규약과 표기법

이 페이지는 시리즈의 다른 모든 노트가 말없이 전제하는 규약들을 고정한다. 목표는 현대판 Weinberg다. 즉 Weinberg의 물리적 서사 — 등가원리를 먼저 두고, 중력을 하나의 장으로 보며, 실험과 끊임없이 맞닿는 — 를 Wald의 기하학적 언어와 대역적 방법으로 풀어내는 것이다. 두 교재가 부호에서 어긋나는 곳에서는 우리는 Wald를 따르며, 그 불일치는 아래에 표시해 두어 Weinberg에서 가져온 공식을 즉석에서 옮길 수 있게 한다.

1. 계량 부호수

시공간 계량은 mostly-plus 부호수를 가지는 로런츠 계량이다.

\operatorname{sign}(g_{ab}) = (-,+,+,+).

국소 관성 좌표계에서 계량은 $\eta_{ab} = \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1)$ 로 환원된다. 시리즈 전반에서 사용되는 귀결들:

벡터 $v^a$ 는 $g_{ab}v^a v^b$ 가 음, 영, 양인지에 따라 시간꼴, 영꼴, 공간꼴이다;
시간꼴 세계선에 대해 고유시간은 $d\tau^2 = -g_{ab}\,dx^a dx^b = -ds^2$ 를 만족한다;
사차속도는 $g_{ab}u^a u^b = -1$ 로 규격화된다.

이는 Wald와 MTW의 규약이며, 입자물리학자에게는 다소 뜻밖이겠지만 Weinberg의 규약이기도 하다. 이는 QFT 수업에서 흔한 mostly-minus $(+,-,-,-)$ 규약과 반대이므로, 사차벡터 내적은 그 습관에 비해 전체 부호가 뒤집힌다.

2. 단위

우리는 다음과 같은 기하학적 단위에서 작업한다.

G = c = 1.

그러면 질량, 길이, 시간은 단 하나의 차원을 공유하며, 아인슈타인 방정식은 $8\pi$ 이외의 차원적 앞계수를 지니지 않는다. 양자 상수와 열역학 상수는 명시적으로 유지한다:

$\hbar$ 는 준고전적 전개의 기장(記帳) 매개변수로 보존되어, “ $\hbar$ 차”가 고전적 배경 위의 양자 효과를 깔끔하게 표시하게 한다;
$k_B$ 는 보존되어 온도(예: 호킹 온도)가 제 차원으로 나타나게 한다.

임의의 기하학적 공식에서 SI 인자를 복원하려면 차원해석으로 $c$ 와 $G$ 의 거듭제곱을 다시 끼워 넣으면 된다; 표준 치환은 $M \to GM/c^2$ (길이로서의 질량), $t \to ct$ , 그리고 표면중력 $\kappa \to \kappa c^{?}$ 로, 이는 $T_H = \hbar\kappa/2\pi k_B c$ 를 맞춤으로써 복원된다.

3. 첨자

우리는 추상 첨자 표기법(Wald)을 일차 언어로 사용한다:

라틴 첨자 $a,b,c,\dots$ 는 추상적이다 — 이들은 어떤 도표에서의 성분이 아니라 기하학적 대상의 텐서 유형을 표시한다. 라틴 첨자로 쓰인 방정식은 기저에 무관한 진술이다.
그리스 첨자 $\mu,\nu,\rho,\dots = 0,1,2,3$ 는 좌표(또는 다른 명명된) 기저에서의 성분을 나타낸다. 이들은 우리가 의도적으로 도표로 넘어갈 때에만 등장한다.
라틴 알파벳 중간 $i,j,k,\dots = 1,2,3$ 는 공간 성분을 나타내며, $3+1$ 분할과 뉴턴 극한에서 사용된다.

둥근 괄호는 가중치 $1/n!$ 로 대칭화하고 각진 괄호는 반대칭화한다:

T_{(ab)} = \tfrac{1}{2}\left(T_{ab}+T_{ba}\right), \qquad T_{[ab]} = \tfrac{1}{2}\left(T_{ab}-T_{ba}\right).

첨자는 $g_{ab}$ 와 그 역 $g^{ab}$ 로 올리고 내리며, $g^{ab}g_{bc} = \delta^a{}_c$ 이다. 아인슈타인 합 규약이 적용된다.

4. 미분 연산자

$\nabla_a$ 는 유일한 꼬임 없는, 계량 양립적 미분 연산자(레비-치비타 접속)를 나타낸다.

\nabla_a g_{bc} = 0, \qquad \nabla_{[a}\nabla_{b]} f = 0 \ \text{ for scalars } f.

