (위수 2)
• $⟨\bar{0}⟩=\{\bar{0}\}$ (위수 1)

그림: ${\mathbb{Z}}_6$의 부분군 격자.

부분군의 위수 $\{1,2,3,6\}$는 정확히 $6$의 약수이며, 포함 관계는 가분성(divisibility)을 반영한다. 즉, $2\mid 6$이므로 $⟨\bar{2}⟩\subseteq ⟨\bar{1}⟩$이다.

예제 5.21. ${\mathbb{Z}}_{12}$의 격자

$12$의 약수는 $1,2,3,4,6,12$이다. 이에 대응하는 부분군은 다음과 같다.

그림: ${\mathbb{Z}}_{12}$의 부분군 격자.

포함 관계: $⟨\bar{4}⟩\subseteq ⟨\bar{2}⟩$($4$이 $12$을 법으로 $2$의 배수이므로), $⟨\bar{6}⟩\subseteq ⟨\bar{2}⟩$ 및 $⟨\bar{6}⟩\subseteq ⟨\bar{3}⟩$ 등이다. $\bar{4}\notin \{\bar{0},\bar{3},\bar{6},\bar{9}\}$이므로 $⟨\bar{4}⟩⊈⟨\bar{3}⟩$임에 유의하라.

예제 5.22. ${\mathbb{Z}}_{30}$의 격자

$30=2\cdot 3\cdot 5$. 약수: $1,2,3,5,6,10,15,30$.

그림: ${\mathbb{Z}}_{30}$의 부분군 격자.

$30$의 각 약수 $d$에 대하여 위수 $d$인 순환 부분군이 하나씩 있다. 포함 관계: $⟨\overline{d_1}⟩\subseteq ⟨\overline{d_2}⟩$일 필요충분조건은 $d_2\mid d_1$이다(즉, 생성원이 클수록 부분군은 작아지고, 포함 관계는 생성원에 대한 가분성 순서를 뒤집는다).

예제 5.23. $S_3$의 격자

$S_3$는 위수 $6$를 가지며 비가환군이다. 그 부분군은 다음과 같다.

그림: $S_3$의 부분군 격자.

위수 3인 부분군은 하나(지수(index) 2의 유일한 부분군으로, 나중에 정규부분군임이 밝혀진다)이고, 위수 2인 부분군은 셋이다. 위수 2인 부분군 중 어느 것도 다른 것을 포함하지 않으며, 위수 3인 부분군은 그중 어느 것도 포함하지 않는다.

§5.8 부분군의 교집합

정리 5.24. 부분군들로 이루어진 임의의 족의 교집합은 부분군이다.

$\{H_i{\}}_{i\in I}$를 $G$의 부분군들로 이루어진 (무한일 수도 있는) 족이라 하자. 그러면

증명

공집합이 아님. 각 $H_i$는 부분군이므로 모든 $i$에 대하여 $e\in H_i$이다. 따라서 $e\in \bigcap H_i=H$이다.

1단계 판정법. $a,b\in H$라 하자. 그러면 모든 $i\in I$에 대하여 $a,b\in H_i$이다. 각 $H_i$가 부분군이므로 모든 $i$에 대하여 $a{b}^{-1}\in H_i$이다. 따라서 $a{b}^{-1}\in \bigcap H_i=H$이다.

정리 5.5에 의해 $H\le G$이다. $■$

이것이 중요한 이유. 이 정리는 집합이 생성하는 부분군이 잘 정의됨을 보장한다. 임의의 부분집합 $S\subseteq G$에 대하여, 부분군 $⟨S⟩$는 다음과 같이 정의할 수 있다.

오른쪽의 족은 공집합이 아니므로($G$ 자신이 그러한 $H$이기 때문에), 정리 5.24에 의해 그 교집합은 부분군이며, 이는 $S$를 포함하는 가장 작은 부분군이다.

