군이 정의되고 나면, 다음으로 떠오르는 구조적 질문은 이것이다. 주어진 군 안에 이미 들어 있는 더 작은 군은 무엇인가? 부분군이 그 답이며, 이는 군론의 기본적인 내부 구조이다. 이후의 모든 구성 — 잉여류(coset), 정규부분군(normal subgroup), 몫군(quotient), 군의 작용(group action) — 은 부분군에 대한 숙달에 의존한다.
§5.1 부분군의 정의
정의 5.1 (부분군)
(G,∗)를 군이라 하자. 부분집합 H⊆G가 다음을 만족하면 G의 **부분군(subgroup)**이라 하고, H≤G로 표기한다.
H=∅,
H가 동일한 연산 ∗ 아래에서 그 자체로 군을 이룬다.
조건 (2)가 뜻하는 바는 다음과 같다. 연산 ∗를 H×H로 제한하면 그 값이 H 안에 있고(닫혀 있음, closure), H가 결합법칙을 만족하며, 항등원을 가지고, H의 모든 원소가 H 안에 역원을 가진다.
참고. 결합법칙은 G로부터 거저 물려받으므로, 이를 따로 확인하는 일은 결코 없다. 실제로 해야 할 일은 공집합이 아님, 닫혀 있음, 항등원, 역원이다.
명제 5.2 (항등원과 역원이 일치함)
H≤G이면 다음이 성립한다.
H의 항등원은 G의 항등원과 같다.
각 a∈H에 대하여, H에서의 a의 역원은 G에서의 a의 역원과 같다.
증명
eH을 H의 항등원, e을 G의 항등원이라 하자. 그러면 H에서 eHeH=eH이지만, 또한 G에서 e⋅eH=eH이다. G에서 eH를 왼쪽 소거하면 eH=e을 얻는다.
역원에 대해서는, a∈H이고 b가 H에서의 a의 역원이라면 ab=eH=e이다. 그런데 G에서의 a의 역원은 ac=e를 만족하는 유일한 원소이므로 b=a−1이다. ■
이 명제가 중요한 이유는, 새로운 항등원이나 새로운 역원을 “발견”할 필요가 없음을 뜻하기 때문이다. H의 군 구조는 전적으로 G로부터 물려받은 것이다.
§5.2 2단계 부분군 판정법
모든 군의 공리를 확인하는 것은 낭비다. 다음 판정법이 표준적으로 쓰이는 일꾼이다.
정리 5.3 (2단계 부분군 판정법)
공집합이 아닌 부분집합 H⊆G가 G의 부분군일 필요충분조건은 다음과 같다.
연산에 대해 닫혀 있음: 모든 a,b∈H에 대하여 ab∈H;
역원에 대해 닫혀 있음: 모든 a∈H에 대하여 a−1∈H.
증명
(⇒)H≤G이면 H가 군이므로 곱과 역원에 대해 닫혀 있다.
(⇐)H=∅이고 (1)과 (2)를 만족한다고 하자. H에 대하여 군의 공리를 확인한다.
닫혀 있음. (1)에 의해 성립한다.
결합법칙. 임의의 a,b,c∈H에 대하여 (ab)c=a(bc)인데, 이는 G에서 성립하고 모든 원소가 G 안에 있기 때문이다.
항등원.H=∅이므로 임의의 a∈H를 택한다. (2)에 의해 a−1∈H이다. (1)에 의해 aa−1=e∈H이다.
역원. (2)에 의해 성립한다.
따라서 H는 동일한 연산 아래에서 군이므로 H≤G이다. ■
예제 5.4.H={0,±3,±6,±9,…}=3Z가 (Z,+)의 부분군임을 보여라.
확인.0∈H이므로 H=∅이다.