좌표 기저에서 그 작용은 크리스토펠 기호로 부호화된다.

\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu} = \tfrac{1}{2}\,g^{\rho\sigma}\left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right),

접속이 꼬임 없으므로 $\mu\nu$ 에 대해 대칭이다.

5. 곡률 (Wald 규약)

리만 텐서는 쌍대 벡터에 대한 미분의 교환자로서의 작용으로 정의된다:

\left(\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a\right)\omega_c = R_{abc}{}^{d}\,\omega_d.

리치 텐서와 스칼라는 다음의 축약이다.

R_{ac} = R_{abc}{}^{b}, \qquad R = g^{ac} R_{ac}.

이 부호들 아래에서 둥근 2차 구면은 양의 스칼라 곡률을 가진다. 아인슈타인 텐서는

G_{ab} = R_{ab} - \tfrac{1}{2} R\, g_{ab},

이며, 우주상수를 포함한 장방정식은 다음과 같다.

G_{ab} + \Lambda\, g_{ab} = 8\pi\, T_{ab}.

Weinberg로부터의 번역. Weinberg는 리치 텐서를 반대 부호로 정의하므로, 그의 장방정식은 $R_{\mu\nu} - \tfrac12 g_{\mu\nu} R = -8\pi G\,T_{\mu\nu}$ 로 나타난다. Weinberg 공식을 가져올 때에는 모든 단독 $R_{\mu\nu}$ 의 부호를 뒤집어라 (그러면 리만 텐서와 아인슈타인 텐서는 우리 것과 일치한다). 계량 부호수 자체는 번역이 필요 없다 — 이미 일치한다.

6. 미분형식과 방향

틀 기반 논증과 적분 논증을 위해 우리는 다음 규약의 외미적분을 사용한다:

쐐기곱은 기저 형식에 대해 조합론적 앞계수 없이 반대칭화되므로, $dx^a \wedge dx^b = -\,dx^b \wedge dx^a$ 이다;
외미분은 $d^2 = 0$ 과 등급화된 라이프니츠 규칙을 만족한다;
시공간은 방향이 주어져 있으며, 부피형식 / 레비-치비타 텐서는

\epsilon_{abcd} = \sqrt{-g}\;[abcd], \qquad \epsilon_{0123} = +\sqrt{-g}

로, 오른손잡이 좌표 도표에서 성립하며, 여기서 $[abcd]$ 는 $[0123]=+1$ 인 완전 반대칭 기호이다.

이들은 첨자 표기법과 공존한다: 형식은 접속 및 곡률 2-형식, 스토크스류 논증, 점근적 전하에 대해 자연스러운 언어인 반면, 추상 첨자는 본체 장방정식에 대해 일차적인 지위를 유지한다.

7. 푸리에 및 양자 규약

장론 및 준고전 노트에서, 주어진 시간 좌표 $t$ 에 대해 양의 진동수 $\omega > 0$ 를 가지는 모드는 다음의 의존성을 지닌다.

e^{-i\omega t},

그리고 소멸 연산자는 클라인-고든 내적을 통해 양의 진동수 모드와 결부된다. 이는 호킹 복사 노트에서 이미 사용된 규약이며, 굽은 시공간에서의 QFT 자료 전반에 걸쳐 고정되어야 한다.

8. 요약표

위 선택들에 대한 간결한 참조표.

선택	규약	주목할 만한 대비
부호수	$(-,+,+,+)$	$(+,-,-,-)$ QFT 습관과 반대
단위	$G=c=1$ ; $\hbar,k_B$ 명시	Weinberg는 모든 상수를 유지
텐서 첨자	추상 라틴; 좌표 그리스	Weinberg는 성분 전용
접속	꼬임 없는, 계량 양립적 $\nabla_a$	—
리만	$(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)\omega_c = R_{abc}{}^d\omega_d$	Wald 부호
리치	$R_{ac}=R_{abc}{}^{b}$	Weinberg와 반대 부호
장방정식	$G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi T_{ab}$	Weinberg는 $-8\pi G$ 를 지님

9. 이어지는 추천 노트

이 규약들은 I. 예비 사항의 기하학적 기초 노트에서 처음 운용되며, 거기서 다양체, 미분 연산자, 곡률이 내재적으로 구성된다.
곡률 부호와 장방정식 규격화는 아인슈타인 장방정식에서 실제로 활용된다.
기하학적 단위와 푸리에 규약은 블랙홀 분기의 호킹 복사 노트 전반에서 전제된다.