정리 5.25. 두 부분군의 합집합은 일반적으로 부분군이 아니다.

더 정확히 말하면, $H,K\le G$일 때 $H\cup K\le G$일 필요충분조건은 $H\subseteq K$ 또는 $K\subseteq H$이다.

증명

$(\Leftarrow )$ $H\subseteq K$이면 $H\cup K=K\le G$이다. $K\subseteq H$인 경우도 마찬가지이다.

$(\Rightarrow )$ 대우(contrapositive)를 이용한다. $H⊈K$이고 $K⊈H$이라 하자. 그러면 $h\in H\setminus K$와 $k\in K\setminus H$가 존재한다. $hk\notin H\cup K$임을 주장한다.

$hk\in H$이라 하자. $h\in H$이고 $H$가 부분군이므로 $h^{-1}\in H$이고, 따라서 $k=h^{-1}(hk)\in H$이다. 그러나 $k\notin H$이므로 모순이다.

$hk\in K$이라 하자. $k\in K$이고 $K$가 부분군이므로 $k^{-1}\in K$이고, 따라서 $h=(hk)k^{-1}\in K$이다. 그러나 $h\notin K$이므로 모순이다.

따라서 $hk\notin H\cup K$이고, 이는 $H\cup K$이 연산에 대해 닫혀 있지 않음을, 그러므로 부분군이 아님을 뜻한다. $■$

구체적인 반례. $(\mathbb{Z},+)$에서 $H=2\mathbb{Z}$과 $K=3\mathbb{Z}$은 부분군이다. 그러나 $2\in H$, $3\in K$이고, $5$이 짝수도 $3$의 배수도 아니므로 $2+3=5\notin 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$이다. 따라서 $H\cup K$은 부분군이 아니다.

§5.9 $\mathbb{Z}$의 부분군

이것은 이 강의에서 처음 등장하는 진정한 구조 정리이다.

정리 5.26. $(\mathbb{Z},+)$의 모든 부분군은 어떤 $n\ge 0$에 대하여 $n\mathbb{Z}$의 꼴이다.

증명

$H\le \mathbb{Z}$이라 하자.

경우 1: $H=\{0\}$. 그러면 $H=0\mathbb{Z}$이고, 증명이 끝난다.

경우 2: $H\ne \{0\}$. $H$가 부분군이므로, $a\ne 0$인 $a\in H$이 있으면 $-a\in H$도 성립한다. 따라서 $H$는 적어도 하나의 양의 정수를 포함한다. 정렬 원리(well-ordering principle)에 의해 $H$는 가장 작은 양의 정수를 포함한다. 이를 $n$이라 하자.

주장: $H=n\mathbb{Z}$.

($\supseteq$) $n\in H$이고 $H$가 부분군이므로, 닫혀 있음에 의해 $n+n=2n\in H$이고, 귀납법에 의해 모든 $k\ge 0$에 대하여 $kn\in H$이다. 또한 $-n\in H$이므로(역원), 모든 $k\in \mathbb{Z}$에 대하여 $kn\in H$이다. 따라서 $n\mathbb{Z}\subseteq H$이다.

($\subseteq$) $h\in H$이라 하자. 나눗셈 정리(division algorithm)에 의해

$$h=qn+r,0\le r<n.$$

로 쓴다. $h\in H$이고 $qn\in H$이므로(방금 증명함), $r=h-qn\in H$을 얻는다. 그런데 $r$은 $n$보다 작은 음이 아닌 정수이다. $n$이 $H$의 가장 작은 양의 원소이므로 $r=0$일 수밖에 없다. 따라서 $h=qn\in n\mathbb{Z}$이다.