닫혀 있음: 3k,3l∈H이면 3k+3l=3(k+l)∈H이다. ✓
역원: 3k∈H이면 −(3k)=3(−k)∈H이다. ✓
2단계 판정법에 의해 H≤Z이다. □
§5.3 1단계 부분군 판정법
정리 5.3의 두 조건은 하나의 조건으로 합칠 수 있다.
정리 5.5 (1단계 부분군 판정법)
공집합이 아닌 부분집합 H⊆G가 G의 부분군일 필요충분조건은 다음과 같다.
ab−1∈Hfor all a,b∈H.
증명
(⇒)H≤G이면 임의의 b∈H에 대하여 b−1∈H이고, 닫혀 있음에 의해 ab−1∈H이다.
(⇐)H=∅이고 모든 a,b∈H에 대하여 ab−1∈H라고 하자. 정리 5.3의 두 조건을 유도한다.
항등원. 임의의 h∈H를 택한다(H=∅이므로 가능하다). a=b=h로 두면 hh−1=e∈H을 얻는다.
역원.x∈H이라 하자. e∈H이므로(방금 증명함) a=e,b=x로 두면 ex−1=x−1∈H을 얻는다.
닫혀 있음.x,y∈H라 하자. y−1∈H이므로(방금 증명함) a=x,b=y−1으로 두면 x(y−1)−1=xy∈H을 얻는다.
정리 5.3에 의해 H≤G이다. ■
이 증명은 되풀이되는 대수적 기법을 보여 주므로 체득해 둘 가치가 있다. 즉, 보편적인 조건에서 입력값을 교묘하게 선택하여 항등원, 역원, 곱을 차례로 만들어 내는 기법이다.
따라서 AB−1∈SLn(R)이다. 1단계 판정법에 의해 SLn(R)≤GLn(R)이다. □
§5.4 유한 부분군 판정법
유한 부분집합의 경우 역원을 확인할 필요가 없다 — 비둘기집 원리(pigeonhole principle)가 그 일을 대신한다.
정리 5.7 (유한 부분군 판정법)
H를 군 G의 공집합이 아닌 유한 부분집합이라 하자. H가 군 연산에 대해 닫혀 있으면(즉, 모든 a,b∈H에 대하여 ab∈H), H≤G이다.
증명
H가 항등원과 모든 역원을 포함함을 보여야 한다. 임의의 a∈H를 고정한다.
1단계: e∈H. 거듭제곱의 수열
a,a2,a3,…
을 생각하자. 닫혀 있음에 의해 각 항은 H 안에 있다(귀납법: ak+1=ak⋅a이고 두 인수 모두 H 안에 있다). H가 유한하므로 이 거듭제곱들이 모두 서로 다를 수는 없다. 따라서 am=an를 만족하는 정수 m>n≥1가 존재한다. (G에서) 왼쪽 소거하면
am−n=e.
을 얻는다. m−n≥1이고 am−n는 H의 원소들의 곱이므로 e∈H이다.
2단계: a−1∈H.m−n=1이면 a=e이므로 a−1=e∈H이다. m−n≥2이면
a−1=am−n−1,
인데, 이는 a를 m−n−1≥1개 곱한 것이므로 H 안에 있다.
a가 임의의 원소였으므로, H의 모든 원소는 그 역원을 H 안에 가진다. 닫혀 있음 및 공집합이 아님과 결합하면, 정리 5.3에 의해 H≤G이다. ■
무한집합에 대해서는 이것이 성립하지 않는 이유. 음이 아닌 정수 Z≥0은 덧셈에 대해 닫혀 있는 (Z,+)의 공집합이 아닌 부분집합이다. 그러나 −1∈/Z≥0이므로 Z≥0은 부분군이 아니다. 비둘기집 논증이 유한성을 요구하므로 증명이 깨진다.
§5.5 표준적인 부분군: 자명한 부분군, 진부분군이 아닌 부분군, 중심, 그리고 순환 부분군
모든 군 G는 적어도 두 개의 부분군을 가진다.
자명한 부분군(trivial subgroup):{e}≤G.
전체 부분군(improper subgroup):G≤G.
{e}=H=G인 부분군 H를 **진 비자명 부분군(proper nontrivial subgroup)**이라 한다.
정의 5.8 (군의 중심)
군 G의 **중심(center)**은 다음과 같다.
Z(G)={g∈G:gx=xg for all x∈G}.
말로 풀면, Z(G)은 G의 모든 원소와 가환인 원소들로 정확히 이루어진다.
정리 5.9. Z(G)≤G.
증명
공집합이 아님. 항등원 e는 모든 x∈G에 대하여 ex=xe를 만족하므로 e∈Z(G)이다.
1단계 판정법.a,b∈Z(G)이라 하고 x∈G을 임의의 원소라 하자. ab−1∈Z(G), 즉 (ab−1)x=x(ab−1)임을 보여야 한다.
b∈Z(G)이므로 모든 x에 대하여 bx=xb이다. 양변의 역원을 취하면(또는 동등하게, 왼쪽에 b−1를, 오른쪽에 b−1를 곱하면) 모든 x에 대하여 b−1x=xb−1을 얻는다. 따라서 b−1∈Z(G)이다.
이제 계산하면:
(ab−1)x=a(b−1x)=a(xb−1)=(ax)b−1=(xa)b−1=x(ab−1).
두 번째 단계에서 b−1∈Z(G)을, 네 번째 단계에서 a∈Z(G)을 사용하였다.
따라서 ab−1∈Z(G)이고, 정리 5.5에 의해 Z(G)≤G이다. ■
예제 5.10. Z(S3)
S3={e,(12),(13),(23),(123),(132)}의 중심을 계산한다.
원소 σ∈Z(S3)은 모든 원소와 가환이어야 한다. (12)을 확인하면:
(12)(123)=(13),(123)(12)=(23).
(13)=(23)이므로 호환(transposition) (12)은 (123)과 가환이 아니고, 따라서 (12)∈/Z(S3)이다. 비슷한 계산을 통해 항등원이 아닌 모든 원소가 적어도 하나의 다른 원소와 가환이 아님을 알 수 있다.
Z(S3)={e}.
Z(G)={e}인 군을 중심이 자명한(centerless) 군이라 한다. S3는 가장 작은 비가환군이며, 중심이 자명하다.
예제 5.11. Z(GLn(R))
Z(GLn(R))={λIn:λ∈R×}, 즉 스칼라 행렬임을 주장한다.
A=λIn이면 모든 B에 대하여 AB=λB=Bλ=BA이므로 스칼라 행렬은 중심에 속한다.
역으로, A이 모든 가역 행렬과 가환이라고 하자. 특히 A은 모든 기본 행렬(elementary matrix) Eij(α)과 가환인데, 이 행렬은 i행에 j행의 α배를 더하는 것이다. 표준적인 선형대수 논증에 의해 이는 A이 스칼라일 수밖에 없도록 강제한다. □
예제 5.12. 가환군의 중심
G가 가환이면 모든 g,x∈G에 대하여 gx=xg이므로 모든 원소가 중심에 속한다.
Z(G)=G.
역으로, G가 가환일 필요충분조건은 Z(G)=G이다.
§5.6 순환 부분군
정의 5.13 (원소가 생성하는 순환 부분군)
a∈G에 대하여, **a가 생성하는 순환 부분군(cyclic subgroup)**은 다음과 같다.
⟨a⟩={an:n∈Z}={…,a−2,a−1,e,a,a2,…}.
(덧셈 표기로는: ⟨a⟩={na:n∈Z}.)
정리 5.14. 모든 a∈G에 대하여 ⟨a⟩≤G이다.
증명
공집합이 아님.a0=e∈⟨a⟩.
1단계 판정법.am,an∈⟨a⟩이라 하자. 그러면
am(an)−1=ama−n=am−n∈⟨a⟩,
인데, m−n∈Z이기 때문이다.