그러므로 $H\subseteq n\mathbb{Z}$이고, 증명이 완성된다. $■$

참고 (Lang의 관점). Lang의 Algebra에서 이 정리는 $\mathbb{Z}$가 **주 아이디얼 정역(principal ideal domain, PID)**이라는 진술이다. $(\mathbb{Z},+)$의 모든 부분군은 환 $\mathbb{Z}$의 아이디얼이고, 이 정리는 그러한 모든 아이디얼이 주(principal)임을, 즉 하나의 원소로 생성됨을 말한다. 이는 PID 이론 전체의 원형으로, 나중에 유한생성 가환군의 구조 정리(제11장)와 다항식환 이론을 지배한다.

§5.10 풀이 예제: 부분군의 확인과 실패

예제 5.27. 곱셈 아래의 양의 유리수 집합.

$G=({\mathbb{Q}}^{\times },\cdot )$이고 $H=\{q\in \mathbb{Q}:q>0\}$이라 하자.

• 공집합이 아님: $1\in H$. $✓$
• 닫혀 있음: $a,b>0$가 유리수이면 $ab>0$도 유리수이다. $✓$
• 역원: $a>0$가 유리수이면 $a^{-1}>0$도 유리수이다. $✓$

따라서 $H\le {\mathbb{Q}}^{\times }$이다. $\square$

예제 5.28. 행렬식이 양수인 행렬.

$G=G{L}_2(\mathbb{R})$이고 $H=\{A\in G{L}_2(\mathbb{R}):\det A>0\}$라 하자.

• 공집합이 아님: $\det I_2=1>0$. $✓$
• 닫혀 있음: 둘 다 양수일 때 $\det (AB)=\det A\cdot \det B>0$. $✓$
• 역원: $\det (A^{-1})=(\det A{)}^{-1}>0$. $✓$

따라서 $H\le G{L}_2(\mathbb{R})$이다. $\square$

예제 5.29. $S_3$에서의 닫힘 실패.

$L=\{e,(12),(13)\}\subseteq S_3$라 하자. $L$는 부분군인가?

계산하면 $(12)(13)=(132)\notin L$이다. 따라서 $L$는 합성에 대해 닫혀 있지 않고, 그러므로 부분군이 아니다. $\square$

예제 5.30. 역원의 실패.

$G=(\mathbb{Z},+)$이고 $H={\mathbb{Z}}_{\ge 0}=\{0,1,2,3,\dots \}$라 하자.

$H$은 공집합이 아니고 덧셈에 대해 닫혀 있다. 그러나 $1\in H$이고 $-1\notin H$이므로 $H$는 역원 조건을 만족하지 못한다. 부분군이 아니다. (이것은 유한 부분군 판정법이 왜 유한성을 요구하는지를 보여 주는 표준적인 예이다.) $\square$

예제 5.31. ${\mathbb{Z}}_{12}$의 부분군 확인.

$H=\{\bar{0},\bar{3},\bar{6},\bar{9}\}$는 ${\mathbb{Z}}_{12}$의 부분군인가?

$H$는 공집합이 아니고 유한하며 $|H|=4$이다. 케일리 표(Cayley table, 12를 법으로 한 덧셈)로 닫힘을 확인한다.

모든 항목이 $H$ 안에 있다. 유한 부분군 판정법(정리 5.7)에 의해 $H\le {\mathbb{Z}}_{12}$이다.

사실 $H=⟨\bar{3}⟩\cong {\mathbb{Z}}_4$이다. $\square$

§5.11 구조적 관점 (Lang)

Lang의 Algebra에서 부분군은 범주 Grp에서의 부분대상(subobject)으로 다루어진다. 부분군 $H\le G$는 단사(monic) 준동형사상 $\iota :H\hookrightarrow G$에 대응한다. 이는 단순한 추상화가 아니다 — 다음 몇 가지 점을 분명히 해 준다.

1. 부분군 판정법은 인식 기준이다. 이는 유도된 연산을 가진 부분집합이 언제 부분대상을 이루는지를 판정한다. 범주론적 관점은 다음과 같이 말한다. $H$가 부분대상일 필요충분조건은 포함 사상이 사상(morphism)인 것이다.