정리 5.5에 의해 ⟨a⟩≤G이다. ■
명제 5.15 (최소성)
⟨a⟩은 a를 포함하는 G의 가장 작은 부분군이다. 즉, H≤G이고 a∈H이면 ⟨a⟩⊆H이다.
증명
H≤G이고 a∈H이면, 연산에 대해 닫혀 있음에 의해 a2=a⋅a∈H, a3∈H이고, 귀납법에 의해 모든 n≥1에 대하여 an∈H이다. a−1∈H이므로(역원에 대해 닫혀 있음) 같은 논증으로 모든 n≥1에 대하여 a−n∈H을 얻는다. 또한 e=a0∈H이다. 따라서 {an:n∈Z}=⟨a⟩⊆H이다. ■
순환군과의 연결. 군 G가 어떤 a∈G에 대하여 G=⟨a⟩이면 순환군(cyclic)이다. 따라서 순환 부분군은 군으로서 순환인 부분군과 정확히 일치한다. 모든 군의 모든 원소는 하나의 순환 부분군을 생성한다. 이것이 추상적 개념인 “순환군”(제6장)과 여기서 다루는 내부 구조 사이를 잇는 다리이다.
예제 5.16.(Z,+)에서: ⟨3⟩=3Z={0,±3,±6,…}.
예제 5.17.(Z12,+)에서: ⟨3ˉ⟩={0ˉ,3ˉ,6ˉ,9ˉ} (위수 4) 및 ⟨4ˉ⟩={0ˉ,4ˉ,8ˉ} (위수 3).
예제 5.18.S3에서: ⟨(123)⟩={e,(123),(132)} (위수 3) 및 ⟨(12)⟩={e,(12)} (위수 2).
§5.7 부분군 격자
정의 5.19 (부분군 격자)
군 G의 **부분군 격자(subgroup lattice)**는 포함 관계 ≤로 순서를 준 G의 모든 부분군의 부분순서집합(poset)이다. 이는 하세 도형(Hasse diagram)으로 그려진다. 즉, 도형에서 위쪽에 있는 부분군이 아래쪽의 부분군을 포함하고, 변(edge)은 포함 관계가 한 “단계” 차이가 나는 부분군들을 잇는다.
예제 5.20. Z6의 격자
Z6의 부분군은 다음과 같다.
⟨1ˉ⟩=Z6 (위수 6)
⟨2ˉ⟩={0ˉ,2ˉ,4ˉ} (위수 3)
⟨3ˉ⟩={0ˉ,3ˉ} (위수 2)
⟨0ˉ⟩={0ˉ} (위수 1)
그림: Z6의 부분군 격자.
부분군의 위수 {1,2,3,6}는 정확히 6의 약수이며, 포함 관계는 가분성(divisibility)을 반영한다. 즉, 2∣6이므로 ⟨2ˉ⟩⊆⟨1ˉ⟩이다.
예제 5.21. Z12의 격자
12의 약수는 1,2,3,4,6,12이다. 이에 대응하는 부분군은 다음과 같다.
생성원
부분군
위수
1ˉ
Z12
12
2ˉ
{0ˉ,2ˉ,4ˉ,6ˉ,8ˉ,10ˉ}
6
3ˉ
{0ˉ,3ˉ,6ˉ,9ˉ}
4
4ˉ
{0ˉ,4ˉ,8ˉ}
3
6ˉ
{0ˉ,6ˉ}
2
0ˉ
{0ˉ}
1
그림: Z12의 부분군 격자.
포함 관계: ⟨4ˉ⟩⊆⟨2ˉ⟩(4이 12을 법으로 2의 배수이므로), ⟨6ˉ⟩⊆⟨2ˉ⟩ 및 ⟨6ˉ⟩⊆⟨3ˉ⟩ 등이다. 4ˉ∈/{0ˉ,3ˉ,6ˉ,9ˉ}이므로 ⟨4ˉ⟩⊆⟨3ˉ⟩임에 유의하라.
예제 5.22. Z30의 격자
30=2⋅3⋅5. 약수: 1,2,3,5,6,10,15,30.
그림: Z30의 부분군 격자.
30의 각 약수 d에 대하여 위수 d인 순환 부분군이 하나씩 있다. 포함 관계: ⟨d1ˉ⟩⊆⟨d2ˉ⟩일 필요충분조건은 d2∣d1이다(즉, 생성원이 클수록 부분군은 작아지고, 포함 관계는 생성원에 대한 가분성 순서를 뒤집는다).
예제 5.23. S3의 격자
S3는 위수 6를 가지며 비가환군이다. 그 부분군은 다음과 같다.
부분군
원소
위수
S3
여섯 개 전부
6
⟨(123)⟩
{e,(123),(132)}
3
⟨(12)⟩
{e,(12)}
2
⟨(13)⟩
{e,(13)}
2
⟨(23)⟩
{e,(23)}
2
{e}
{e}
1
그림: S3의 부분군 격자.
위수 3인 부분군은 하나(지수(index) 2의 유일한 부분군으로, 나중에 정규부분군임이 밝혀진다)이고, 위수 2인 부분군은 셋이다. 위수 2인 부분군 중 어느 것도 다른 것을 포함하지 않으며, 위수 3인 부분군은 그중 어느 것도 포함하지 않는다.
§5.8 부분군의 교집합
정리 5.24. 부분군들로 이루어진 임의의 족의 교집합은 부분군이다.
{Hi}i∈I를 G의 부분군들로 이루어진 (무한일 수도 있는) 족이라 하자. 그러면
H=i∈I⋂Hi≤G.
증명
공집합이 아님. 각 Hi는 부분군이므로 모든 i에 대하여 e∈Hi이다. 따라서 e∈⋂Hi=H이다.
1단계 판정법.a,b∈H라 하자. 그러면 모든 i∈I에 대하여 a,b∈Hi이다. 각 Hi가 부분군이므로 모든 i에 대하여 ab−1∈Hi이다. 따라서 ab−1∈⋂Hi=H이다.
정리 5.5에 의해 H≤G이다. ■
이것이 중요한 이유. 이 정리는 집합이 생성하는 부분군이 잘 정의됨을 보장한다. 임의의 부분집합 S⊆G에 대하여, 부분군 ⟨S⟩는 다음과 같이 정의할 수 있다.
⟨S⟩=⋂{H≤G:S⊆H}.
오른쪽의 족은 공집합이 아니므로(G 자신이 그러한 H이기 때문에), 정리 5.24에 의해 그 교집합은 부분군이며, 이는 S를 포함하는 가장 작은 부분군이다.
정리 5.25. 두 부분군의 합집합은 일반적으로 부분군이 아니다.
더 정확히 말하면, H,K≤G일 때 H∪K≤G일 필요충분조건은 H⊆K 또는 K⊆H이다.
증명
(⇐)H⊆K이면 H∪K=K≤G이다. K⊆H인 경우도 마찬가지이다.
(⇒) 대우(contrapositive)를 이용한다. H⊆K이고 K⊆H이라 하자. 그러면 h∈H∖K와 k∈K∖H가 존재한다. hk∈/H∪K임을 주장한다.
hk∈H이라 하자. h∈H이고 H가 부분군이므로 h−1∈H이고, 따라서 k=h−1(hk)∈H이다. 그러나 k∈/H이므로 모순이다.
hk∈K이라 하자. k∈K이고 K가 부분군이므로 k−1∈K이고, 따라서 h=(hk)k−1∈K이다. 그러나 h∈/K이므로 모순이다.