2. 교집합은 극한이다. 정리 5.24(부분군의 교집합은 부분군이다)는 부분대상의 극한(limit)이 존재한다는 사실의 특수한 경우이다. 생성된 부분군 $⟨S⟩$는 부분군 격자에서의 하한(infimum)이다.

3. 부분군 격자는 구조를 부호화한다. 부분군의 격자는 군의 불변량이다. 부분군 격자가 동형이 아닌 두 군은 동형일 수 없다. 위수가 같은 군조차 그 격자로 구별할 수 있다(${\mathbb{Z}}_4$와 ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$을 비교하라: 둘 다 위수 4이지만 격자의 모양이 다르다).

4. 정리 5.26과 주 아이디얼 정역. $\mathbb{Z}$의 모든 부분군이 순환이라는 사실은 $\mathbb{Z}$가 PID라는 것과 동치이다. 이는 PID 위의 유한생성 가군(module)에 대한 구조 정리의 원형으로, 유한생성 가환군의 분류를 낳는다.

§5.13 플래시카드용 요약

외워 둘 핵심 사실

1. 부분군의 정의: $H\le G$일 필요충분조건은 $H\ne \varnothing$, $H\subseteq G$이고 $H$가 동일한 연산 아래에서 군인 것이다.
2. 2단계 판정법: $H\ne \varnothing$이고, $\forall a,b\in H$: $ab\in H$ 및 $a^{-1}\in H$.
3. 1단계 판정법: $H\ne \varnothing$이고, $\forall a,b\in H$: $a{b}^{-1}\in H$.
4. 유한 판정법: $H$가 유한하고 공집합이 아니며 연산에 대해 닫혀 있으면 $H\le G$이다.
5. 중심: $Z(G)=\{g\in G:gx=xg\forall x\in G\}$은 항상 부분군이다. $G$가 가환일 필요충분조건은 $Z(G)=G$이다.
6. 순환 부분군: $⟨a⟩=\{a^n:n\in \mathbb{Z}\}$은 $a$를 포함하는 가장 작은 부분군이다.
7. 교집합: 부분군들의 임의의 교집합은 부분군이다.
8. 합집합: $H\cup K\le G$일 필요충분조건은 $H\subseteq K$ 또는 $K\subseteq H$이다.
9. $\mathbb{Z}$의 부분군: $\mathbb{Z}$의 모든 부분군은 $n\mathbb{Z}$의 꼴이다(즉, $\mathbb{Z}$는 PID이다).
10. ${\mathbb{Z}}_n$의 격자: 각 $d\mid n$에 대하여 위수 $d$인 순환 부분군이 하나씩 있으며, 포함 관계가 가분성을 반영한다.

제5장을 마치기 전에 익혀 두어야 할 것

다음을 할 수 있어야 한다.

• 1단계 및 2단계 부분군 판정법을 진술하고 증명하기
• 유한 부분군 판정법을 진술하고 증명하며, 왜 유한성이 필요한지 설명하기
• 특정 부분집합에 대한 부분군 주장을 (적절한 판정법을 이용하여) 확인하거나 반증하기
• 작은 군($S_3$, $D_4$, $G{L}_n$, 가환군)에 대하여 $Z(G)$을 계산하기
• 왜 $⟨a⟩$이 부분군이며 $a$를 포함하는 가장 작은 부분군인지 설명하기
• ${\mathbb{Z}}_n$(작은 $n$) 및 $S_3$에 대한 부분군 격자를 그리기
• 부분군의 교집합이 부분군임을 증명하기
• 부분군의 합집합이 실패함을 보이는 반례를 제시하기
• $\mathbb{Z}$의 모든 부분군이 $n\mathbb{Z}$의 꼴임을 진술하고 증명하기
• 정리 5.26을 $\mathbb{Z}$의 PID 성질과 연결하기 (Lang의 관점)