따라서 hk∈/H∪K이고, 이는 H∪K이 연산에 대해 닫혀 있지 않음을, 그러므로 부분군이 아님을 뜻한다. ■
구체적인 반례.(Z,+)에서 H=2Z과 K=3Z은 부분군이다. 그러나 2∈H, 3∈K이고, 5이 짝수도 3의 배수도 아니므로 2+3=5∈/2Z∪3Z이다. 따라서 H∪K은 부분군이 아니다.
§5.9 Z의 부분군
이것은 이 강의에서 처음 등장하는 진정한 구조 정리이다.
정리 5.26. (Z,+)의 모든 부분군은 어떤 n≥0에 대하여 nZ의 꼴이다.
증명
H≤Z이라 하자.
경우 1: H={0}. 그러면 H=0Z이고, 증명이 끝난다.
경우 2: H={0}.H가 부분군이므로, a=0인 a∈H이 있으면 −a∈H도 성립한다. 따라서 H는 적어도 하나의 양의 정수를 포함한다. 정렬 원리(well-ordering principle)에 의해 H는 가장 작은 양의 정수를 포함한다. 이를 n이라 하자.
주장:H=nZ.
(⊇)n∈H이고 H가 부분군이므로, 닫혀 있음에 의해 n+n=2n∈H이고, 귀납법에 의해 모든 k≥0에 대하여 kn∈H이다. 또한 −n∈H이므로(역원), 모든 k∈Z에 대하여 kn∈H이다. 따라서 nZ⊆H이다.
(⊆)h∈H이라 하자. 나눗셈 정리(division algorithm)에 의해
h=qn+r,0≤r<n.
로 쓴다. h∈H이고 qn∈H이므로(방금 증명함), r=h−qn∈H을 얻는다. 그런데 r은 n보다 작은 음이 아닌 정수이다. n이 H의 가장 작은 양의 원소이므로 r=0일 수밖에 없다. 따라서 h=qn∈nZ이다.
그러므로 H⊆nZ이고, 증명이 완성된다. ■
참고 (Lang의 관점). Lang의 Algebra에서 이 정리는 Z가 **주 아이디얼 정역(principal ideal domain, PID)**이라는 진술이다. (Z,+)의 모든 부분군은 환 Z의 아이디얼이고, 이 정리는 그러한 모든 아이디얼이 주(principal)임을, 즉 하나의 원소로 생성됨을 말한다. 이는 PID 이론 전체의 원형으로, 나중에 유한생성 가환군의 구조 정리(제11장)와 다항식환 이론을 지배한다.
§5.10 풀이 예제: 부분군의 확인과 실패
예제 5.27. 곱셈 아래의 양의 유리수 집합.
G=(Q×,⋅)이고 H={q∈Q:q>0}이라 하자.
공집합이 아님: 1∈H. ✓
닫혀 있음: a,b>0가 유리수이면 ab>0도 유리수이다. ✓
역원: a>0가 유리수이면 a−1>0도 유리수이다. ✓
따라서 H≤Q×이다. □
예제 5.28. 행렬식이 양수인 행렬.
G=GL2(R)이고 H={A∈GL2(R):detA>0}라 하자.
공집합이 아님: detI2=1>0. ✓
닫혀 있음: 둘 다 양수일 때 det(AB)=detA⋅detB>0. ✓
역원: det(A−1)=(detA)−1>0. ✓
따라서 H≤GL2(R)이다. □
예제 5.29. S3에서의 닫힘 실패.
L={e,(12),(13)}⊆S3라 하자. L는 부분군인가?
계산하면 (12)(13)=(132)∈/L이다. 따라서 L는 합성에 대해 닫혀 있지 않고, 그러므로 부분군이 아니다. □
예제 5.30. 역원의 실패.
G=(Z,+)이고 H=Z≥0={0,1,2,3,…}라 하자.
H은 공집합이 아니고 덧셈에 대해 닫혀 있다. 그러나 1∈H이고 −1∈/H이므로 H는 역원 조건을 만족하지 못한다. 부분군이 아니다. (이것은 유한 부분군 판정법이 왜 유한성을 요구하는지를 보여 주는 표준적인 예이다.) □
예제 5.31. Z12의 부분군 확인.
H={0ˉ,3ˉ,6ˉ,9ˉ}는 Z12의 부분군인가?
H는 공집합이 아니고 유한하며 ∣H∣=4이다. 케일리 표(Cayley table, 12를 법으로 한 덧셈)로 닫힘을 확인한다.
+
0ˉ
3ˉ
6ˉ
9ˉ
0ˉ
0ˉ
3ˉ
6ˉ
9ˉ
3ˉ
3ˉ
6ˉ
9ˉ
0ˉ
6ˉ
6ˉ
9ˉ
0ˉ
3ˉ
9ˉ
9ˉ
0ˉ
3ˉ
6ˉ
모든 항목이 H 안에 있다. 유한 부분군 판정법(정리 5.7)에 의해 H≤Z12이다.
사실 H=⟨3ˉ⟩≅Z4이다. □
§5.11 구조적 관점 (Lang)
Lang의 Algebra에서 부분군은 범주 Grp에서의 부분대상(subobject)으로 다루어진다. 부분군 H≤G는 단사(monic) 준동형사상 ι:H↪G에 대응한다. 이는 단순한 추상화가 아니다 — 다음 몇 가지 점을 분명히 해 준다.
부분군 판정법은 인식 기준이다. 이는 유도된 연산을 가진 부분집합이 언제 부분대상을 이루는지를 판정한다. 범주론적 관점은 다음과 같이 말한다. H가 부분대상일 필요충분조건은 포함 사상이 사상(morphism)인 것이다.
교집합은 극한이다. 정리 5.24(부분군의 교집합은 부분군이다)는 부분대상의 극한(limit)이 존재한다는 사실의 특수한 경우이다. 생성된 부분군 ⟨S⟩는 부분군 격자에서의 하한(infimum)이다.
부분군 격자는 구조를 부호화한다. 부분군의 격자는 군의 불변량이다. 부분군 격자가 동형이 아닌 두 군은 동형일 수 없다. 위수가 같은 군조차 그 격자로 구별할 수 있다(Z4와 Z2×Z2을 비교하라: 둘 다 위수 4이지만 격자의 모양이 다르다).
정리 5.26과 주 아이디얼 정역.Z의 모든 부분군이 순환이라는 사실은 Z가 PID라는 것과 동치이다. 이는 PID 위의 유한생성 가군(module)에 대한 구조 정리의 원형으로, 유한생성 가환군의 분류를 낳는다.
§5.13 플래시카드용 요약
외워 둘 핵심 사실
부분군의 정의:H≤G일 필요충분조건은 H=∅, H⊆G이고 H가 동일한 연산 아래에서 군인 것이다.
2단계 판정법:H=∅이고, ∀a,b∈H: ab∈H 및 a−1∈H.
1단계 판정법:H=∅이고, ∀a,b∈H: ab−1∈H.
유한 판정법:H가 유한하고 공집합이 아니며 연산에 대해 닫혀 있으면 H≤G이다.
중심:Z(G)={g∈G:gx=xg∀x∈G}은 항상 부분군이다. G가 가환일 필요충분조건은 Z(G)=G이다.
순환 부분군:⟨a⟩={an:n∈Z}은 a를 포함하는 가장 작은 부분군이다.
교집합: 부분군들의 임의의 교집합은 부분군이다.
합집합:H∪K≤G일 필요충분조건은 H⊆K 또는 K⊆H이다.
Z의 부분군:Z의 모든 부분군은 nZ의 꼴이다(즉, Z는 PID이다).
Zn의 격자: 각 d∣n에 대하여 위수 d인 순환 부분군이 하나씩 있으며, 포함 관계가 가분성을 반영한다.
